11. Действия сложения и вычитания смешанных чисел (упражнения 2.243–2.258) — с. 77
2.243. На филателистической выставке 27 частей количества марок было посвящено знаменательным событиям, 9 частей — природе и одну часть представляли редкие марки. Сколько всего марок было на выставке, если марок, посвящённых природе, было на 680 больше, чем редких?
Природе посвящено 9 частей, редким маркам — 1 часть, разница 9 − 1 = 8 частей. Эти 8 частей составляют 680 марок, значит, одна часть — 680 : 8 = 85 марок. Всего частей 27 + 9 + 1 = 37. Всего марок: 85 · 37 = 3145. Ответ: 3145 марок.
2.244. Сколько можно составить шестизначных номеров телефона, которые начинаются с цифр 678?
Первые три цифры заданы:
678. Остаются три места, на каждом может стоять любая из 10 цифр (от 0 до 9; номер телефона может начинаться и с нуля, и содержать нули). Число номеров: 10 · 10 · 10 = 1000. Ответ: 1000 номеров.
2.245. Найдите значение выражения: 1) 85 · 1234 − 5625 : 75 − 159758 : 529; 2) 4225 : 65 + 75 · 2454 − 330078 : 813.
1) Порядок: сначала умножение и деления, потом вычитания. 85 · 1234 = 104 890; 5625 : 75 = 75; 159 758 : 529 = 302. 104 890 − 75 − 302 = 104 513. Ответ: 104 513.
2) 4225 : 65 = 65; 75 · 2454 = 184 050; 330 078 : 813 = 406. 65 + 184 050 − 406 = 183 709. Ответ: 183 709.
2) 4225 : 65 = 65; 75 · 2454 = 184 050; 330 078 : 813 = 406. 65 + 184 050 − 406 = 183 709. Ответ: 183 709.
2.246. Найдите сумму: а) 38 1/8 + 4 5/24; б) 4 19/75 + 6 17/45; в) 47 3/14 + 1 8/21; г) 54 3/4 + 18 5/6; д) 28 5/9 + 13 3/4; е) 4/7 + 2 3/5; ж) 9 + 2 2/9; з) 3 11/24 + 1/6.
Складываем отдельно целые и дробные части, дроби приводим к общему знаменателю.
а) 1/8 = 3/24; 3/24 + 5/24 = 8/24 = 1/3; 38 + 4 = 42. Ответ: 42 1/3.
б) НОК(75; 45) = 225: 19/75 = 57/225, 17/45 = 85/225; 142/225; 4 + 6 = 10. Ответ: 10 142/225.
в) НОК(14; 21) = 42: 9/42 + 16/42 = 25/42; 47 + 1 = 48. Ответ: 48 25/42.
г) 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12; 19/12 = 1 7/12; 54 + 18 + 1 = 73. Ответ: 73 7/12.
д) НОК(9; 4) = 36: 20/36 + 27/36 = 47/36 = 1 11/36; 28 + 13 + 1 = 42. Ответ: 42 11/36.
е) 4/7 = 20/35, 3/5 = 21/35; 41/35 = 1 6/35; 2 + 1 = 3. Ответ: 3 6/35.
ж) 9 + 2 2/9 = 11 2/9. Ответ: 11 2/9.
з) 1/6 = 4/24; 11/24 + 4/24 = 15/24 = 5/8. Ответ: 3 5/8.
а) 1/8 = 3/24; 3/24 + 5/24 = 8/24 = 1/3; 38 + 4 = 42. Ответ: 42 1/3.
б) НОК(75; 45) = 225: 19/75 = 57/225, 17/45 = 85/225; 142/225; 4 + 6 = 10. Ответ: 10 142/225.
в) НОК(14; 21) = 42: 9/42 + 16/42 = 25/42; 47 + 1 = 48. Ответ: 48 25/42.
г) 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12; 19/12 = 1 7/12; 54 + 18 + 1 = 73. Ответ: 73 7/12.
д) НОК(9; 4) = 36: 20/36 + 27/36 = 47/36 = 1 11/36; 28 + 13 + 1 = 42. Ответ: 42 11/36.
