8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел (упражнения 2.118–2.127) — с. 58
2.118. Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.
Числа-близнецы — простые числа, разность которых равна 2. а) Пары: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), (59; 61), (71; 73), (101; 103), (107; 109), (137; 139), (149; 151), (179; 181), (191; 193), (197; 199), (227; 229), (239; 241), (269; 271), (281; 283), (311; 313), (347; 349), (419; 421), (431; 433), (461; 463). Всего 24 пары. б) n = 87: 6 · 87 = 522, пара (521; 523); n = 135: 6 · 135 = 810, пара (809; 811); n = 165: 6 · 165 = 990, пара (989; 991). Первые две пары — близнецы (все четыре числа простые), а в третьей 989 = 23 · 43 — составное, поэтому это не близнецы. в) Двузначные пары вида 6k − 1 и 6k + 1 (k = 2, …, 16), в которых хотя бы одно число составное: (23; 25), (35; 37), (47; 49), (53; 55), (65; 67), (77; 79), (83; 85), (89; 91), (95; 97). Остальные пары — (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), (59; 61), (71; 73) — близнецы. Ответ: девять пар.
2.119. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 22 и 55; б) 40 и 50; в) 270 и 450; г) 40, 60 и 15.
а) 22 = 2 · 11, 55 = 5 · 11: НОК = 2 · 5 · 11 = 110. б) 40 = 2³ · 5, 50 = 2 · 5²: НОК = 2³ · 5² = 200. в) 270 = 2 · 3³ · 5, 450 = 2 · 3² · 5²: НОК = 2 · 3³ · 5² = 1350. г) 40 = 2³ · 5, 60 = 2² · 3 · 5, 15 = 3 · 5: НОК = 2³ · 3 · 5 = 120.
2.120. Найдите НОД (n, d), если: а) n = 3 · 5 · 7 · 7 · 11, d = 5 · 5 · 7 · 11; б) n = 756, d = 720.
а) Общие множители: 5 (в n одна пятёрка), 7 (в d одна семёрка), 11. НОД = 5 · 7 · 11 = 385. б) 756 = 2² · 3³ · 7, 720 = 2⁴ · 3² · 5: НОД = 2² · 3² = 36.
2.121. Артель «Дары леса» заготовила 78 ц морошки, клюквы и брусники. При этом клюквы заготовили в 5 раз больше, чем морошки, а брусники — на 15 ц больше, чем морошки. Сколько центнеров каждой ягоды заготовила артель?
Пусть морошки x ц, тогда клюквы 5x ц, брусники (x + 15) ц. Всего x + 5x + (x + 15) = 7x + 15 = 78, 7x = 63, x = 9. Клюквы 5 · 9 = 45 ц, брусники 9 + 15 = 24 ц. Проверка: 9 + 45 + 24 = 78. Ответ: 9 ц морошки, 45 ц клюквы, 24 ц брусники.
2.122. Масса трёх космических станций «Салют-1» (запуск в 1971 г.), «Мир» (запуск в 1986 г.) и МКС (запуск в 1998 г.) равна 560,53 т. Найдите массу каждой станции, если масса станции «Мир» на 105,44 т больше массы станции «Салют-1», а масса МКС больше массы станции «Мир» на 292,95 т.
Пусть «Салют-1» весит x т. Тогда «Мир» — x + 105,44, МКС — x + 105,44 + 292,95 = x + 398,39. Сумма: 3x + 105,44 + 398,39 = 3x + 503,83 = 560,53, откуда 3x = 56,7 и x = 18,9. «Мир»: 18,9 + 105,44 = 124,34 т. МКС: 124,34 + 292,95 = 417,29 т. Проверка: 18,9 + 124,34 + 417,29 = 560,53. Ответ: 18,9 т; 124,34 т; 417,29 т.
2.123. Найдите корень уравнения: а) (z + 25,3) · 4,3 = 160,82; б) (y − 0,86) · 0,05 = 0,0285; в) (m + 41,1) : 17,1 = 4,3; г) (n − 8,7) : 18,7 = 5,2.
а) z + 25,3 = 160,82 : 4,3 = 37,4; z = 37,4 − 25,3 = 12,1. б) y − 0,86 = 0,0285 : 0,05 = 0,57; y = 0,57 + 0,86 = 1,43. в) m + 41,1 = 4,3 · 17,1 = 73,53; m = 73,53 − 41,1 = 32,43. г) n − 8,7 = 5,2 · 18,7 = 97,24; n = 97,24 + 8,7 = 105,94. Проверка а): (12,1 + 25,3) · 4,3 = 37,4 · 4,3 = 160,82.
2.124. Запишите в виде смешанного числа: а) 31 : 9; б) 81 : 9; в) 402 : 15; г) 1429 : 14.
а) 31 : 9 = 3 (ост. 4) = 3 4/9. б) 81 : 9 = 9 — число целое. в) 402 : 15 = 26 (ост. 12) = 26 12/15 = 26 4/5. г) 1429 : 14 = 102 (ост. 1) = 102 1/14.
2.125. За конкурс «Музыкальное приветствие» команды КВН получили следующие оценки: «Весёлые»: 5, 5, 4, 4, 3, 4, 4; «Находчивые»: 4, 5, 4, 4, 4, 4, 5; «Юморные»: 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4. Расположите команды по возрастанию их средних баллов.
Средний балл — сумма оценок, делённая на число судей (7). «Весёлые»: (5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 4 + 4) : 7 = 29 : 7 ≈ 4,14. «Находчивые»: (4 + 5 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5) : 7 = 30 : 7 ≈ 4,29. «Юморные»: (4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 5 + 4) : 7 = 28 : 7 = 4. По возрастанию: «Юморные» (4), «Весёлые» (≈ 4,14), «Находчивые» (≈ 4,29).
2.126. Турист плыл на байдарке 1,5 ч со скоростью 6,6 км/ч и 3,5 ч шёл пешком со скоростью 5,4 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста на всём пути.
Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. На байдарке 6,6 · 1,5 = 9,9 км, пешком 5,4 · 3,5 = 18,9 км, всего 9,9 + 18,9 = 28,8 км. Время 1,5 + 3,5 = 5 ч. Средняя скорость 28,8 : 5 = 5,76 км/ч. Ответ: 5,76 км/ч.
2.127. Выполните действия: а) (854,9 − 203,3) : 7,2 · 1,4 + 3,3; б) (150,4 + 87,5) : 7,8 · 2,5 − 4,5.
а) 854,9 − 203,3 = 651,6; 651,6 : 7,2 = 90,5; 90,5 · 1,4 = 126,7; 126,7 + 3,3 = 130. б) 150,4 + 87,5 = 237,9; 237,9 : 7,8 = 30,5; 30,5 · 2,5 = 76,25; 76,25 − 4,5 = 71,75. Ответ: а) 130; б) 71,75.