11. Действия сложения и вычитания смешанных чисел (упражнения 2.231–2.242) — с. 76
2.231. Из двух селений одновременно навстречу друг другу вышли трактор и гужевая повозка. Каждый час расстояние между ними уменьшалось на 28 31/40 км. Найдите скорость трактора, если скорость гужевой повозки 7 5/8 км/ч.
Расстояние уменьшается со скоростью сближения — суммой скоростей. Скорость трактора: 28 31/40 − 7 5/8 = 28 31/40 − 7 25/40 = 21 6/40 = 21 3/20 км/ч. Ответ: 21 3/20 км/ч.
2.232. Мотоциклист обогнал автобус и стал удаляться от него со скоростью 3/10 км/мин. С какой скоростью двигался мотоциклист, если скорость автобуса 1 4/15 км/мин?
Скорость удаления равна разности скоростей мотоциклиста и автобуса, поэтому скорость мотоциклиста: 1 4/15 + 3/10 = 1 8/30 + 9/30 = 1 17/30 км/мин. Ответ: 1 17/30 км/мин.
2.233. Выполните действия: а) 2 4/7 + 31 + 4 13/21 + 5 3/7 + 3 1/14 + 8/21; б) 7 7/20 − 4,75 + 3 4/5; в) 9 7/15 − (5 1/9 + 2 2/15); г) (22 8/9 + 2 1/7) − 9 5/9.
а) Группируем: (2 4/7 + 5 3/7) = 7 7/7 = 8; (4 13/21 + 8/21) = 4 21/21 = 5; 8 + 5 + 31 = 44; 44 + 3 1/14 = 47 1/14. б) 7 7/20 = 7,35; 7,35 − 4,75 = 2,6; 3 4/5 = 3,8; 2,6 + 3,8 = 6,4 = 6 2/5. в) 5 1/9 + 2 2/15 = 5 5/45 + 2 6/45 = 7 11/45; 9 7/15 = 9 21/45; 9 21/45 − 7 11/45 = 2 10/45 = 2 2/9. г) 22 8/9 − 9 5/9 = 13 3/9 = 13 1/3; 13 1/3 + 2 1/7 = 15 10/21. Ответ: а) 47 1/14; б) 6 2/5; в) 2 2/9; г) 15 10/21.
2.234. Вычислите. а) 12 · 8; + 14; : 11; · 15; : 25. б) 16 · 3; : 12; · 13; + 38; : 18. в) 1 : 2; · 0,6; + 6; : 0,7; − 3,4. г) 3,2 − 2; · 5; : 0,1; : 1,5; · 0,01.
Цепочки считаем сверху вниз. а) 96; 110; 10; 150; 6. б) 48; 4; 52; 90; 5. в) 0,5; 0,3; 6,3; 9; 5,6. г) 1,2; 6; 60; 40; 0,4. Ответ: а) 6; б) 5; в) 5,6; г) 0,4.
2.235. Найдите числа, которых не хватает на схеме справа.
От числа 6 в центре идут пары стрелок: прямая операция и обратная ей. Прямые: :3 → 6 : 3 = 2; ·10 → 6 · 10 = 60; :0,2 → 6 : 0,2 = 30; ·1 → 6 · 1 = 6 — это числа в угловых кружках. Обратные операции возвращают в 6: 2 · 3 = 6, значит, в малом кружке 3 (операция «·3»); 60 : 10 = 6 — число 10 (операция «:10»); 30 · 0,2 = 6 — число 0,2 (операция «·0,2»); 6 : 1 = 6 — число 1 (операция «:1»). Ответ: в угловых кружках 2, 60, 30, 6; в малых кружках 3, 10, 0,2, 1. Оговорка: знаки операций в малых кружках на скане плохо различимы и определены как обратные к прямым.
2.236. При каких натуральных значениях k выполняется неравенство: а) k/11 < 13/66; б) k/95 < 2/19; в) k/7 < 8/56?
