7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа (упражнения 2.85–2.94) — с. 54
2.85. Найдите НОД (a, b), если: а) a = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 19, b = 2 · 3 · 11 · 13; б) a = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 11, b = 3 · 5 · 5 · 7.
Берём общие множители с наименьшей кратностью. а) Двойки: в a две, в b одна — одна; тройки: в a две, в b одна — одна; остальные общих не имеют. НОД = 2 · 3 = 6. б) Двойки и 11 — только в a, 7 — только в b; тройки: в обоих по одной — одна; пятёрки: в a три, в b две — две. НОД = 3 · 5 · 5 = 75.
2.86. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 975 и 750; б) 572 и 440; в) 80, 140 и 56; г) 170, 306 и 255.
а) 975 = 3 · 5 · 5 · 13; 750 = 2 · 3 · 5 · 5 · 5; НОД = 3 · 5 · 5 = 75. б) 572 = 2 · 2 · 11 · 13; 440 = 2 · 2 · 2 · 5 · 11; НОД = 2 · 2 · 11 = 44. в) 80 = 2⁴ · 5; 140 = 2² · 5 · 7; 56 = 2³ · 7; общие 2 · 2 = 4. г) 170 = 2 · 5 · 17; 306 = 2 · 3 · 3 · 17; 255 = 3 · 5 · 17; общий множитель 17. Ответ: 75; 44; 4; 17.
2.87. Являются ли числа 675 и 896 взаимно простыми?
675 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5, 896 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 7. Общих простых множителей нет, значит, НОД (675, 896) = 1. Да, числа взаимно простые.
2.88. Сократите дробь: а) 12/18; б) 24/36; в) 72/90; г) 28/128.
Делим числитель и знаменатель на их НОД. а) НОД (12, 18) = 6: 12/18 = 2/3. б) НОД (24, 36) = 12: 24/36 = 2/3. в) НОД (72, 90) = 18: 72/90 = 4/5. г) НОД (28, 128) = 4: 28/128 = 7/32.
2.89. Проведите луч BC и постройте ∠ABC = 80° и ∠DBC = 60°. Найдите угол ABD. Проверьте ответ с помощью транспортира. Сколько решений имеет задача?
Откладываем транспортиром от луча BC угол 80° (луч BA) и угол 60° (луч BD). Возможны два расположения луча BD.
1. Лучи BA и BD по одну сторону от BC: ∠ABD = 80° − 60° = 20°.
2. Лучи по разные стороны от BC: ∠ABD = 80° + 60° = 140°. Задача имеет два решения: 20° или 140°.
2.90. На трёх факультетах колледжа обучаются 540 человек. При этом на факультете менеджмента обучается впятеро, а на юридическом — втрое больше студентов, чем на финансово-экономическом. Сколько человек обучаются на каждом факультете?
Пусть на финансово-экономическом x студентов, тогда на менеджменте 5x, на юридическом 3x. Всего x + 5x + 3x = 9x = 540, x = 60. Менеджмент 5 · 60 = 300, юридический 3 · 60 = 180. Проверка: 60 + 300 + 180 = 540. Ответ: 300 (менеджмент), 180 (юридический) и 60 (финансово-экономический).
2.91. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 81 см, а одна из его сторон составляет 2/9 периметра.
Одна сторона: 81 · 2/9 = 18 см. Сумма двух соседних сторон равна половине периметра: 81 : 2 = 40,5 см, поэтому другая сторона 40,5 − 18 = 22,5 см. Площадь 18 · 22,5 = 405 см². Ответ: 405 см².
2.92. Запишите в виде обыкновенной дроби числа 0,5; 0,24; 0,75.
0,5 = 5/10 = 1/2; 0,24 = 24/100 = 6/25; 0,75 = 75/100 = 3/4.
2.93. Запишите в виде десятичной дроби числа 1/5; 11/125; 8/20; 5 1/2.
1/5 = 2/10 = 0,2; 11/125 = 88/1000 = 0,088; 8/20 = 4/10 = 0,4; 5 1/2 = 5 5/10 = 5,5.
2.94. Вычислите: а) 78,9 + (65,65 − 5,5 · (54,54 : 5,4)) · 1,3; б) 36,9 + (76,76 − 6,6 · (95,95 : 9,5)) · 27,4.
а) 54,54 : 5,4 = 10,1; 5,5 · 10,1 = 55,55; 65,65 − 55,55 = 10,1; 10,1 · 1,3 = 13,13; 78,9 + 13,13 = 92,03. б) 95,95 : 9,5 = 10,1; 6,6 · 10,1 = 66,66; 76,76 − 66,66 = 10,1; 10,1 · 27,4 = 276,74; 36,9 + 276,74 = 313,64. Ответ: а) 92,03; б) 313,64.
Проверочная работа (п. 7).
1. Какие из данных чисел являются взаимно простыми: а) 12 и 15; б) 29 и 34; в) 25 и 30; г) 72 и 73?
Найдём НОД. а) НОД (12, 15) = 3 — нет. б) 29 — простое, на 34 = 2 · 17 не делится, НОД = 1 — да. в) НОД (25, 30) = 5 — нет. г) 72 и 73 — соседние числа, НОД = 1 — да. Ответ: б) и г).
Проверочная работа (п. 7).
2. Даны разложения на простые множители двух чисел: 2 · 2 · 5 · 7 и 2 · 7 · 11. Найдите их наибольший общий делитель.
Общие множители: одна двойка и семёрка. НОД = 2 · 7 = 14 (числа 140 и 154).
Проверочная работа (п. 7).
3. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 34 и 56; б) 45 и 65; в) 102 и 204; г) 1005 и 960.
а) 34 = 2 · 17, 56 = 2 · 2 · 2 · 7: НОД = 2. б) 45 = 3 · 3 · 5, 65 = 5 · 13: НОД = 5. в) 204 = 2 · 102, значит, НОД = 102. г) 1005 = 3 · 5 · 67, 960 = 2⁶ · 3 · 5: НОД = 3 · 5 = 15.
Проверочная работа (п. 7).
4. Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440 больше 240?
1440 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5; 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5. В 1440 дополнительно есть множители 2 и 3, значит, 1440 : 240 = 2 · 3 = 6. Проверка: 240 · 6 = 1440. Ответ: в 6 раз.
Проверочная работа (п. 7).
5. Дана правильная дробь m/15. Найдите все значения m такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.
Дробь правильная, поэтому m = 1, 2, …, 14. 15 = 3 · 5, значит, m не должно делиться ни на 3, ни на 5. Исключаем 3, 6, 9, 12 и 5, 10. Остаются: m = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.