10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей — с. 65
Вопросы к п. 10.
Как сравнить две дроби с разными знаменателями?
Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями?
Какие законы сложения использованы в примере 4?
Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнить (сложить, вычесть) получившиеся дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. В примере 4 использованы переместительный и сочетательный законы сложения: слагаемые с одинаковыми знаменателями переставили и сгруппировали, 5/28 + 7/28 и 5/14 + 3/14.
2.148. Какая из дробей больше: а) 5/6 или 23/24; б) 6/11 или 10/19; в) 7/30 или 3/10; г) 4/35 или 5/21?
Приводим к общему знаменателю. а) 5/6 = 20/24 < 23/24: больше 23/24. б) НОЗ = 209: 6/11 = 114/209, 10/19 = 110/209: больше 6/11. в) 3/10 = 9/30 > 7/30: больше 3/10. г) НОЗ = 105: 4/35 = 12/105, 5/21 = 25/105: больше 5/21.
2.149. Что меньше: а) 11/56 или 5/28; б) 26/55 или 16/35?
а) 5/28 = 10/56, а 11/56 > 10/56: меньше 5/28. б) НОЗ = 385: 26/55 = 182/385, 16/35 = 176/385: меньше 16/35.
2.150. Что больше: а) 43/60 или 11/15; б) 27/30 или 20/21?
а) 11/15 = 44/60 > 43/60: больше 11/15. б) 27/30 = 9/10 = 189/210, 20/21 = 200/210: больше 20/21.
2.151. Сравните дроби: а) 3/4 и 7/12; б) 4/9 и 5/11; в) 3/5 и 47/75; г) 19/42 и 23/77.
а) 3/4 = 9/12 > 7/12, значит, 3/4 > 7/12. б) НОЗ = 99: 44/99 < 45/99, значит, 4/9 < 5/11. в) 3/5 = 45/75 < 47/75, значит, 3/5 < 47/75. г) 42 = 2 · 3 · 7, 77 = 7 · 11, НОЗ = 462: 19/42 = 209/462, 23/77 = 138/462, значит, 19/42 > 23/77.
2.152. Расположите в порядке возрастания дроби: а) 2/3, 5/6, 7/9, 11/12; б) 25/28, 53/56, 7/8, 13/14.
а) НОЗ = 36: 2/3 = 24/36, 5/6 = 30/36, 7/9 = 28/36, 11/12 = 33/36. По возрастанию: 2/3 < 7/9 < 5/6 < 11/12. б) НОЗ = 56: 25/28 = 50/56, 53/56, 7/8 = 49/56, 13/14 = 52/56. По возрастанию: 7/8 < 25/28 < 13/14 < 53/56.
2.153. Справедливо ли неравенство: а) 1/7 < 111/700; б) 307/7500 > 1/25; в) 11/825 < 16/1155?
а) 1/7 = 100/700 < 111/700 — справедливо. б) 1/25 = 300/7500 < 307/7500 — справедливо. в) 825 = 3 · 5² · 11, 1155 = 3 · 5 · 7 · 11, НОЗ = 5775: 11/825 = 77/5775, 16/1155 = 80/5775, 77 < 80 — справедливо. Ответ: во всех трёх случаях да.
2.154. Не приводя дроби к общему знаменателю, объясните, почему 1/7 > 1/9, 2/7 > 2/9, 4/7 > 4/9. Сформулируйте правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. Сравните по этому правилу дроби: а) 7/81 и 7/82; б) 15/181 и 15/182; в) 14/343 и 14/345.
Дробь с одинаковым числителем — это то же количество долей, но чем больше знаменатель, тем мельче доля (седьмая часть больше девятой). Правило: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. а) 81 < 82, значит, 7/81 > 7/82. б) 181 < 182, значит, 15/181 > 15/182. в) 343 < 345, значит, 14/343 > 14/345.
2.155. Сравните величины двумя способами: 1) выразив их в секундах; 2) приведя дроби к наименьшему общему знаменателю: а) 1/3 мин и 2/5 мин; б) 11/20 мин и 8/15 мин; в) 19/30 мин и 3/4 мин; г) 11/12 мин и 29/30 мин.
В минуте 60 с. 1) а) 1/3 мин = 20 с, 2/5 мин = 24 с — меньше 1/3 мин. б) 11/20 мин = 33 с, 8/15 мин = 32 с — больше 11/20 мин. в) 19/30 мин = 38 с, 3/4 мин = 45 с — больше 3/4 мин. г) 11/12 мин = 55 с, 29/30 мин = 58 с — больше 29/30 мин.
2. Общие знаменатели: а) 5/15 < 6/15; б) 33/60 > 32/60; в) 38/60 < 45/60; г) 55/60 < 58/60. Результаты совпадают: а) 1/3 < 2/5; б) 11/20 > 8/15; в) 19/30 < 3/4; г) 11/12 < 29/30.