8. Наименьшее общее кратное натуральных чисел (упражнения 2.103–2.117) — с. 57
2.103. Вычислите. а) 0,7 · 10; : 2; − 0,3; : 0,4. б) 5 : 10; · 0,2; + 2; : 0,7. в) 4 − 0,8; : 0,8; : 10; · 0,5. г) 0,9 + 0,06; : 0,3; − 0,2; · 0,1. д) 1 − 0,7; · 5; : 15; · 100.
Действия выполняем по цепочке сверху вниз. а) 0,7 · 10 = 7; 7 : 2 = 3,5; 3,5 − 0,3 = 3,2; 3,2 : 0,4 = 8. б) 5 : 10 = 0,5; 0,5 · 0,2 = 0,1; 0,1 + 2 = 2,1; 2,1 : 0,7 = 3. в) 4 − 0,8 = 3,2; 3,2 : 0,8 = 4; 4 : 10 = 0,4; 0,4 · 0,5 = 0,2. г) 0,9 + 0,06 = 0,96; 0,96 : 0,3 = 3,2; 3,2 − 0,2 = 3; 3 · 0,1 = 0,3. д) 1 − 0,7 = 0,3; 0,3 · 5 = 1,5; 1,5 : 15 = 0,1; 0,1 · 100 = 10. Ответ: 8; 3; 0,2; 0,3; 10.
2.104. Дроби n/20 и c/30, где n и c — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?
Десятичной (конечной) дробью можно записать несократимую дробь, знаменатель которой имеет только простые множители 2 и 5. У дроби n/20 знаменатель 20 = 2² · 5 уже такой, поэтому n может быть любым — в частности n = 1, 3, 7, 9 (НОД (n, 20) = 1). Ответ: да. У дроби c/30 знаменатель содержит множитель 3: чтобы после сокращения он исчез, c должно делиться на 3, тогда НОД (c, 30) не меньше 3. Ответ: нет. Оговорка: «представить в виде десятичных» понято как конечная десятичная дробь.
2.105. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби и сократите дробь: а) 4/8; б) 15/25; в) 33/99; г) 51/85.
а) НОД (4, 8) = 4; 4/8 = 1/2. б) НОД (15, 25) = 5; 15/25 = 3/5. в) НОД (33, 99) = 33; 33/99 = 1/3. г) 51 = 3 · 17, 85 = 5 · 17, НОД = 17; 51/85 = 3/5.
2.106.
1. Какие числа могут быть взаимно простыми: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
2. Какие числа всегда взаимно простые: а) два чётных числа; б) чётное и нечётное числа; в) два простых числа; г) простое и составное числа; д) два последовательных натуральных числа?
1) Могут быть взаимно простыми: б) чётное и нечётное (например, 4 и 9); в) два простых (3 и 5); г) простое и составное (5 и 8); д) два последовательных (7 и 8). Два чётных числа взаимно простыми быть не могут — оба делятся на 2.
2. Всегда взаимно простые: д) два последовательных натуральных числа: общий делитель n и n + 1 делит их разность 1, значит, НОД = 1. Остальные случаи не всегда: а) два чётных — никогда; б) 6 и 9 не взаимно простые; г) 3 и 12 не взаимно простые; в) два разных простых числа взаимно простые, но 5 и 5 — нет (поэтому «всегда» верно только для различных простых). Оговорка: пункт 2 в) зависит от того, считать ли два простых числа различными.
2.107. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 13 и 26; б) 8 и 12; в) 60 и 75; г) 64 и 128; д) 3375 и 5625.
а) 26 делится на 13: НОД = 13. б) 8 = 2³, 12 = 2² · 3: НОД = 2² = 4. в) 60 = 2² · 3 · 5, 75 = 3 · 5²: НОД = 3 · 5 = 15. г) 128 делится на 64: НОД = 64. д) 3375 = 3³ · 5³, 5625 = 3² · 5⁴: НОД = 3² · 5³ = 1125.
2.108. Для изготовления круглых подставок под цветы диаметром 15 см нужно сделать заготовки квадратной формы. Имеются пластмассовые листы размером 80 × 140 см, 105 × 145 см и 120 × 150 см. Какие из этих листов нужно взять, чтобы было меньше отходов?
Сторона заготовки 15 см, площадь 225 см². Считаем, сколько квадратов помещается. Лист 80 × 140: 80 : 15 = 5 (ост. 5), 140 : 15 = 9 (ост. 5), всего 5 · 9 = 45 квадратов, отходы 80 · 140 − 45 · 225 = 11 200 − 10 125 = 1075 см². Лист 105 × 145: 7 · 9 = 63 квадрата, отходы 15 225 − 14 175 = 1050 см². Лист 120 × 150: 120 и 150 кратны 15 (8 и 10), 80 квадратов, отходов нет. Ответ: нужно взять лист 120 × 150 см.
