11. Действия сложения и вычитания смешанных чисел (упражнения 2.243–2.258) — с. 78
2.256. Два человека вышли на остановке из автобуса и отправились в противоположных направлениях в свои селения, расстояние между которыми 10,6 км. Через 1,2 ч один из них, двигаясь со скоростью 4,5 км/ч, достиг селения, а другому оставалось ещё пройти 0,4 км. Найдите его скорость.
Первый прошёл 4,5 · 1,2 = 5,4 км. Все расстояние между сёлами 10,6 км, значит, на второго (вместе с оставшимися 0,4 км) приходится 10,6 − 5,4 = 5,2 км. Второй успел пройти 5,2 − 0,4 = 4,8 км за 1,2 ч. Его скорость 4,8 : 1,2 = 4 км/ч. Ответ: 4 км/ч.
2.257. Выполните действия: а) (3,75 : 1,25 − 0,75) : 1,5 + 0,75; б) (14 − 12,725) · 12,4 − 2,6 : (11,2 − 7,95).
а) 3,75 : 1,25 = 3; 3 − 0,75 = 2,25; 2,25 : 1,5 = 1,5; 1,5 + 0,75 = 2,25. Ответ: 2,25.
б) 14 − 12,725 = 1,275; 1,275 · 12,4 = 15,81; 11,2 − 7,95 = 3,25; 2,6 : 3,25 = 0,8; 15,81 − 0,8 = 15,01. Ответ: 15,01.
б) 14 − 12,725 = 1,275; 1,275 · 12,4 = 15,81; 11,2 − 7,95 = 3,25; 2,6 : 3,25 = 0,8; 15,81 − 0,8 = 15,01. Ответ: 15,01.
2.258. Решите уравнение: а) (x − 3,6) · 8,4 = 53,76; б) 6,5 · (4,3 − y) = 20,8; в) 21,4 − (3,4t + 2,1t) = 14,8; г) 14,22 − (4,3k − 1,8k) = 12,47.
а) Множитель x − 3,6 = 53,76 : 8,4 = 6,4; x = 6,4 + 3,6 = 10. Проверка: (10 − 3,6) · 8,4 = 6,4 · 8,4 = 53,76 ✓. Ответ: x = 10.
б) 4,3 − y = 20,8 : 6,5 = 3,2; y = 4,3 − 3,2 = 1,1. Проверка: 6,5 · 3,2 = 20,8 ✓. Ответ: y = 1,1.
в) 3,4t + 2,1t = 5,5t. Вычитаемое 5,5t = 21,4 − 14,8 = 6,6; t = 6,6 : 5,5 = 1,2. Проверка: 21,4 − 5,5 · 1,2 = 21,4 − 6,6 = 14,8 ✓. Ответ: t = 1,2.
г) 4,3k − 1,8k = 2,5k. Вычитаемое 2,5k = 14,22 − 12,47 = 1,75; k = 1,75 : 2,5 = 0,7. Проверка: 14,22 − 1,75 = 12,47 ✓. Ответ: k = 0,7.
б) 4,3 − y = 20,8 : 6,5 = 3,2; y = 4,3 − 3,2 = 1,1. Проверка: 6,5 · 3,2 = 20,8 ✓. Ответ: y = 1,1.
в) 3,4t + 2,1t = 5,5t. Вычитаемое 5,5t = 21,4 − 14,8 = 6,6; t = 6,6 : 5,5 = 1,2. Проверка: 21,4 − 5,5 · 1,2 = 21,4 − 6,6 = 14,8 ✓. Ответ: t = 1,2.
г) 4,3k − 1,8k = 2,5k. Вычитаемое 2,5k = 14,22 − 12,47 = 1,75; k = 1,75 : 2,5 = 0,7. Проверка: 14,22 − 1,75 = 12,47 ✓. Ответ: k = 0,7.
Проверочная работа № 1 (п. 11).
1. Восстановите алгоритм сложения смешанных чисел, записав в нужном порядке номера действий: 1) при необходимости сократить дробь, выделить целую часть и прибавить её к полученной целой части; 2) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части чисел; 3) отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных частей.
Сначала дробные части приводят к наименьшему общему знаменателю (2), затем отдельно складывают целые и отдельно дробные части (3), в конце при необходимости сокращают дробь, выделяют целую часть и прибавляют её к целой части (1). Порядок: 2, 3, 1.
Проверочная работа № 1 (п. 11).
2. Запишите выражение и найдите его значение: а) к сумме чисел 1 1/3 и 5 1/9 прибавить 4 5/24; б) к 1 2/65 прибавить сумму чисел 6 1/10 и 3 3/25.
а) (1 1/3 + 5 1/9) + 4 5/24. В скобках 1 3/9 + 5 1/9 = 6 4/9. Далее НОК(9; 24) = 72: 4/9 = 32/72, 5/24 = 15/72; 32/72 + 15/72 = 47/72; 6 + 4 = 10. Ответ: 10 47/72.
