10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей (упражнения 2.166–2.189) — с. 68
2.180. Периметр треугольника ABC равен 17/20 м. Сторона AB равна 17/50 м, сторона BC на 3/50 м длиннее AB. Найдите сторону AC.
BC = 17/50 + 3/50 = 20/50 = 2/5 м. Сумма AB и BC: 17/50 + 2/5 = 17/50 + 20/50 = 37/50 м. AC = 17/20 − 37/50 = 85/100 − 74/100 = 11/100 м. Ответ: 11/100 м.
2.181. В первый день дорожно-строительной бригадой было отремонтировано 4/25 всей дороги, во второй день — на 3/20 больше, чем в первый, а в третий день — на 1/50 меньше, чем за два предыдущих дня вместе. Какую часть дороги отремонтировала бригада за три дня?
Первый день: 4/25 = 16/100. Второй: 4/25 + 3/20 = 16/100 + 15/100 = 31/100. За два дня 16/100 + 31/100 = 47/100. Третий: 47/100 − 1/50 = 47/100 − 2/100 = 45/100. За три дня 47/100 + 45/100 = 92/100 = 23/25. Ответ: 23/25 всей дороги.
2.182. Первый мастер может выполнить заказ по пошиву карнавальных костюмов за 14 ч, а второй — за 18 ч. Какую часть заказа выполнят оба мастера, если первый будет работать 5 ч, а второй — 7 ч?
За 1 час первый делает 1/14 заказа, второй — 1/18. За 5 ч первый выполнит 5/14, за 7 ч второй — 7/18. Вместе 5/14 + 7/18 = 45/126 + 49/126 = 94/126 = 47/63. Ответ: 47/63 заказа.
2.183. Вычислите. а) 84 : 6; · 3; + 13; : 5; + 49. б) 16 · 5; − 14; : 11; + 92; : 14. в) 2,3 + 3,7; : 3; − 0,8; : 0,6; · 1,2. г) 0,75 : 3; + 0,15; · 8; − 1,7; : 3. д) 3,9 − 2,5; · 2; + 2,8; : 0,8; · 0,3.
Цепочки вычисляем сверху вниз. а) 14; 42; 55; 11; 60. б) 80; 66; 6; 98; 7. в) 6; 2; 1,2; 2; 2,4. г) 0,25; 0,4; 3,2; 1,5; 0,5. д) 1,4; 2,8; 5,6; 7; 2,1. Ответ: а) 60; б) 7; в) 2,4; г) 0,5; д) 2,1.
2.184. В летнем оздоровительном лагере 90 детей. На роликовых коньках умеют кататься 25 человек, на сноуборде — 14 человек, а на скейтборде — 37 человек. На скейтборде и сноуборде умеют кататься 5 человек, на роликовых коньках и на скейтборде — 10 человек, на роликовых коньках и сноуборде — 8, на всех трёх — 4 человека. Сколько детей не умеют кататься ни на роликовых коньках, ни на сноуборде, ни на скейтборде?
Число детей, которые умеют хотя бы на одном, находим по правилу включений и исключений: 25 + 14 + 37 − 5 − 10 − 8 + 4 = 57. (Сумма: 25 + 14 + 37 = 76; пары вычитаем: 76 − 23 = 53; тройных добавляем: 53 + 4 = 57.) Не умеют ни на чём: 90 − 57 = 33. Ответ: 33 ребёнка.
2.185. Вычислите: а) 0,5² − 0,4²; б) 4³ − 14,5; в) 0,6² · 7; г) 3,9 : 0,1³.
а) 0,5² = 0,25, 0,4² = 0,16: 0,25 − 0,16 = 0,09. б) 4³ = 64: 64 − 14,5 = 49,5. в) 0,6² = 0,36: 0,36 · 7 = 2,52. г) 0,1³ = 0,001: 3,9 : 0,001 = 3900.
2.186. Запишите значение числового выражения, которое вычисляли на калькуляторе по следующему алгоритму: а) 1,23 ÷ 0,6 − 2,041 × 1001 =; б) 0,16 × 0,75 + 2,48 ÷ 1,3 =.
Калькулятор выполняет действия по порядку, как они нажаты. а) (1,23 : 0,6 − 2,041) · 1001 = (2,05 − 2,041) · 1001 = 0,009 · 1001 = 9,009. б) (0,16 · 0,75 + 2,48) : 1,3 = (0,12 + 2,48) : 1,3 = 2,6 : 1,3 = 2. Ответ: а) 9,009; б) 2.
2.187. Запишите смешанные числа так, чтобы их дробная часть не была неправильной дробью: а) 3 14/11, 17 18/5, 9 27/4; б) 9 14/14, 27 152/8, 14 121/11.
Выделяем целую часть из неправильной дроби и прибавляем к целой части. а) 3 14/11 = 3 + 1 3/11 = 4 3/11; 17 18/5 = 17 + 3 3/5 = 20 3/5; 9 27/4 = 9 + 6 3/4 = 15 3/4. б) 9 14/14 = 9 + 1 = 10; 27 152/8 = 27 + 19 = 46; 14 121/11 = 14 + 11 = 25.
2.188. Запишите в виде неправильной дроби дробную часть числа, равного данному, уменьшив целую часть на единицу: а) 4 8/17; б) 3 1/101; в) 10 14/23.
Одну единицу из целой части переводим в дробь: 1 = 17/17 и т. д. а) 4 8/17 = 3 + 17/17 + 8/17 = 3 25/17. б) 3 1/101 = 2 + 101/101 + 1/101 = 2 102/101. в) 10 14/23 = 9 + 23/23 + 14/23 = 9 37/23.
2.189.
1. Из посёлка выехал велосипедист со скоростью 13 км/ч. Через 0,2 ч за ним выехал автомобилист со скоростью 55 км/ч. Через какое время после своего выезда автомобилист обгонит велосипедиста на 10 км?
2. Байдарка отплыла от пристани со скоростью 6 км/ч. Через 0,6 ч за ней отправилась моторная лодка со скоростью 44 км/ч. Через какое время моторная лодка обгонит байдарку на 4 км?
1) К выезду автомобилиста велосипедист проехал 13 · 0,2 = 2,6 км. Чтобы автомобилист оказался впереди на 10 км, он должен сократить отставание 2,6 км и ещё уйти вперёд на 10 км: 2,6 + 10 = 12,6 км. Скорость сближения 55 − 13 = 42 км/ч. Время 12,6 : 42 = 0,3 ч.
2. Байдарка прошла 6 · 0,6 = 3,6 км; нужно сократить 3,6 км и обогнать на 4 км: 3,6 + 4 = 7,6 км. Скорость сближения 44 − 6 = 38 км/ч. Время 7,6 : 38 = 0,2 ч. Ответ: 1) через 0,3 ч; 2) через 0,2 ч.