е) 4/7 = 20/35, 3/5 = 21/35; 41/35 = 1 6/35; 2 + 1 = 3. Ответ: 3 6/35.
ж) 9 + 2 2/9 = 11 2/9. Ответ: 11 2/9.
з) 1/6 = 4/24; 11/24 + 4/24 = 15/24 = 5/8. Ответ: 3 5/8.
2.247. Найдите разность: а) 1 − 4/17; б) 5 − 7/13; в) 6 − 5 6/11; г) 4 5/9 − 3; д) 4 9/16 − 2 3/14; е) 11 7/32 − 9 11/64; ж) 17 2/3 − 6 7/8; з) 24 7/15 − 15 5/12.
а) 1 = 17/17; 17/17 − 4/17 = 13/17. Ответ: 13/17.
б) 5 = 4 13/13; 4 13/13 − 7/13 = 4 6/13. Ответ: 4 6/13.
в) 6 = 5 11/11; 5 11/11 − 5 6/11 = 5/11. Ответ: 5/11.
г) целые вычитаем из целых: 4 − 3 = 1, дробь остаётся. Ответ: 1 5/9.
д) НОК(16; 14) = 112: 9/16 = 63/112, 3/14 = 24/112; 63/112 − 24/112 = 39/112; 4 − 2 = 2. Ответ: 2 39/112.
е) 7/32 = 14/64; 14/64 − 11/64 = 3/64; 11 − 9 = 2. Ответ: 2 3/64.
ж) НОК(3; 8) = 24: 2/3 = 16/24, 7/8 = 21/24. 16/24 < 21/24, поэтому занимаем единицу: 17 16/24 = 16 40/24; 40/24 − 21/24 = 19/24; 16 − 6 = 10. Ответ: 10 19/24.
з) НОК(15; 12) = 60: 7/15 = 28/60, 5/12 = 25/60; 3/60 = 1/20; 24 − 15 = 9. Ответ: 9 1/20.
б) 5 = 4 13/13; 4 13/13 − 7/13 = 4 6/13. Ответ: 4 6/13.
в) 6 = 5 11/11; 5 11/11 − 5 6/11 = 5/11. Ответ: 5/11.
г) целые вычитаем из целых: 4 − 3 = 1, дробь остаётся. Ответ: 1 5/9.
д) НОК(16; 14) = 112: 9/16 = 63/112, 3/14 = 24/112; 63/112 − 24/112 = 39/112; 4 − 2 = 2. Ответ: 2 39/112.
е) 7/32 = 14/64; 14/64 − 11/64 = 3/64; 11 − 9 = 2. Ответ: 2 3/64.
ж) НОК(3; 8) = 24: 2/3 = 16/24, 7/8 = 21/24. 16/24 < 21/24, поэтому занимаем единицу: 17 16/24 = 16 40/24; 40/24 − 21/24 = 19/24; 16 − 6 = 10. Ответ: 10 19/24.
з) НОК(15; 12) = 60: 7/15 = 28/60, 5/12 = 25/60; 3/60 = 1/20; 24 − 15 = 9. Ответ: 9 1/20.
2.248. Решите уравнение: а) 1 − y = 7/24 + 1/4; б) 1 + m = 3/5 + 6/15; в) t + 3 5/6 = 7 1/6 − 2 2/3.
а) Правая часть: 7/24 + 6/24 = 13/24. Вычитаемое y = 1 − 13/24 = 11/24. Проверка: 1 − 11/24 = 13/24 ✓. Ответ: y = 11/24.
б) Правая часть: 3/5 + 6/15 = 9/15 + 6/15 = 1. Тогда 1 + m = 1, значит m = 0. Ответ: m = 0.
в) Правая часть: 7 1/6 − 2 2/3 = 6 7/6 − 2 4/6 = 4 3/6 = 4 1/2. Слагаемое t = 4 1/2 − 3 5/6 = 4 3/6 − 3 5/6 = 3 9/6 − 3 5/6 = 4/6 = 2/3. Проверка: 2/3 + 3 5/6 = 4/6 + 3 5/6 = 3 9/6 = 4 1/2 ✓. Ответ: t = 2/3.