б) 1 2/65 + (6 1/10 + 3 3/25). В скобках НОК(10; 25) = 50: 5/50 + 6/50 = 11/50; 6 + 3 = 9, получается 9 11/50. Далее НОК(65; 50) = 650: 2/65 = 20/650, 11/50 = 143/650; 163/650; 1 + 9 = 10. Ответ: 10 163/650.
б) 1 2/65 + (6 1/10 + 3 3/25). В скобках НОК(10; 25) = 50: 5/50 + 6/50 = 11/50; 6 + 3 = 9, получается 9 11/50. Далее НОК(65; 50) = 650: 2/65 = 20/650, 11/50 = 143/650; 163/650; 1 + 9 = 10. Ответ: 10 163/650.
Проверочная работа № 1 (п. 11).
3. Найдите периметр треугольника ABC, если AB = 5 1/12 см, BC = 6 1/5 см и AC = 4 1/6 см.
Периметр — сумма длин сторон: 5 1/12 + 6 1/5 + 4 1/6. НОК(12; 5; 6) = 60: 5/60 + 12/60 + 10/60 = 27/60 = 9/20; 5 + 6 + 4 = 15. Ответ: P = 15 9/20 см.
Проверочная работа № 2 (п. 11).
1. Запишите выражение и найдите его значение: а) к разности чисел 6 2/3 и 2 1/6 прибавить 3 5/12; б) из суммы чисел 1 2/15 и 5 7/30 вычесть 5 1/30.
а) (6 2/3 − 2 1/6) + 3 5/12. В скобках 6 4/6 − 2 1/6 = 4 3/6 = 4 1/2. Далее 4 6/12 + 3 5/12 = 7 11/12. Ответ: 7 11/12.
б) (1 2/15 + 5 7/30) − 5 1/30. В скобках 1 4/30 + 5 7/30 = 6 11/30. Далее 6 11/30 − 5 1/30 = 1 10/30 = 1 1/3. Ответ: 1 1/3.
б) (1 2/15 + 5 7/30) − 5 1/30. В скобках 1 4/30 + 5 7/30 = 6 11/30. Далее 6 11/30 − 5 1/30 = 1 10/30 = 1 1/3. Ответ: 1 1/3.
Проверочная работа № 2 (п. 11).
2. Решите уравнение и сделайте проверку: а) x + 3 4/7 = 6 2/21; б) 5 7/12 + x = 8 5/16.
а) x = 6 2/21 − 3 4/7 = 6 2/21 − 3 12/21 = 5 23/21 − 3 12/21 = 2 11/21. Проверка: 2 11/21 + 3 12/21 = 5 23/21 = 6 2/21 ✓. Ответ: x = 2 11/21.
б) x = 8 5/16 − 5 7/12. НОК(16; 12) = 48: 15/48 и 28/48; 8 15/48 − 5 28/48 = 7 63/48 − 5 28/48 = 2 35/48. Проверка: 5 28/48 + 2 35/48 = 7 63/48 = 8 15/48 = 8 5/16 ✓. Ответ: x = 2 35/48.
б) x = 8 5/16 − 5 7/12. НОК(16; 12) = 48: 15/48 и 28/48; 8 15/48 − 5 28/48 = 7 63/48 − 5 28/48 = 2 35/48. Проверка: 5 28/48 + 2 35/48 = 7 63/48 = 8 15/48 = 8 5/16 ✓. Ответ: x = 2 35/48.
Проверочная работа № 2 (п. 11).
3. С поля площадью 25 га собрали 1052 ц пшеницы, а с поля площадью 30 га собрали 1463 ц пшеницы. а) Найдите урожайность пшеницы на каждом поле. б) На каком поле урожайность пшеницы выше?
На сколько?
Урожайность — масса урожая с одного гектара.
а) Первое поле: 1052 : 25 = 42,08 ц/га. Второе поле: 1463 : 30 = 48 23/30 ≈ 48,77 ц/га (нацело не делится).
б) 48,77 > 42,08, поэтому урожайность выше на втором поле. Разность 1463/30 − 1052/25 = 6 103/150 ≈ 6,69 ц/га. Ответ: а) 42,08 ц/га и ≈ 48,77 ц/га; б) на втором поле, примерно на 6,69 ц/га.
а) Первое поле: 1052 : 25 = 42,08 ц/га. Второе поле: 1463 : 30 = 48 23/30 ≈ 48,77 ц/га (нацело не делится).
б) 48,77 > 42,08, поэтому урожайность выше на втором поле. Разность 1463/30 − 1052/25 = 6 103/150 ≈ 6,69 ц/га. Ответ: а) 42,08 ц/га и ≈ 48,77 ц/га; б) на втором поле, примерно на 6,69 ц/га.
Проверочная работа № 2 (п. 11). 4*. На сколько сумма чисел 4 439/751 и 2 1/7 больше разности этих чисел?
Пусть a = 4 439/751, b = 2 1/7. Сумма a + b, разность a − b. Разница между ними (a + b) − (a − b) = 2b, то есть дробь 439/751 сокращается и считать её не нужно: 2 · 2 1/7 = 4 2/7. Ответ: на 4 2/7.