2. Действия со смешанными числами (упражнения 2.18–2.40) — с. 47
2.28. Даша пообещала: «Я прочитаю сказку Диме и вытру пыль». Можно ли обещание считать выполненным, если Даша: а) вытерла пыль, но не прочитала сказку; б) прочитала сказку, но не вытерла пыль; в) и вытерла пыль, и прочитала сказку; г) не вытерла пыль и не прочитала сказку?
В чём сходство этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 5 < x < 9 среди чисел 4, 6, 8 и 10?
Союз «и» требует, чтобы выполнялись оба действия сразу. а) Нет (сказка не прочитана). б) Нет (пыль не вытерта). в) Да — выполнены оба. г) Нет. Сходство: двойное неравенство 5 < x < 9 тоже означает «x > 5 и x < 9», то есть должны выполняться оба условия. Из чисел 4, 6, 8, 10: 4 не больше 5; 10 не меньше 9; подходят только 6 и 8.
2.29. Найдите множество всех простых делителей числа: 64; 72; 221; 247; 7777; 7007.
Раскладываем на простые множители. 64 = 2⁶ → {2}. 72 = 2³ · 3² → {2, 3}. 221 = 13 · 17 → {13, 17}. 247 = 13 · 19 → {13, 19}. 7777 = 7 · 11 · 101 → {7, 11, 101}. 7007 = 7 · 7 · 11 · 13 → {7, 11, 13}.
2.30. Найдите простые числа, которые являются решениями двойного неравенства 28 < p < 53.
Между 28 и 53 (границы не включаются) простые числа: 29, 31, 37, 41, 43, 47. Число 53 в решение не входит, так как неравенство строгое. Ответ: 29, 31, 37, 41, 43, 47.
2.31. Существуют ли среди точек A, B, C и D точки, координаты которых простые числа (рис. 2.1), если p — простое число?
По рисунку: точка A получается из p шагом −1 (от A до p стрелка +1), то есть A = p − 1; B = p + 1; C = p + p = 2p; D = 2p + p = 3p. C = 2p и D = 3p — составные при любом простом p (делятся на p и на 2 или 3, и больше p). Координата A = p − 1 простая только при p = 3 (A = 2): при p = 2 получается 1, а при нечётном p > 3 число p − 1 чётное и больше 2. Координата B = p + 1 простая только при p = 2 (B = 3): при нечётном p число p + 1 чётное и больше 2. Ответ: C и D — никогда; A — только при p = 3; B — только при p = 2. Оговорка: расположение стрелок на рисунке прочитано как A = p − 1, B = p + 1.
2.32. Представьте в виде дроби со знаменателем 7 числа 5 и 14.
5 = 35/7 (5 · 7 = 35); 14 = 98/7 (14 · 7 = 98).
2.33. Вычислите значение выражения: а) 4/13 + 3/13; б) 7/11 − 1/11; в) 4 3/9 + 2 1/9; г) 8 4/5 − 7 2/5; д) 3 9/16 + 2 3/16; е) 5 6/13 − 3 1/13; ж) 9/22 · 11/27; з) 4/27 : 20/81.
а) 7/13. б) 6/11. в) 4 3/9 + 2 1/9 = 6 4/9. г) 8 4/5 − 7 2/5 = 1 2/5. д) 3 9/16 + 2 3/16 = 5 12/16 = 5 3/4. е) 5 6/13 − 3 1/13 = 2 5/13. ж) 9/22 · 11/27 = (9 · 11)/(22 · 27) = 1/6 (сократили на 9 и на 11). з) 4/27 : 20/81 = 4/27 · 81/20 = (4 · 81)/(27 · 20) = 3/5.
2.34. В перерыве соревнований было подано 43 порции чая, из них: 24 порции с лимоном, 29 порций с сахаром и 5 порций без лимона и без сахара. Сколько порций чая с лимоном и с сахаром было подано?
Порций хотя бы с одной добавкой: 43 − 5 = 38. Если сложить 24 и 29, то порции с обеими добавками посчитаны дважды: 24 + 29 = 53, а лишних 53 − 38 = 15. Значит, с лимоном и с сахаром подали 15 порций. Проверка: только лимон 24 − 15 = 9, только сахар 29 − 15 = 14, 9 + 14 + 15 + 5 = 43. Ответ: 15 порций.