Приводим к общему знаменателю. а) k/11 = 6k/66 < 13/66 при 6k < 13, то есть k < 2 1/6: k = 1 и k = 2. б) 2/19 = 10/95, поэтому k/95 < 10/95 при k < 10: k = 1, 2, …, 9. в) 8/56 = 1/7, поэтому k/7 < 1/7 при k < 1: натуральных k нет. Ответ: а) 1, 2; б) 1–9; в) таких k нет.
2.237. Каждое ребро куба уменьшили на 40 %. На сколько процентов уменьшится объём куба?
Каждое ребро стало 60 % прежнего, то есть 0,6a. Объём V = a³ стал (0,6a)³ = 0,216a³, то есть 21,6 % прежнего. Уменьшился на 100 % − 21,6 % = 78,4 %. Ответ: на 78,4 %.
2.238. Коля вышел из дома в 7 ч 20 мин. На дорогу до школы он потратил 25 мин, а вернулся из школы в 14 ч 35 мин. Сколько времени Коля пробыл в школе, если на дорогу до дома он потратил 36 мин?
В школу Коля пришёл в 7 ч 20 мин + 25 мин = 7 ч 45 мин. Домой он вернулся в 14 ч 35 мин, а дорога заняла 36 мин, значит, из школы вышел в 14 ч 35 мин − 36 мин = 13 ч 59 мин. В школе пробыл 13 ч 59 мин − 7 ч 45 мин = 6 ч 14 мин. Ответ: 6 ч 14 мин. Оговорка: «вернулся из школы в 14 ч 35 мин» понято как время прибытия домой.
2.239. а) Является ли любой ромб квадратом? б) Является ли любой ромб правильным многоугольником? в) Является ли любой квадрат ромбом?
Ромб — четырёхугольник с равными сторонами. а) Нет: у ромба углы могут быть не прямыми (например, 60° и 120°). б) Нет: правильный многоугольник должен иметь равные и стороны, и углы, а у ромба углы не обязательно равны. в) Да: у квадрата все стороны равны, значит, он ромб (а ромб с прямыми углами — квадрат).
2.240. Используя переместительное и сочетательное свойства натуральных чисел, докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями.
Сложение дробей с одинаковым знаменателем c означает сложение числителей: a/c + b/c = (a + b)/c. Переместительное: a/c + b/c = (a + b)/c = (b + a)/c = b/c + a/c, так как a + b = b + a для натуральных чисел. Сочетательное: (a/c + b/c) + d/c = ((a + b) + d)/c = (a + (b + d))/c = a/c + (b/c + d/c), так как (a + b) + d = a + (b + d) для натуральных чисел. Свойства доказаны.
2.241. Вычислите: а) 1/2 − 2/7; б) 5/6 + 1/10; в) 3/5 − 4/15; г) 1/4 + 1/9; д) 0 + 4/11; е) 5/6 + 2/15; ж) 31/60 − 17/45; з) 23/45 − 29/60; и) 21/22 + 8/55; к) 9/19 − 0.
а) 7/14 − 4/14 = 3/14. б) 25/30 + 3/30 = 28/30 = 14/15. в) 9/15 − 4/15 = 5/15 = 1/3. г) 9/36 + 4/36 = 13/36. д) 4/11. е) 25/30 + 4/30 = 29/30. ж) НОЗ = 180: 93/180 − 68/180 = 25/180 = 5/36. з) 92/180 − 87/180 = 5/180 = 1/36. и) НОЗ = 110: 105/110 + 16/110 = 121/110 = 1 11/110. к) 9/19.
2.242. Вычислите с помощью калькулятора и результат округлите до тысячных: 0,48 · 3,654 − 2,587 · 0,327 + 20,384 : 8,32.
По приоритету действий: 0,48 · 3,654 = 1,75392; 2,587 · 0,327 = 0,845949; 20,384 : 8,32 = 2,45. Тогда 1,75392 − 0,845949 + 2,45 = 3,357971 ≈ 3,358. Ответ: 3,358.