10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей (упражнения 2.166–2.189) — с. 67
2.166. Представьте десятичную дробь в виде обыкновенной и вычислите: а) 0,2 + 1/7; б) 5/6 − 0,25; в) 23/25 + 0,4; г) 0,75 − 7/42.
а) 0,2 = 1/5; 1/5 + 1/7 = 7/35 + 5/35 = 12/35. б) 0,25 = 1/4; 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12. в) 0,4 = 2/5; 23/25 + 10/25 = 33/25 = 1 8/25. г) 0,75 = 3/4, 7/42 = 1/6; 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.
2.167. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и вычислите: а) 3,45 + 3/4; б) 11/20 − 0,25; в) 2,7 + 23/25; г) 1,1 − 7/8.
а) 3/4 = 0,75; 3,45 + 0,75 = 4,2. б) 11/20 = 0,55; 0,55 − 0,25 = 0,3. в) 23/25 = 0,92; 2,7 + 0,92 = 3,62. г) 7/8 = 0,875; 1,1 − 0,875 = 0,225.
2.168. Вычислите сначала в обыкновенных дробях, а потом в десятичных: а) 7/20 + 19/50; б) 4/25 + 3/4; в) 3/5 − 1/25; г) 4/5 − 99/125.
а) НОЗ = 100: 35/100 + 38/100 = 73/100; в десятичных 0,35 + 0,38 = 0,73. б) 16/100 + 75/100 = 91/100 = 0,91 (0,16 + 0,75 = 0,91). в) 15/25 − 1/25 = 14/25 = 0,56 (0,6 − 0,04 = 0,56). г) 100/125 − 99/125 = 1/125 = 0,008 (0,8 − 0,792 = 0,008).
2.169. Вычислите: а) 23/24 − (1/6 + 1/4); б) 4/35 + (3/5 − 4/7); в) 11/15 − (2/3 − 3/20); г) 5/18 + (2/9 + 1/27).
Сначала действия в скобках. а) 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12; 23/24 − 10/24 = 13/24. б) 3/5 − 4/7 = 21/35 − 20/35 = 1/35; 4/35 + 1/35 = 5/35 = 1/7. в) 2/3 − 3/20 = 40/60 − 9/60 = 31/60; 11/15 = 44/60; 44/60 − 31/60 = 13/60. г) 2/9 + 1/27 = 6/27 + 1/27 = 7/27; 5/18 + 7/27 = 15/54 + 14/54 = 29/54.
2.170. Найдите значение выражения: а) 7/40 + 11/60; б) 27/56 − 5/42; в) 11/72 − 7/54; г) 16/45 + 17/60.
а) НОЗ = 120: 21/120 + 22/120 = 43/120. б) НОЗ = 168: 81/168 − 20/168 = 61/168. в) НОЗ = 216: 33/216 − 28/216 = 5/216. г) НОЗ = 180: 64/180 + 51/180 = 115/180 = 23/36.
2.171. Выполните действия: а) 19/24 − 25/32 + (2/48 + 1/96); б) (11/12 − 3/15) + (7/20 − 1/30) − 2/3.
а) В скобках: 2/48 + 1/96 = 4/96 + 1/96 = 5/96. Дальше 19/24 − 25/32 = 76/96 − 75/96 = 1/96. Итого 1/96 + 5/96 = 6/96 = 1/16. б) 11/12 − 3/15 = 55/60 − 12/60 = 43/60; 7/20 − 1/30 = 21/60 − 2/60 = 19/60; 43/60 + 19/60 = 62/60; 2/3 = 40/60; 62/60 − 40/60 = 22/60 = 11/30. Ответ: а) 1/16; б) 11/30.
2.172. Решите уравнение: а) t − 11/18 = 11/12 − 5/9; б) 4/5 − (9/10 − z) = 1/5; в) (z + 5/12) − 9/20 = 11/15; г) 4/5 − (x + 1/60) = 2/3.