2.35. а) На сколько процентов масса апельсина меньше массы грейпфрута, если масса грейпфрута на 100 % больше массы апельсина? б) У Саши средняя оценка по математике на 25 % выше средней оценки по математике у Коли. На сколько процентов средняя оценка по математике у Коли ниже средней оценки у Саши?
а) Пусть апельсин весит a, тогда грейпфрут a + 100 % от a = 2a. Апельсин легче грейпфрута на a, то есть на a/2a = 50 %. Ответ: на 50 %. б) Пусть оценка Коли k, тогда у Саши 1,25k. У Коли она ниже на 0,25k, а в процентах от оценки Саши: 0,25k / 1,25k = 0,2 = 20 %. Ответ: на 20 %.
2.36. Запишите значение числового выражения, которое вычисляли на калькуляторе по следующему алгоритму: а) 19,3 + 8,98 ÷ 0,028 + 4,2 =; б) 11,3 · 2,4 + 3,9 ÷ 0,2 =.
Калькулятор выполняет действия по порядку, поэтому нужно поставить скобки. а) (19,3 + 8,98) : 0,028 + 4,2 = 28,28 : 0,028 + 4,2 = 1010 + 4,2 = 1014,2. б) (11,3 · 2,4 + 3,9) : 0,2 = (27,12 + 3,9) : 0,2 = 31,02 : 0,2 = 155,1.
2.37. а) Найдите периметр треугольника, стороны которого равны 8 см, 11 см и a см. б) Может ли a быть равным 1, 3 или 5?
а) P = 8 + 11 + a = (19 + a) см. б) В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности: 11 − 8 < a < 11 + 8, то есть 3 < a < 19. a = 1 не подходит (1 < 3); a = 3 не подходит (8 + 3 = 11, треугольник вырождается в отрезок); a = 5 подходит. Ответ: только 5.
2.38. Укажите числа, которые делятся на 4: а) 234 856; б) 1 094 178; в) 48 954 036; г) 73 581 300.
Признак делимости на 4: число делится на 4, если число из двух последних цифр делится на 4. а) 56 : 4 = 14 — делится. б) 78 не делится на 4 (78 = 4 · 19 + 2) — нет. в) 36 : 4 = 9 — делится. г) 00 — делится. Ответ: а, в, г.
2.39. Какие цифры можно поставить вместо знака вопроса, чтобы число делилось на 4: а) 45 16?; б) 37 4?2; в) 36 35?; г) 84 9?6?
Смотрим на две последние цифры. а) 6? : 60, 64, 68 делятся на 4 — ? = 0, 4, 8. б) ?2 : 12, 32, 52, 72, 92 делятся на 4 (а 02, 22, 42, 62, 82 — нет) — ? = 1, 3, 5, 7, 9. в) 5? : 52, 56 — ? = 2, 6. г) Последние две цифры 6? : 60, 64, 68, значит, последняя цифра 0, 4 или 8, а первая цифра ? (на месте тысяч) может быть любой от 0 до 9.
2.40. Какие из чисел 3552, 4712, 6576, 4836 делятся на 3 и на 4?
Как вы думаете, числа, которые делятся на 3 и на 4, делятся на 12?
Ответ обоснуйте.
3552: сумма цифр 15 (делится на 3), 52 : 4 = 13 — подходит. 4712: сумма цифр 14 — на 3 не делится. 6576: сумма цифр 24, 76 : 4 = 19 — подходит. 4836: сумма цифр 21, 36 : 4 = 9 — подходит. Ответ: 3552, 6576, 4836. Проверка деления на 12: 3552 : 12 = 296; 6576 : 12 = 548; 4836 : 12 = 403 — все делятся. Обоснование: 3 и 4 не имеют общих простых делителей (в разложениях 3 и 2 · 2 нет общих множителей), поэтому число, которое делится и на 3, и на 4, содержит оба набора множителей и делится на 3 · 4 = 12. Да, делятся.