2. Действия со смешанными числами (упражнения 2.41–2.56) — с. 48
2.41. Какие из чисел 7284, 2708, 3912, 9096 делятся на 12?
Число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4. 7284: сумма цифр 21 (делится на 3), 84 : 4 = 21 — делится. 2708: сумма цифр 17 — на 3 не делится. 3912: сумма цифр 15, 12 : 4 = 3 — делится. 9096: сумма цифр 24, 96 : 4 = 24 — делится. Ответ: 7284, 3912, 9096 (7284 : 12 = 607; 3912 : 12 = 326; 9096 : 12 = 758).
2.42. Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы число делилось на 12: а) 765?; б) 3?68; в) 45?8; г) ?260?
Нужно, чтобы число делилось на 3 (сумма цифр кратна 3) и на 4 (две последние цифры делятся на 4). а) 765?: сумма 18 + ? делится на 3 при ? = 0, 3, 6, 9; на 4 делятся 5? только при ? = 2 или 6. Общая цифра 6. Ответ: 7656. б) 3?68: 68 делится на 4; сумма 17 + ? делится на 3 при ? = 1, 4, 7. Числа: 3168, 3468, 3768. в) 45?8: сумма 17 + ?, значит, ? = 1, 4, 7; на 4 делится ?8, если ? чётная цифра. Подходит только 4. Ответ: 4548. г) ?260: 60 делится на 4; сумма 8 + ? делится на 3 при ? = 1, 4, 7. Числа: 1260, 4260, 7260.
2.43.
1. За два перегона поезд проехал 156,5 км. При этом первый перегон был короче второго на 17,8 км. Найдите протяжённость каждого перегона.
2. Междугородный автобус сделал в пути одну остановку. При этом расстояние от начала маршрута до остановки оказалось на 23,7 км больше, чем остальной путь. Найдите расстояние до остановки и после неё, если протяжённость всего пути составила 142,4 км.
1) Если к первому перегону прибавить 17,8 км, получим удвоенный второй: 156,5 + 17,8 = 174,3, в два раза больше — второй перегон. Лучше так: удвоенный первый = 156,5 − 17,8 = 138,7 км, первый перегон 138,7 : 2 = 69,35 км, второй 69,35 + 17,8 = 87,15 км. Проверка: 69,35 + 87,15 = 156,5.
2. Остальной путь (после остановки): (142,4 − 23,7) : 2 = 118,7 : 2 = 59,35 км. До остановки 59,35 + 23,7 = 83,05 км. Проверка: 83,05 + 59,35 = 142,4. Ответ: 1) 69,35 км и 87,15 км; 2) 83,05 км до остановки и 59,35 км после.
2.44. Выполните действия: 1) 0,3 · (13 − 11,5 : 4,6);
2. (13,3 : 3,8 − 3,05) · 0,4;
3. (2,4 · 1,3 + 3) : 0,6;
4. (2,8 · 3,1 − 4) : 0,4.
1) 11,5 : 4,6 = 2,5; 13 − 2,5 = 10,5; 0,3 · 10,5 = 3,15. 2) 13,3 : 3,8 = 3,5; 3,5 − 3,05 = 0,45; 0,45 · 0,4 = 0,18. 3) 2,4 · 1,3 = 3,12; 3,12 + 3 = 6,12; 6,12 : 0,6 = 10,2. 4) 2,8 · 3,1 = 8,68; 8,68 − 4 = 4,68; 4,68 : 0,4 = 11,7.
2.45. Развивай воображение. Найдите кратчайший путь на поверхности куба (рис. 2.2) из точки K в точку L: а) который проходит через точку M; б) который пересекает все горизонтальные рёбра куба, кроме ребра KL.
Пусть ребро куба равно a. а) K и M — противоположные вершины левой грани, кратчайший путь между ними — её диагональ, длина a√2. От M до вершины L (противоположной M вершины куба) кратчайший путь идёт по двум граням: развернём верхнюю и правую грани в прямоугольник 2a × a — путь будет диагональю этого прямоугольника длиной a√5 и пересечёт верхнее правое ребро в его середине. Итак, путь: K → M по диагонали левой грани, затем от M к середине верхнего правого ребра и вниз к L; длина (√2 + √5)a. б) Здесь путь должен по очереди переходить с боковых граней на верхнюю и нижнюю грань и обратно, пересекая все семь рёбер, кроме KL; его строят разверткой этих граней в одну плоскую фигуру и соединяют K и L отрезком. Оговорка: условие б) допускает разные прочтения, поэтому дан только способ построения (развёртка и прямой отрезок); числового ответа в книге нет.
