§ 2. Проверочные работы к п. 6; 7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа — с. 51
Вопросы к п. 7.
Что такое наибольший общий делитель натуральных чисел?
Какие числа называют взаимно простыми?
Приведите примеры. Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?
Расскажите алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел. Чему равен НОД двух чисел, одно из которых кратно другому?
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких натуральных чисел — наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из них. Числа называют взаимно простыми, если их НОД равен 1, например 21 и 40, или 8 и 15. НОД взаимно простых чисел равен 1. Алгоритм: 1) разложить числа на простые множители; 2) подчеркнуть общие множители во всех разложениях; 3) найти произведение подчёркнутых множителей — это и есть НОД. Если одно из двух чисел кратно другому, то НОД равен меньшему из них (например, НОД (14, 42) = 14).
2.57. Найдите все общие делители чисел: а) 20 и 70; б) 36, 48 и 144; в) 22 и 105.
Общие делители — делители наибольшего общего делителя. а) НОД (20, 70) = 10 (20 = 2 · 2 · 5, 70 = 2 · 5 · 7). Общие делители: 1, 2, 5, 10. б) 36 = 2² · 3², 48 = 2⁴ · 3, 144 = 2⁴ · 3²; НОД = 2² · 3 = 12. Общие делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12. в) 22 = 2 · 11, 105 = 3 · 5 · 7 — общих простых множителей нет, общий делитель один: 1.
2.58. Разложите каждое число на простые множители, подчеркните общие множители и запишите наибольшее число, на которое делятся числа каждой пары: а) 36 и 48; б) 84 и 96; в) 45 и 60; г) 72 и 90.
а) 36 = 2 · 2 · 3 · 3; 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3. Общие множители 2 · 2 · 3 = 12. б) 84 = 2 · 2 · 3 · 7; 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3. Общие 2 · 2 · 3 = 12. в) 45 = 3 · 3 · 5; 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Общие 3 · 5 = 15. г) 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3; 90 = 2 · 3 · 3 · 5. Общие 2 · 3 · 3 = 18. Ответ: 12, 12, 15, 18.
2.59. Назовите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел m и n, если: а) m = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 и n = 2 · 3 · 3 · 3 · 5; б) m = 2 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 и n = 3 · 3 · 5 · 7 · 7.
Берём общие множители с наименьшей кратностью. а) В m три двойки, в n одна — берём одну; троек в m две, в n три — берём две; пятёрки только в n. НОД = 2 · 3 · 3 (= 18). б) Двойки только в m, тройки только в n; пятёрок в m две, в n одна — берём одну; семёрок в m три, в n две — берём две. НОД = 5 · 7 · 7 (= 245).
2.60. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 42 и 63; б) 30 и 40; в) 45 и 30; г) 66 и 88.
а) 42 = 2 · 3 · 7; 63 = 3 · 3 · 7; НОД = 3 · 7 = 21. б) 30 = 2 · 3 · 5; 40 = 2 · 2 · 2 · 5; НОД = 2 · 5 = 10. в) 45 = 3 · 3 · 5; 30 = 2 · 3 · 5; НОД = 3 · 5 = 15. г) 66 = 2 · 3 · 11; 88 = 2 · 2 · 2 · 11; НОД = 2 · 11 = 22.
2.61. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 21 и 84; б) 27 и 81; в) 32 и 96; г) 75 и 300.
В каждой паре большее число кратно меньшему (84 = 4 · 21; 81 = 3 · 27; 96 = 3 · 32; 300 = 4 · 75), поэтому НОД равен меньшему числу. а) 21. б) 27. в) 32. г) 75.