2. Действия со смешанными числами (упражнения 2.62–2.84) — с. 53
2.72. Существует ли куб, у которого выражаются простыми числами ребро и: а) сумма всех рёбер; б) площадь поверхности?
Пусть ребро куба — простое число p. а) Сумма всех 12 рёбер равна 12p, делится на 1, 2, 3, … — составное число, значит, простым оно быть не может. б) Площадь поверхности 6p² (шесть граней) — тоже составное число (делится на 2, 3, 6). Ответ: нет, не существует ни в случае а), ни в случае б).
2.73. Разложите на простые множители числа: а) 525, 2310 и 3750; б) 1029, 9375 и 19 683.
а) 525 = 3 · 5 · 5 · 7; 2310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11; 3750 = 2 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5. б) 1029 = 3 · 7 · 7 · 7; 9375 = 3 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5; 19 683 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 (3⁹).
2.74. Разложение одного числа состоит из двух простых множителей, а другого — из трёх простых множителей. Могут ли эти числа быть равными?
Нет. Любое составное число раскладывается на простые множители единственным образом (с точностью до порядка), а значит, число множителей в разложении определено однозначно. У равных чисел разложения совпадают, поэтому два множителя не могут равняться трём.
2.75. Существуют ли четыре таких различных простых числа, что произведение двух из них равно произведению двух других?
Нет. Пусть p · q = r · s, где p, q, r, s — простые. Разложение числа p · q на простые множители единственно, поэтому наборы {p, q} и {r, s} совпадают, то есть среди четырёх чисел есть равные. Различных таких чисел нет.
2.76. а) Сколькими способами могут разместиться 9 зрителей домашнего спектакля на девяти стульях? б) Сколькими способами могут разместиться зрители на этих стульях, если один из них пойдёт помогать артистам?
а) Первый зритель выбирает любой из 9 стульев, второй — один из 8 оставшихся и так далее. По правилу умножения 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362 880 способов. б) Остаётся 8 зрителей и 9 стульев: первый выбирает из 9, второй из 8, … восьмой из 2 оставшихся: 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 362 880 способов (один стул остаётся свободным). Ответ: а) 362 880; б) 362 880.
2.77. Выполните действия: а) (2 · 5 · 5 · 11) : (5 · 11); б) (2 · 2 · 3 · 5 · 13) : (2 · 5 · 13); в) (2 · 5 · 7 · 19) : (5 · 7); г) (3 · 5 · 7 · 7 · 17 · 23) : (3 · 7 · 17).
Сокращаем общие множители. а) 2 · 5 = 10. б) 2 · 3 = 6. в) 2 · 19 = 38. г) 5 · 7 · 23 = 805.
2.78. Сравните числа: а) 7/9 и 2/9; б) 11/23 и 8/23; в) 1 3/5 и 8/5; г) 4 1/5 и 3 4/7.
а) У дробей одинаковые знаменатели, значит, больше та, у которой числитель больше: 7/9 > 2/9. б) 11/23 > 8/23. в) 1 3/5 = 8/5, поэтому числа равны. г) Целая часть первого числа 4 больше целой части второго 3, значит, 4 1/5 > 3 4/7.
2.79. Используя транспортир, постройте ∠KLM = 65° и ∠PRS = 170°.
Строим угол ∠KLM: проводим луч LK, совмещаем центр транспортира с вершиной L, нулевую отметку шкалы с лучом LK, ставим точку M у отметки 65° и проводим луч LM. Так же строим ∠PRS = 170°: луч RP, у отметки 170° точка S, луч RS. Угол 170° — тупой, почти развёрнутый, а 65° — острый.
2.80.
1. Развёрнутый угол AOB разделён на два угла: AOC и COB. Чему равны эти углы, если угол COB в 5 раз больше угла AOC?
Постройте эти углы.
2. Развёрнутый угол COD разделён на два угла: COF и FOD. Чему равны эти углы, если угол FOD в 3 раза меньше угла COF?
Постройте эти углы.
Развёрнутый угол равен 180°.
1. Пусть ∠AOC = x, тогда ∠COB = 5x и x + 5x = 180°, 6x = 180°, x = 30°. ∠AOC = 30°, ∠COB = 150°.
2. Пусть ∠FOD = x, тогда ∠COF = 3x и x + 3x = 180°, x = 45°. ∠FOD = 45°, ∠COF = 135°. Ответ: 1) 30° и 150°; 2) 135° и 45°.
2.81.
1. На молокозаводе было 960 л молока. Из 7/16 всего молока приготовили творог, 5/9 оставшегося молока переработали на сливки, а остальное молоко разлили в бутылки по 1,5 л и отправили в магазин. Сколько бутылок молока отправили в магазин?
2. В плодоводческом хозяйстве собрали 720 ц вишни. Из 5/12 всей вишни сварили варенье, 9/14 оставшейся вишни переработали на сок, а остальную вишню расфасовали в ящики по 7,5 кг и отправили на продажу. Сколько ящиков вишни отправили на продажу?
1) На творог: 960 · 7/16 = 420 л. Осталось 960 − 420 = 540 л. На сливки: 540 · 5/9 = 300 л. Разлили в бутылки 540 − 300 = 240 л. Бутылок: 240 : 1,5 = 160.
2. На варенье: 720 · 5/12 = 300 ц. Осталось 720 − 300 = 420 ц. На сок: 420 · 9/14 = 270 ц. На продажу 420 − 270 = 150 ц = 15 000 кг. Ящиков: 15 000 : 7,5 = 2000. Ответ: 1) 160 бутылок; 2) 2000 ящиков.
2.82. Числа 0,7; 0,29; 0,2 представьте в виде обыкновенной дроби, а числа 7/8, 3 1/2, 6 12/25 — в виде десятичной дроби.
0,7 = 7/10; 0,29 = 29/100; 0,2 = 2/10 = 1/5. 7/8 = 875/1000 = 0,875; 3 1/2 = 3 5/10 = 3,5; 6 12/25 = 6 48/100 = 6,48.
2.83. Запишите числа в виде десятичной дроби и найдите сумму: а) 4/5 + 1/4; б) 2 22/25 + 3 3/4.
а) 4/5 = 0,8; 1/4 = 0,25; 0,8 + 0,25 = 1,05. б) 2 22/25 = 2 88/100 = 2,88; 3 3/4 = 3,75; 2,88 + 3,75 = 6,63. Ответ: а) 1,05; б) 6,63.
2.84. Развивай мышление. Представьте в виде суммы с наименьшим числом простых слагаемых (слагаемые могут повторяться) числа: а) нечётные, большие 5, но меньшие 20; б) чётные, большие 2, но меньшие 20. Сформулируйте предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых.
Берём не менее двух слагаемых. а) Нечётные числа: 7 = 2 + 5; 9 = 2 + 7; 11 = 3 + 3 + 5 (двумя простыми нельзя: 11 − 2 = 9 — составное); 13 = 2 + 11; 15 = 2 + 13; 17 = 3 + 3 + 11 (17 − 2 = 15 — составное); 19 = 2 + 17. б) Чётные числа: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7; 12 = 5 + 7; 14 = 3 + 11; 16 = 3 + 13; 18 = 5 + 13. Предположения: каждое чётное число, большее 2, является суммой двух простых; каждое нечётное число, большее 5, — суммой трёх простых (или двух, если число, на 2 меньшее, простое). Оговорка: образец в учебнике (7 = 2 + 2 + 3) показывает лишь оформление записи; здесь взято наименьшее возможное число слагаемых, а не единственный вариант.