11. Действия сложения и вычитания смешанных чисел (упражнения 2.220–2.230) — с. 75
2.220. Запишите множество всех чисел, меньших 4 5/12, но больших 3 1/4, знаменатель дробной части которых равен 12.
3 1/4 = 3 3/12, а 4 5/12 оставляем. Нужны смешанные числа с дробной частью со знаменателем 12, лежащие строго между 3 3/12 и 4 5/12. Это 3 4/12, 3 5/12, 3 6/12, 3 7/12, 3 8/12, 3 9/12, 3 10/12, 3 11/12, 4 1/12, 4 2/12, 4 3/12, 4 4/12. Ответ: {3 4/12; 3 5/12; 3 6/12; 3 7/12; 3 8/12; 3 9/12; 3 10/12; 3 11/12; 4 1/12; 4 2/12; 4 3/12; 4 4/12} — всего 12 чисел. Оговорка: дробные части считаются записанными именно со знаменателем 12 (без сокращения).
2.221. Отметьте на координатной прямой (рис. 2.6) точки, координаты которых равны: а) 1 − a/b; б) 2 + a/b; в) 3 − a/b.
По рисунку единичный отрезок (от 0 до 1) занимает 6 клеток, а точка C(a/b) лежит на 4 клетки правее нуля, то есть a/b = 4/6 = 2/3. а) 1 − a/b = 1/3: отступаем от точки 1 влево на 4 клетки — получаем точку в 2 клетках от нуля. б) 2 + a/b = 2 2/3: от точки 2 откладываем вправо 4 клетки (всего 16 клеток от нуля). в) 3 − a/b = 2 1/3: от точки 3 влево 4 клетки (14 клеток от нуля). Оговорка: значение a/b = 2/3 определено по клеткам рисунка.
2.222. Найдите периметр четырёхугольника DEFK, если известны его стороны: а) DE = 3 5/7 см, EF = 4 9/14 см, FK = 3 1/2 см и DK = 4 см; б) DE = 7 9/10 дм, EF = 6 1/12 дм, FK = 5 7/15 дм и DK = 7 дм.
Периметр — сумма длин сторон. а) Дробные части: 5/7 = 10/14, 9/14, 1/2 = 7/14; сумма 26/14 = 1 12/14 = 1 6/7. Целые части: 3 + 4 + 3 + 4 = 14. P = 14 + 1 6/7 = 15 6/7 см. б) НОЗ = 60: 9/10 = 54/60, 1/12 = 5/60, 7/15 = 28/60; сумма 87/60 = 1 27/60 = 1 9/20. Целые части: 7 + 6 + 5 + 7 = 25. P = 25 + 1 9/20 = 26 9/20 дм. Ответ: а) 15 6/7 см; б) 26 9/20 дм.
2.223. Шёлковую ленту разрезали на две части так, что длина одной части равна 6 3/8 м, а другой — на 2 4/5 м меньше. Какой длины была лента первоначально?
Вторая часть: 6 3/8 − 2 4/5 = 6 15/40 − 2 32/40 = 5 55/40 − 2 32/40 = 3 23/40 м. Вся лента: 6 15/40 + 3 23/40 = 9 38/40 = 9 19/20 м. Ответ: 9 19/20 м.
2.224. Ребёнок за первый месяц прибавил 1 3/25 кг, что на 7/20 кг больше, чем за второй. Сколько килограммов набрал ребёнок за два месяца?
За второй месяц: 1 3/25 − 7/20 = 1 12/100 − 35/100 = 77/100 кг. За два месяца: 1 12/100 + 77/100 = 1 89/100 = 1,89 кг. Ответ: 1 89/100 кг (1,89 кг).
2.225. Папа купил в магазине 5 1/2 кг картофеля, моркови на 2 2/3 кг меньше, чем картофеля, а репчатого лука на 1 1/6 кг больше, чем моркови. Сколько килограммов овощей купил папа?