2.46. Числа 1085, 20 403, 702 366, 999 123 — составные. Докажите это утверждение.
Находим у каждого числа делитель, отличный от 1 и от самого числа. 1085 оканчивается на 5, делится на 5 (1085 = 5 · 217). 20 403: сумма цифр 2 + 0 + 4 + 0 + 3 = 9 делится на 3 (20 403 = 3 · 6801). 702 366 — чётное, делится на 2 (702 366 = 2 · 351 183). 999 123: сумма цифр 33 делится на 3 (999 123 = 3 · 333 041). У каждого числа больше двух делителей, значит, они составные.
2.47. Используя таблицу простых чисел, запишите, какие из чисел 152, 169, 187, 191, 489, 499, 570, 627, 775, 937 и 999 — простые.
Составные: 152 = 2 · 76; 169 = 13 · 13; 187 = 11 · 17; 489 = 3 · 163; 570 = 2 · 285; 627 = 3 · 209; 775 = 5 · 155; 999 = 3 · 333. По таблице простых чисел простыми оказываются 191, 499 и 937. Ответ: 191, 499, 937.
2.48. Найдите все делители числа 120. Подчеркните те, которые являются составными числами.
Делители 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Составные среди них: 4, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Простые делители: 2, 3, 5; число 1 не простое и не составное.
2.49. Всеми возможными способами разложите на два множителя числа 27, 46, 90.
27 = 1 · 27 = 3 · 9. 46 = 1 · 46 = 2 · 23. 90 = 1 · 90 = 2 · 45 = 3 · 30 = 5 · 18 = 6 · 15 = 9 · 10.
2.50. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 1001 см³. Найдите измерения параллелепипеда, если они выражаются натуральными числами и ни одно из них не равно 1 см.
Раскладываем 1001 на простые множители: 1001 = 7 · 11 · 13. Три измерения — натуральные числа, больше 1, значит, это ровно эти три простых множителя. Ответ: 7 см, 11 см, 13 см.
2.51. В инкубатор заложили 1200 яиц. Из 23/24 всех яиц вылупились цыплята. При этом оказалось, что петушки составляют 2/5 всех вылупившихся цыплят. Сколько петушков и сколько курочек вылупилось из яиц?
Вылупилось 1200 · 23/24 = 50 · 23 = 1150 цыплят. Петушков 1150 · 2/5 = 460. Курочек 1150 − 460 = 690 (или 1150 · 3/5 = 690). Ответ: 460 петушков и 690 курочек.
2.52. Разложите на простые множители числа: а) 63, 85, 102, 132, 100 000; б) 1600, 8000, 2248, 5148.
а) 63 = 3 · 3 · 7; 85 = 5 · 17; 102 = 2 · 3 · 17; 132 = 2 · 2 · 3 · 11; 100 000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 (2⁵ · 5⁵). б) 1600 = 2⁶ · 5² (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5); 8000 = 2⁶ · 5³; 2248 = 2 · 2 · 2 · 281; 5148 = 2 · 2 · 3 · 3 · 11 · 13.
2.53. Найдите значение выражения: а) 4/9 + 7/9 − 1/9; б) 6/7 − (5/7 − 1/7); в) 5 6/39 + 4 7/78; г) 7 13/15 − 3 11/30; д) 7/8 · 4/35 · 10/9; е) (1/2 : 3/4 − 4/9) · 5/3.
а) (4 + 7 − 1)/9 = 10/9 = 1 1/9. б) 5/7 − 1/7 = 4/7; 6/7 − 4/7 = 2/7. в) 5 6/39 = 5 12/78, значит, 5 12/78 + 4 7/78 = 9 19/78. г) 7 13/15 = 7 26/30, значит, 7 26/30 − 3 11/30 = 4 15/30 = 4 1/2. д) 7/8 · 4/35 · 10/9 = (7 · 4 · 10)/(8 · 35 · 9) = 280/2520 = 1/9. е) 1/2 : 3/4 = 1/2 · 4/3 = 2/3; 2/3 − 4/9 = 6/9 − 4/9 = 2/9; 2/9 · 5/3 = 10/27.
2.54. Цветочная клумба имеет форму прямоугольника, длина которого в 1,8 раза больше ширины. Найдите площадь цветочной клумбы, если её периметр равен 11,2 м.
Полупериметр 11,2 : 2 = 5,6 м — это ширина и длина вместе. Если ширина b, то длина 1,8b, и b + 1,8b = 2,8b = 5,6, откуда b = 2 м, длина 1,8 · 2 = 3,6 м. Площадь 2 · 3,6 = 7,2 м². Ответ: 7,2 м².