б) Правая часть: 3/5 + 6/15 = 9/15 + 6/15 = 1. Тогда 1 + m = 1, значит m = 0. Ответ: m = 0.
в) Правая часть: 7 1/6 − 2 2/3 = 6 7/6 − 2 4/6 = 4 3/6 = 4 1/2. Слагаемое t = 4 1/2 − 3 5/6 = 4 3/6 − 3 5/6 = 3 9/6 − 3 5/6 = 4/6 = 2/3. Проверка: 2/3 + 3 5/6 = 4/6 + 3 5/6 = 3 9/6 = 4 1/2 ✓. Ответ: t = 2/3.
2.249. Выполните действия: а) 4 13/24 + 1/8 − 3 1/24; б) 3 8/9 + 1 3/4 + 1/9; в) 5 1/2 − 2 7/12 − 2 3/10; г) 4 2/3 + 2 3/4 − 1 5/12.
а) 4 13/24 − 3 1/24 = 1 12/24 = 1 1/2; 1 1/2 + 1/8 = 1 4/8 + 1/8 = 1 5/8. Ответ: 1 5/8.
б) 3 8/9 + 1/9 = 4 (дроби дают ровно 1); 4 + 1 3/4 = 5 3/4. Ответ: 5 3/4.
в) НОК = 60: 5 30/60 − 2 35/60 = 4 90/60 − 2 35/60 = 2 55/60 = 2 11/12; дальше 2 3/10 = 2 18/60: 2 55/60 − 2 18/60 = 37/60. Ответ: 37/60.
г) НОК = 12: 4 8/12 + 2 9/12 = 6 17/12 = 7 5/12; 7 5/12 − 1 5/12 = 6. Ответ: 6.
б) 3 8/9 + 1/9 = 4 (дроби дают ровно 1); 4 + 1 3/4 = 5 3/4. Ответ: 5 3/4.
в) НОК = 60: 5 30/60 − 2 35/60 = 4 90/60 − 2 35/60 = 2 55/60 = 2 11/12; дальше 2 3/10 = 2 18/60: 2 55/60 − 2 18/60 = 37/60. Ответ: 37/60.
г) НОК = 12: 4 8/12 + 2 9/12 = 6 17/12 = 7 5/12; 7 5/12 − 1 5/12 = 6. Ответ: 6.
2.250. Один насос откачал 7/20 резервуара воды, а другой — 17/30 этого же резервуара. Какую часть резервуара воды осталось откачать?
Оба насоса откачали 7/20 + 17/30 = 21/60 + 34/60 = 55/60 = 11/12 резервуара. Осталось 1 − 11/12 = 1/12. Ответ: 1/12 резервуара.
2.251. Первая бригада может покрасить многоэтажный дом за 8 дней, а вторая — за 12 дней. Какую часть дома останется покрасить, если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая — 5 дней?
За день первая бригада красит 1/8 дома, вторая — 1/12. За 3 дня первая покрасит 3/8, за 5 дней вторая — 5/12. Вместе 3/8 + 5/12 = 9/24 + 10/24 = 19/24. Остаётся 1 − 19/24 = 5/24 дома. Ответ: 5/24 дома.
2.252. Развивай мышление. Дуб рос на краю обрыва. Жёлудь, висевший на дубе, оторвался и через 3 с достиг земли. На какой высоте висел жёлудь, если за первую секунду он пролетел 9 4/5 м и каждую следующую секунду пролетал на 9 4/5 м больше?
Найдите среднюю скорость падения жёлудя.
Первая секунда: 9 4/5 м. Вторая: 9 4/5 + 9 4/5 = 19 3/5 м. Третья: 19 3/5 + 9 4/5 = 29 2/5 м. Высота: 9 4/5 + 19 3/5 + 29 2/5 = 58 4/5 м (в десятичной записи 9,8 + 19,6 + 29,4 = 58,8 м). Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время: 58,8 : 3 = 19,6 м/с, то есть 19 3/5 м/с. Ответ: жёлудь висел на высоте 58 4/5 м; средняя скорость 19 3/5 м/с.