Моркови: 5 1/2 − 2 2/3 = 5 3/6 − 2 4/6 = 4 9/6 − 2 4/6 = 2 5/6 кг. Лука: 2 5/6 + 1 1/6 = 3 6/6 = 4 кг. Всего: 5 3/6 + 2 5/6 + 4 = 7 8/6 + 4 = 8 1/3 + 4 = 12 1/3 кг. Ответ: 12 1/3 кг.
2.226. За три рейса самосвал перевёз 20 т гравия. За первые два рейса он перевёз 14 5/12 т гравия, за последние два рейса — 13 11/20 т. Сколько тонн гравия самосвал перевёз за каждый рейс по отдельности?
Третий рейс: 20 − 14 5/12 = 19 12/12 − 14 5/12 = 5 7/12 т. Первый рейс: 20 − 13 11/20 = 6 9/20 т. Второй рейс: 14 5/12 − 6 9/20 = 14 25/60 − 6 27/60 = 13 85/60 − 6 27/60 = 7 58/60 = 7 29/30 т. Проверка: 6 9/20 + 7 29/30 + 5 7/12 = 6 27/60 + 7 58/60 + 5 35/60 = 18 120/60 = 20. Ответ: 6 9/20 т, 7 29/30 т, 5 7/12 т.
2.227. Площадь трёх участков 15 га. Площадь первого и второго участков вместе 9 5/6 га, а площадь второго и третьего вместе — 8 2/5 га. Найдите площадь каждого участка.
Третий участок: 15 − 9 5/6 = 14 6/6 − 9 5/6 = 5 1/6 га. Первый участок: 15 − 8 2/5 = 6 3/5 га. Второй: 9 5/6 − 6 3/5 = 9 25/30 − 6 18/30 = 3 7/30 га. Проверка: 3 7/30 + 5 1/6 = 3 7/30 + 5 5/30 = 8 12/30 = 8 2/5. Ответ: 6 3/5 га, 3 7/30 га, 5 1/6 га.
2.228. В первый день скосили 212 1/2 ц травы, во второй — на 33 1/5 ц больше, а в третий — на 23 3/5 ц меньше, чем в первый и второй дни. Сколько получится сена из скошенной травы, если масса сена составляет 20 % массы травы?
Второй день: 212 1/2 + 33 1/5 = 212 5/10 + 33 2/10 = 245 7/10 ц. Первый и второй вместе: 212 5/10 + 245 7/10 = 457 12/10 = 458 1/5 ц. Третий день: 458 1/5 − 23 3/5 = 457 6/5 − 23 3/5 = 434 3/5 ц. Всего травы: 458 1/5 + 434 3/5 = 892 4/5 ц = 892,8 ц. Сена 20 % = 1/5: 892,8 · 0,2 = 178,56 ц. Ответ: 178,56 ц сена.
2.229. Скорость моторной лодки в стоячей воде равна 15 5/12 км/ч, а скорость течения реки — 2 3/4 км/ч. Найдите скорости моторной лодки по течению реки и против течения.
По течению скорость складывается: 15 5/12 + 2 3/4 = 15 5/12 + 2 9/12 = 17 14/12 = 18 1/6 км/ч. Против течения вычитаем: 15 5/12 − 2 9/12 = 14 17/12 − 2 9/12 = 12 8/12 = 12 2/3 км/ч. Ответ: 18 1/6 км/ч и 12 2/3 км/ч.
2.230. Скорость теплохода по течению реки равна 29 5/6 км/ч, а по озеру — 26 3/4 км/ч. Найдите скорость теплохода против течения реки.
Скорость по озеру — собственная скорость (стоячая вода) 26 3/4 км/ч. Скорость течения: 29 5/6 − 26 3/4 = 29 10/12 − 26 9/12 = 3 1/12 км/ч. Против течения: 26 3/4 − 3 1/12 = 26 9/12 − 3 1/12 = 23 8/12 = 23 2/3 км/ч. Ответ: 23 2/3 км/ч.