8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел (упражнения 2.95–2.116) — с. 56
Вопросы к п. 8.
Что такое наименьшее общее кратное натуральных чисел?
Какое число является наименьшим общим кратным чисел 3, 9, 27?
Расскажите алгоритм нахождения наименьшего общего кратного нескольких чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких натуральных чисел — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из них. НОК (3, 9, 27) = 27, так как 27 делится на 3 и на 9, а меньшего такого числа нет (если одно число делится на все остальные, оно и есть НОК). Алгоритм: 1) разложить числа на простые множители; 2) выписать множители из разложения большего из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение выписанных множителей.
2.95. Назовите разложение на простые множители наименьшего общего кратного чисел a и b, если: а) a = 2 · 7, b = 7 · 9; б) a = 2 · 3 · 3 · 3 · 7, b = 2 · 3 · 3 · 11.
В НОК берём каждый множитель с наибольшей кратностью. а) b = 7 · 3 · 3. Из a берём 2 и 7, из b — 3 · 3 (7 уже есть): НОК = 2 · 3 · 3 · 7 (= 126). б) Из a: 2 · 3 · 3 · 3 · 7; из b добавляем недостающий 11 (2 и две тройки уже есть): НОК = 2 · 3 · 3 · 3 · 7 · 11 (= 4158).
2.96. Найдите НОК (m, n), если: а) m = 2 · 3 · 3 · 5 · 11 и n = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 11; б) m = 2 · 3 · 5 · 5 и n = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7; в) m = 2 · 2 · 5 · 5 · 13 и n = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 13; г) m = 2 · 2 · 5 · 5 · 17 и n = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 17.
Берём каждый простой множитель с наибольшим показателем. а) 2² · 3³ · 5 · 11 = 4 · 27 · 55 = 5940. б) 2 · 3² · 5² · 7 = 2 · 9 · 25 · 7 = 3150. в) 2³ · 3 · 5² · 13 = 8 · 3 · 25 · 13 = 7800. г) 2² · 3 · 5² · 17 = 5100 (число n кратно m, поэтому НОК = n). Ответ: 5940; 3150; 7800; 5100.
2.97. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 12 и 8; б) 14 и 42; в) 108 и 132; г) 90 и 315; д) 10, 15 и 30; е) 6, 8 и 12; ж) 6, 9 и 18; з) 77, 91 и 143.
а) 12 = 2² · 3, 8 = 2³: НОК = 2³ · 3 = 24. б) 42 кратно 14: НОК = 42. в) 108 = 2² · 3³, 132 = 2² · 3 · 11: НОК = 2² · 3³ · 11 = 1188. г) 90 = 2 · 3² · 5, 315 = 3² · 5 · 7: НОК = 2 · 3² · 5 · 7 = 630. д) 30 делится на 10 и 15: НОК = 30. е) 6 = 2 · 3, 8 = 2³, 12 = 2² · 3: НОК = 2³ · 3 = 24. ж) 18 делится на 6 и 9: НОК = 18. з) 77 = 7 · 11, 91 = 7 · 13, 143 = 11 · 13: НОК = 7 · 11 · 13 = 1001.
2.98. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей: а) 7/15 и 5/12; б) 13/20 и 17/25.
а) 15 = 3 · 5, 12 = 2² · 3: НОК = 2² · 3 · 5 = 60. б) 20 = 2² · 5, 25 = 5²: НОК = 2² · 5² = 100.
2.99. Рассмотрите пары чисел: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32. а) Являются ли числа, представленные в каждой паре, взаимно простыми? б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение.
а) Да: в каждой паре нет общих простых множителей (9 = 3², 13 — простое; 15 = 3 · 5, 19 — простое; 24 = 2³ · 3, 35 = 5 · 7; 27 = 3³, 32 = 2⁵). б) НОК (9, 13) = 117 = 9 · 13; НОК (15, 19) = 285 = 15 · 19; НОК (24, 35) = 840 = 24 · 35; НОК (27, 32) = 864 = 27 · 32. Предположение: наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
2.100. Рассмотрите пары чисел: 26 и 78; 32 и 96; 24 и 72; 25 и 100. а) Какая особенность объединяет эти пары чисел? б) Чему равно наименьшее общее кратное чисел каждой пары?
а) В каждой паре большее число делится на меньшее: 78 = 3 · 26; 96 = 3 · 32; 72 = 3 · 24; 100 = 4 · 25. б) НОК равно большему числу: 78; 96; 72; 100.
2.101. а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс. км моторное масло, а каждые 60 тыс. км — приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня? б) Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг неё за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют своё положение на орбите?
а) Нужно найти НОК (15, 60). Число 60 делится на 15, поэтому НОК = 60. Замены совпадут через 60 тыс. км (первый раз). б) Ищем НОК (42, 85, 172, 400). 42 = 2 · 3 · 7; 85 = 5 · 17; 172 = 2² · 43; 400 = 2⁴ · 5². НОК = 2⁴ · 3 · 5² · 7 · 17 · 43 = 6 140 400 ч, то есть примерно 255 850 суток или около 700 лет. Ответ: а) через 60 тыс. км; б) через 6 140 400 ч.
2.102. В магазин раз в два дня привозят хлебобулочные изделия, раз в три дня — кисломолочную продукцию и каждые десять дней — кондитерские изделия. Первого декабря в магазин привезли эти три вида товаров. Когда в следующий раз эти товары привезут в один день?
Товары снова совпадут через НОК (2, 3, 10) дней. 10 = 2 · 5, 3 — простое: НОК = 2 · 3 · 5 = 30. Через 30 дней после 1 декабря, то есть 31 декабря (в декабре 31 день). Ответ: 31 декабря.