Оговорка: в разделе «Ответы» учебника для этой задачи указано 17 1/10 м/с; с числами, напечатанными в условии (9 4/5 м и ещё 9 4/5 м каждую секунду), такой результат не получается, поэтому ответ дан по условию.
Оговорка: в разделе «Ответы» учебника для этой задачи указано 17 1/10 м/с; с числами, напечатанными в условии (9 4/5 м и ещё 9 4/5 м каждую секунду), такой результат не получается, поэтому ответ дан по условию.
2.253. Берёза выше ели на 3 5/14 м, а сосна выше берёзы на 4 3/10 м. Какой высоты ель и сосна, если высота берёзы 12 16/35 м?
Ель ниже берёзы, поэтому 12 16/35 − 3 5/14. НОК(35; 14) = 70: 16/35 = 32/70, 5/14 = 25/70; 12 32/70 − 3 25/70 = 9 7/70 = 9 1/10 м.
Сосна выше берёзы: 12 16/35 + 4 3/10. НОК(35; 10) = 70: 32/70 + 21/70 = 53/70; 12 + 4 = 16, получается 16 53/70 м.
Ответ: ель 9 1/10 м, сосна 16 53/70 м.
Оговорка: в условии на скане числитель дроби 3 ?/14 и 4 ?/10 читается как 5 и 3; ответ дан для них.
Сосна выше берёзы: 12 16/35 + 4 3/10. НОК(35; 10) = 70: 32/70 + 21/70 = 53/70; 12 + 4 = 16, получается 16 53/70 м.
Ответ: ель 9 1/10 м, сосна 16 53/70 м.
Оговорка: в условии на скане числитель дроби 3 ?/14 и 4 ?/10 читается как 5 и 3; ответ дан для них.
2.254. Вычислите: а) 4 3/5 + 2,6 − 5 1/2; б) 4 1/3 + 5,3 − 2 7/30.
Десятичные дроби переводим в обыкновенные.
а) 2,6 = 2 3/5. 4 3/5 + 2 3/5 = 6 6/5 = 7 1/5; 7 1/5 − 5 1/2 = 7 2/10 − 5 5/10 = 6 12/10 − 5 5/10 = 1 7/10. Ответ: 1 7/10 (то есть 1,7).
б) 5,3 = 5 3/10. НОК = 30: 4 10/30 + 5 9/30 = 9 19/30; 9 19/30 − 2 7/30 = 7 12/30 = 7 2/5. Ответ: 7 2/5 (то есть 7,4).
а) 2,6 = 2 3/5. 4 3/5 + 2 3/5 = 6 6/5 = 7 1/5; 7 1/5 − 5 1/2 = 7 2/10 − 5 5/10 = 6 12/10 − 5 5/10 = 1 7/10. Ответ: 1 7/10 (то есть 1,7).
б) 5,3 = 5 3/10. НОК = 30: 4 10/30 + 5 9/30 = 9 19/30; 9 19/30 − 2 7/30 = 7 12/30 = 7 2/5. Ответ: 7 2/5 (то есть 7,4).
2.255. Для приготовления яблочной пастилы на 10 частей яблок берут 1 часть сахара (по массе). Сколько килограммов яблок и килограммов сахара надо взять, чтобы получить 2 кг пастилы, если при сушке масса яблочного пюре с сахаром уменьшается в 5,5 раза?
До сушки масса пюре с сахаром в 5,5 раза больше готовой пастилы: 2 · 5,5 = 11 кг. В этой массе 10 + 1 = 11 частей, поэтому одна часть — 11 : 11 = 1 кг. Яблок 10 частей — 10 кг, сахара 1 часть — 1 кг. Проверка: 10 + 1 = 11 кг; 11 : 5,5 = 2 кг ✓. Ответ: 10 кг яблок и 1 кг сахара.