2.109. Докажите, что если число y кратно 14, то оно делится на 7.
Раз y кратно 14, то y = 14 · k, где k — натуральное число. Тогда y = 7 · (2 · k), то есть y равно 7, умноженному на натуральное число, а значит, делится на 7.
2.110. Найдите наибольший общий делитель всех двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами.
Эти числа: 11, 22, 33, …, 99. Каждое равно 11 · k, где k = 1, 2, …, 9, и число 11 само входит в набор. Значит, все числа делятся на 11, а больше 11 общего делителя нет (он не может превосходить наименьшего числа 11). Ответ: 11.
2.111. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если цифры не повторяются?
На первое место — любая из 5 цифр, на второе — любая из 4 оставшихся, на третье — любая из 3 оставшихся. По правилу умножения 5 · 4 · 3 = 60. Ответ: 60 чисел.
2.112. Запишите в виде обыкновенной или десятичной дроби частное: а) 2 : 5; б) 4 : 13; в) 17 : 20; г) 19 : 43.
Частное двух натуральных чисел равно дроби: числитель — делимое, знаменатель — делитель. а) 2 : 5 = 2/5 = 0,4. б) 4 : 13 = 4/13. в) 17 : 20 = 17/20 = 0,85. г) 19 : 43 = 19/43.
2.113. Запишите в виде частного дробь: а) 3/7; б) 11/8; в) 29/10; г) 0,7; д) 0,24.
Дробная черта — знак деления. а) 3 : 7. б) 11 : 8. в) 29 : 10. г) 0,7 = 7/10 = 7 : 10. д) 0,24 = 24/100 = 24 : 100 (или 6 : 25).
2.114. Запишите в виде смешанного числа частное: а) 19 : 5; б) 20 : 7; в) 21 : 5; г) 392 : 16.
Делим с остатком: целая часть — неполное частное, дробная часть — остаток, делённый на делитель. а) 19 : 5 = 3 (ост. 4) = 3 4/5. б) 20 : 7 = 2 (ост. 6) = 2 6/7. в) 21 : 5 = 4 (ост. 1) = 4 1/5. г) 392 : 16 = 24 (ост. 8) = 24 8/16 = 24 1/2.
2.115. Найдите среднее арифметическое четырёх чисел: а) 2,6; 3,8; 4,3 и 3,7; б) 4,7; 5,6; 3,9 и 8,2; в) 13,46; 17,24; 21,39 и 7,91; г) 14,33; 19,42; 3,47 и 10,48.
Складываем числа и делим на 4. а) (2,6 + 3,8 + 4,3 + 3,7) : 4 = 14,4 : 4 = 3,6. б) (4,7 + 5,6 + 3,9 + 8,2) : 4 = 22,4 : 4 = 5,6. в) (13,46 + 17,24 + 21,39 + 7,91) : 4 = 60 : 4 = 15. г) (14,33 + 19,42 + 3,47 + 10,48) : 4 = 47,7 : 4 = 11,925.
2.116. Среднее арифметическое двух чисел равно 48. Найдите числа, если одно число в 3 раза меньше другого.
Сумма двух чисел 48 · 2 = 96. Если меньшее x, то большее 3x и x + 3x = 96, откуда x = 24, а большее 72. Проверка: (24 + 72) : 2 = 48. Ответ: 24 и 72.
2.117.
1. На овощной базе было 23 т овощей. В первый день продали в 4,6 раза меньше овощей, чем во второй день. К утру третьего дня на базе осталось 3,4 т овощей. Сколько тонн овощей продали во второй день?
2. Туристы запланировали пройти за день 33 км. До обеда они прошли в 2,2 раза большее расстояние, чем после обеда. К вечеру им осталось пройти 2,6 км. Сколько километров прошли туристы до обеда?
1) За два дня продали 23 − 3,4 = 19,6 т. Пусть в первый день продали x т, тогда во второй 4,6x т: x + 4,6x = 5,6x = 19,6, x = 3,5. Во второй день 4,6 · 3,5 = 16,1 т. Проверка: 3,5 + 16,1 = 19,6.
2. За день пройдено 33 − 2,6 = 30,4 км. Пусть после обеда прошли x км, до обеда 2,2x км: x + 2,2x = 3,2x = 30,4, x = 9,5. До обеда 2,2 · 9,5 = 20,9 км. Проверка: 20,9 + 9,5 = 30,4. Ответ: 1) 16,1 т; 2) 20,9 км.