а) Правая часть: 11/12 − 5/9 = 33/36 − 20/36 = 13/36. Неизвестное уменьшаемое: t = 13/36 + 11/18 = 13/36 + 22/36 = 35/36. б) 9/10 − z = 4/5 − 1/5 = 3/5; z = 9/10 − 3/5 = 3/10. в) z + 5/12 = 11/15 + 9/20 = 44/60 + 27/60 = 71/60; z = 71/60 − 25/60 = 46/60 = 23/30. г) x + 1/60 = 4/5 − 2/3 = 2/15 = 8/60; x = 8/60 − 1/60 = 7/60. Ответ: а) 35/36; б) 3/10; в) 23/30; г) 7/60.
2.173. Вычислите: а) 14/25 + 0,09 − 1/4; б) 0,9 − 0,4 − 7/20; в) 0,8 − 2/3 + 1/5; г) 7/9 − 0,4 − 4/15.
а) 14/25 = 0,56, 1/4 = 0,25: 0,56 + 0,09 − 0,25 = 0,4 (= 2/5). б) 7/20 = 0,35: 0,9 − 0,4 − 0,35 = 0,15 (= 3/20). в) 0,8 = 4/5: 4/5 + 1/5 − 2/3 = 1 − 2/3 = 1/3. г) 0,4 = 2/5: 7/9 − 2/5 − 4/15 = 35/45 − 18/45 − 12/45 = 5/45 = 1/9.
2.174. Найдите сумму: а) 1/6 + 3/16 + 5/6 + 5/16; б) 5/11 + 2/3 + 1/9 + 6/11.
Переставляем слагаемые и группируем дроби с одинаковыми знаменателями (законы сложения). а) (1/6 + 5/6) + (3/16 + 5/16) = 1 + 8/16 = 1 + 1/2 = 1 1/2. б) (5/11 + 6/11) + (2/3 + 1/9) = 1 + (6/9 + 1/9) = 1 + 7/9 = 1 7/9.
2.175. С помощью свойства вычитания числа из суммы вычислите значение выражения: а) (9/16 + 5/6) − 1/16; б) (5/18 + 11/27) − 2/27.
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых. а) (9/16 − 1/16) + 5/6 = 8/16 + 5/6 = 1/2 + 5/6 = 3/6 + 5/6 = 8/6 = 1 1/3. б) 5/18 + (11/27 − 2/27) = 5/18 + 9/27 = 5/18 + 1/3 = 5/18 + 6/18 = 11/18.
2.176. С помощью свойства вычитания суммы из числа вычислите значение выражения: а) 5/7 − (3/7 + 3/14); б) 23/36 − (1/30 + 5/36).
Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из числа по очереди каждое слагаемое. а) (5/7 − 3/7) − 3/14 = 2/7 − 3/14 = 4/14 − 3/14 = 1/14. б) (23/36 − 5/36) − 1/30 = 18/36 − 1/30 = 1/2 − 1/30 = 15/30 − 1/30 = 14/30 = 7/15.
2.177. Вычислите значение выражения c/25 + c/15 при c = 1; c = 3; c = 6; c = 8.
Сначала упростим: c/25 + c/15 = 3c/75 + 5c/75 = 8c/75. При c = 1: 8/75. При c = 3: 24/75 = 8/25. При c = 6: 48/75 = 16/25. При c = 8: 64/75.
2.178. Вычислите значение выражения n/14 − 1/n при n = 6; n = 7.
При n = 6: 6/14 − 1/6 = 3/7 − 1/6 = 18/42 − 7/42 = 11/42. При n = 7: 7/14 − 1/7 = 1/2 − 1/7 = 7/14 − 2/14 = 5/14.
2.179. Одна сторона прямоугольника равна 3/20 м, а другая на 2/15 м больше. Найдите периметр прямоугольника.
Другая сторона: 3/20 + 2/15 = 9/60 + 8/60 = 17/60 м. Полупериметр: 3/20 + 17/60 = 9/60 + 17/60 = 26/60 = 13/30 м. Периметр: 2 · 13/30 = 13/15 м. Ответ: 13/15 м.