10. Сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей (упражнения 2.156–2.165) — с. 66
2.156. Запишите шесть дробей с числителем 7, меньших 7/11.
Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Берём знаменатели больше 11: 7/12, 7/13, 7/14, 7/15, 7/16, 7/17 (все меньше 7/11).
2.157. Запишите все дроби со знаменателем 13, меньшие 15/13 и большие 7/13. Отметьте эти дроби на координатной прямой.
Нужны дроби с числителем больше 7 и меньше 15: 8/13, 9/13, 10/13, 11/13, 12/13, 13/13 (= 1), 14/13. Всего семь дробей. На координатной прямой единичный отрезок делим на 13 равных частей (например, 26 клеток) и отмечаем точки 8/13, …, 14/13; последняя лежит правее единицы.
2.158. В новом парке 11/20 всех деревьев занимают саженцы берёзы, а 13/35 — ясеня. Каких саженцев в парке больше: берёзы или ясеня?
Сравниваем 11/20 и 13/35. НОЗ = 140: 11/20 = 77/140, 13/35 = 52/140. Так как 77 > 52, берёзы больше. Ответ: берёзы.
2.159. Мастер делает необходимое количество деталей за 6 ч, а ученик — за 8 ч. Кто делает больше деталей: ученик за 7 ч или мастер за 5 ч?
За 1 ч мастер делает 1/6 всей работы, ученик — 1/8. За 5 ч мастер сделает 5/6 всех деталей, ученик за 7 ч — 7/8. Сравниваем: 5/6 = 20/24, 7/8 = 21/24, 21/24 > 20/24. Ответ: больше деталей сделает ученик за 7 ч.
2.160. Части какого бруса длиннее: пятиметрового, распиленного на 7 равных частей, или шестиметрового, распиленного на 10 равных частей?
Часть первого бруса: 5/7 м, второго: 6/10 = 3/5 м. НОЗ = 35: 5/7 = 25/35, 3/5 = 21/35. 25/35 > 21/35, значит, части пятиметрового бруса длиннее. Ответ: пятиметрового (5/7 м ≈ 0,71 м против 0,6 м).
2.161. Выполните построение по алгоритму:
1. Начертите координатную прямую с единичным отрезком 24 клетки. Отметьте точку M(3/4).
2. Отложите влево от точки M отрезок MN, равный 5/24 единичного отрезка. Запишите координату точки N.
3. Отложите от точки N вправо отрезок NK, равный 5/12 единичного отрезка. Запишите координату точки K. Как можно найти координаты точек N и K, не выполняя построений?
1) Единичный отрезок — 24 клетки, поэтому 3/4 = 18/24 — точка M в 18 клетках от нуля.
2. Отрезок MN — 5 клеток влево: N в 13 клетках от нуля, N(13/24).
3. Отрезок NK равен 5/12 = 10/24 — 10 клеток вправо: K в 23 клетках от нуля, K(23/24). Без построения: координата N = 3/4 − 5/24 = 18/24 − 5/24 = 13/24; координата K = 13/24 + 5/12 = 13/24 + 10/24 = 23/24. Оговорка: в скане длина отрезка MN читается как 5/24 (при единичном отрезке 24 клетки); при другом чтении знаменателя ход решения тот же.
2.162. Вычислите: а) 1/2 + 1/5; б) 1/21 + 1/7; в) 3/5 + 2/17; г) 1/7 + 7/9; д) 5/7 + 0; е) 2/3 − 2/5; ж) 1/2 − 1/13; з) 3/5 − 4/7; и) 5/7 − 2/9; к) 4/21 − 0; л) 4/7 + 4/5; м) 7/12 + 13/21.
а) 1/2 + 1/5 = 5/10 + 2/10 = 7/10. б) 1/21 + 1/7 = 1/21 + 3/21 = 4/21. в) 3/5 + 2/17 = 51/85 + 10/85 = 61/85. г) 1/7 + 7/9 = 9/63 + 49/63 = 58/63. д) 5/7 + 0 = 5/7. е) 2/3 − 2/5 = 10/15 − 6/15 = 4/15. ж) 1/2 − 1/13 = 13/26 − 2/26 = 11/26. з) 3/5 − 4/7 = 21/35 − 20/35 = 1/35. и) 5/7 − 2/9 = 45/63 − 14/63 = 31/63. к) 4/21 − 0 = 4/21. л) 4/7 + 4/5 = 20/35 + 28/35 = 48/35 = 1 13/35. м) НОЗ = 84: 7/12 + 13/21 = 49/84 + 52/84 = 101/84 = 1 17/84.
2.163. На координатной прямой отмечены точки N(1/n), M(1/m) и K(1/k) (рис. 2.5). Отметьте на координатной прямой точку с координатами: а) 1/m + 1/n; б) 1/k − 1/m; в) 1/k − 1/n; г) 1/n + 1/k.
На рисунке M лежит левее N, а N левее K, то есть 1/m < 1/n < 1/k. Сумму точек строим сложением отрезков, разность — вычитанием отрезков от нуля. а) Откладываем от нуля отрезок 0M, а от точки M — отрезок, равный 0N: получаем точку 1/m + 1/n (правее N). б) 1/k − 1/m: от K откладываем влево отрезок, равный 0M. в) 1/k − 1/n: от K влево отрезок, равный 0N (левее N, ближе к M). г) 1/n + 1/k: от K вправо отрезок, равный 0N (правее K). На рисунке ответа точки отмечены красным. Оговорка: расстояния взяты по масштабу рисунка 2.5.
2.164. Найдите сумму: а) 1/6 + 5/8; б) 7/8 + 5/14; в) 7/10 + 3/25; г) 27/70 + 16/105; д) 11/18 + 1/81; е) 5/12 + 3/44; ж) 15/56 + 11/84; з) 11/21 + 3/49.
Приводим к наименьшему общему знаменателю. а) НОЗ = 24: 4/24 + 15/24 = 19/24. б) НОЗ = 56: 49/56 + 20/56 = 69/56 = 1 13/56. в) НОЗ = 50: 35/50 + 6/50 = 41/50. г) НОЗ = 210: 81/210 + 32/210 = 113/210. д) НОЗ = 162: 99/162 + 2/162 = 101/162. е) НОЗ = 132: 55/132 + 9/132 = 64/132 = 16/33. ж) НОЗ = 168: 45/168 + 22/168 = 67/168. з) НОЗ = 147: 77/147 + 9/147 = 86/147.
2.165. Найдите разность: а) 5/6 − 5/10; б) 3/20 − 3/28; в) 3/4 − 1/14; г) 7/15 − 2/39; д) 26/33 − 7/44; е) 11/21 − 3/14; ж) 9/22 − 7/26; з) 33/40 − 7/15.
а) НОЗ = 30: 25/30 − 15/30 = 10/30 = 1/3. б) НОЗ = 140: 21/140 − 15/140 = 6/140 = 3/70. в) НОЗ = 28: 21/28 − 2/28 = 19/28. г) НОЗ = 195: 91/195 − 10/195 = 81/195 = 27/65. д) НОЗ = 132: 104/132 − 21/132 = 83/132. е) НОЗ = 42: 22/42 − 9/42 = 13/42. ж) НОЗ = 286: 117/286 − 77/286 = 40/286 = 20/143. з) НОЗ = 120: 99/120 − 56/120 = 43/120.