2. Действия со смешанными числами (упражнения 2.62–2.84) — с. 52
2.62. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби: а) 324/432; б) 225/275; в) 414/504; г) 575/825.
Раскладываем на простые множители. а) 324 = 2² · 3⁴, 432 = 2⁴ · 3³; НОД = 2² · 3³ = 108. б) 225 = 3² · 5², 275 = 5² · 11; НОД = 25. в) 414 = 2 · 3² · 23, 504 = 2³ · 3² · 7; НОД = 2 · 3² = 18. г) 575 = 5² · 23, 825 = 3 · 5² · 11; НОД = 25. Ответ: 108; 25; 18; 25.
2.63. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 45, 60 и 105; б) 162, 222 и 432; в) 108, 72 и 96; г) 240, 480 и 720.
а) 45 = 3 · 3 · 5; 60 = 2 · 2 · 3 · 5; 105 = 3 · 5 · 7; общие 3 · 5 = 15. б) 162 = 2 · 3⁴; 222 = 2 · 3 · 37; 432 = 2⁴ · 3³; общие 2 · 3 = 6. в) 108 = 2² · 3³; 72 = 2³ · 3²; 96 = 2⁵ · 3; общие 2² · 3 = 12. г) 240 делит 480 и 720 (480 = 2 · 240, 720 = 3 · 240), поэтому НОД = 240.
2.64. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 35 и 39; б) 79 и 97; в) 44, 21 и 5; г) 15, 26 и 77.
а) 35 = 5 · 7, 39 = 3 · 13: общих множителей нет — НОД = 1. б) 79 и 97 — простые числа, разные: НОД = 1. в) 44 = 2 · 2 · 11, 21 = 3 · 7, 5 — простое: НОД = 1. г) 15 = 3 · 5, 26 = 2 · 13, 77 = 7 · 11: общих множителей нет, НОД = 1. Во всех случаях числа взаимно простые.
2.65. Укажите взаимно простые числа: а) 45 и 50; б) 99 и 40; в) 15, 30, 47; г) 249 и 310.
Числа взаимно простые, если их НОД равен 1. а) НОД (45, 50) = 5 — нет. б) 99 = 3² · 11, 40 = 2³ · 5, НОД = 1 — да. в) 15 = 3 · 5, 30 = 2 · 3 · 5, 47 — простое, НОД (15, 30, 47) = 1 — да (как тройка). Оговорка: пара 15 и 30 сама не взаимно проста (НОД 15), а 47 взаимно просто с каждым из них. г) 249 = 3 · 83, 310 = 2 · 5 · 31, НОД = 1 — да. Ответ: б, в, г.
2.66. Среди чисел 6, 15, 30 и 77 найдите все пары взаимно простых чисел.
Проверяем все шесть пар. НОД (6, 15) = 3; НОД (6, 30) = 6; НОД (15, 30) = 15 — не взаимно простые. Число 77 = 7 · 11 не имеет общих множителей с 6 = 2 · 3, с 15 = 3 · 5 и с 30 = 2 · 3 · 5. Ответ: (6; 77), (15; 77), (30; 77).
2.67. Найдите все правильные дроби, знаменатель которых равен 16, а числитель и знаменатель — взаимно простые числа.
Числитель — натуральное число меньше 16, а у 16 = 2⁴ единственный простой делитель 2. Значит, числитель не должен делиться на 2 — он нечётный. Ответ: 1/16, 3/16, 5/16, 7/16, 9/16, 11/16, 13/16, 15/16.
2.68. В магазине помидоры и огурцы расфасовали в одинаковые упаковки, сделав ассорти. а) Какое наибольшее число таких упаковок получилось из 84 помидоров и 112 огурцов? б) Сколько помидоров и сколько огурцов было в каждой упаковке?
а) Число упаковок делит и 84, и 112. Наибольшее — НОД (84, 112): 84 = 2² · 3 · 7, 112 = 2⁴ · 7, НОД = 2² · 7 = 28. б) В каждой упаковке помидоров 84 : 28 = 3, огурцов 112 : 28 = 4. Ответ: а) 28 упаковок; б) 3 помидора и 4 огурца.
2.69. В спортивных соревнованиях приняли участие 108 мальчиков и 144 девочки. И мальчиков, и девочек разбили на группы с одинаковым количеством человек в каждой группе. Какое наибольшее количество человек могло быть в каждой группе?
Сколько получилось групп мальчиков и групп девочек?
Количество человек в группе делит и 108, и 144, наибольшее — НОД (108, 144): 108 = 2² · 3³, 144 = 2⁴ · 3², НОД = 2² · 3² = 36. Групп мальчиков 108 : 36 = 3, групп девочек 144 : 36 = 4. Ответ: 36 человек в группе; 3 группы мальчиков и 4 группы девочек.
2.70. Вычислите. а) 0,75 − 0,7; · 20; − 0,2; : 0,4. б) 1 − 0,25; · 2; : 0,3; − 0,05. в) 0,9 − 0,09; : 9; + 0,6; · 10. г) 23,9 − 3,9; · 0,15; − 0,8; : 0,1.
Выполняем действия цепочкой сверху вниз. а) 0,75 − 0,7 = 0,05; 0,05 · 20 = 1; 1 − 0,2 = 0,8; 0,8 : 0,4 = 2. б) 1 − 0,25 = 0,75; 0,75 · 2 = 1,5; 1,5 : 0,3 = 5; 5 − 0,05 = 4,95. в) 0,9 − 0,09 = 0,81; 0,81 : 9 = 0,09; 0,09 + 0,6 = 0,69; 0,69 · 10 = 6,9. г) 23,9 − 3,9 = 20; 20 · 0,15 = 3; 3 − 0,8 = 2,2; 2,2 : 0,1 = 22. Ответ: а) 2; б) 4,95; в) 6,9; г) 22.
2.71. Определите с помощью линейки, какими числами (простыми или составными) являются натуральные числа a, b и c на рисунке 2.3. Запишите координаты точек K, N, D, M.
От точки 7 стрелка −6 ведёт в K, значит, K = 7 − 6 = 1, а шести единицам соответствует отрезок от K до точки 7 — по нему определяем масштаб. Измеряя расстояния от начала отсчёта O линейкой, получаем a = 14, b = 21, c = 30. Тогда N = a + 2 = 16; D = b − 2 = 19; M = c − 5 = 25; K = 7 − 6 = 1. Числа a = 14 = 2 · 7, b = 21 = 3 · 7 и c = 30 = 2 · 3 · 5 — составные. Из координат точек K, N, D, M простое число одно: D = 19 (K = 1 — ни простое, ни составное; N = 16 и M = 25 — составные). Оговорка: значения a, b, c получены измерением масштаба по рисунку и проверены согласованностью (D = 19 и M = 25 попадают в целые деления).