§ 2. Действия со смешанными числами. 6. Разложение числа на простые множители — с. 45
2.1. Назовите делители чисел 37, 35, 99.
37 — простое число, делители 1 и 37. 35: делители 1, 5, 7, 35. 99: делители 1, 3, 9, 11, 33, 99.
2.2. Используя таблицу простых чисел, определите, какие из чисел 107, 123, 367, 409, 531, 557, 853, 977 являются простыми.
Проверяем по таблице простых чисел (первая тысяча) и признакам делимости. Простые: 107, 367, 409, 557, 853, 977. Составные: 123 = 3 · 41 (сумма цифр 6 делится на 3); 531 = 3 · 177 = 3 · 3 · 59 (сумма цифр 9 делится на 3). Ответ: простые — 107, 367, 409, 557, 853, 977.
2.3. Числа 2876, 4500, 777 777, 595 599 — составные. Докажите это утверждение.
Покажем у каждого числа делитель, кроме 1 и самого числа. 2876 — чётное число, делится на 2 (2876 = 2 · 1438). 4500 оканчивается нулями, делится на 2, 5 и 10 (4500 = 10 · 450). 777 777: сумма цифр 7 · 6 = 42 делится на 3, значит, число делится на 3 (777 777 = 3 · 259 259); также 777 777 = 7 · 111 111. 595 599: сумма цифр 5 + 9 + 5 + 5 + 9 + 9 = 42 делится на 3, значит, число делится на 3 (595 599 = 3 · 198 533). У каждого из чисел больше двух делителей, поэтому они составные.
2.4. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?
Нет. Произведение двух простых чисел a и b делится на 1, на a, на b и на само произведение ab, то есть имеет не меньше трёх делителей (1, a, ab, а при a = b — это 1, a и a²). Значит, оно составное. Например, 3 · 5 = 15 — составное.
2.5. Каким числом может быть выражена площадь квадрата, если его сторона выражена натуральным числом?
Площадь равна a · a = a², где a — натуральное число. Если a > 1, то у числа a² делители 1, a и a², то есть оно составное (например, 4, 9, 16, 25). Если a = 1, площадь равна 1. Ответ: площадь не может быть простым числом — это составное число (или 1).
2.6. Каким числом может быть выражен объём куба, если его ребро выражено натуральным числом?
Объём V = a · a · a = a³. При a > 1 у числа a³ есть делители 1, a, a³, то есть оно составное (8, 27, 64, …); при a = 1 объём 1. Ответ: объём куба не может быть простым числом — это составное число (или 1).
2.7. Число a делится: а) на 7; б) на 12. Какое это число: простое или составное?
а) Число a, кратное 7, может быть простым только в одном случае — когда a = 7. Все остальные кратные 7 (14, 21, 28, …) составные. Значит, ответ неоднозначен: либо 7 (простое), либо составное. б) Число, кратное 12, не меньше 12 и делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12, то есть имеет больше двух делителей, — оно всегда составное.
2.8. Разложите на два множителя числа: а) 44 и 333; б) 98 и 453; в) 156 и 225.
Возможны разные варианты. а) 44 = 4 · 11 (или 2 · 22); 333 = 3 · 111 (или 9 · 37). б) 98 = 2 · 49 (или 7 · 14); 453 = 3 · 151 (сумма цифр 12 делится на 3). в) 156 = 12 · 13 (или 2 · 78, 3 · 52, 4 · 39, 6 · 26); 225 = 15 · 15 (или 9 · 25, 3 · 75, 5 · 45).
2.9. а) Сколькими способами можно разложить на два множителя число: 20; 46; 77? б) Какими могут быть размеры теплицы площадью 24 м², если они выражены натуральными числами?
а) Перебираем пары множителей (без учёта порядка). 20 = 1 · 20 = 2 · 10 = 4 · 5 — 3 способа. 46 = 1 · 46 = 2 · 23 — 2 способа. 77 = 1 · 77 = 7 · 11 — 2 способа. (Если не использовать множитель 1, то 2, 1 и 1 способ.) б) Размеры — пары множителей числа 24: 1 м × 24 м; 2 м × 12 м; 3 м × 8 м; 4 м × 6 м. Реальные теплицы: 2 × 12, 3 × 8 или 4 × 6 м.
2.10. Все ли чётные числа являются составными?
Нет. Число 2 — чётное, но простое (у него только два делителя: 1 и 2). Все остальные чётные числа составные: они делятся на 2 и на самих себя, а значит, имеют больше двух делителей.
2.11. С помощью контрпримера опровергните утверждение: а) любое число, оканчивающееся цифрой 7, является простым; б) сумма любых двух простых чисел есть простое число.
Контрпример — пример, опровергающий утверждение. а) 27 оканчивается на 7, но 27 = 3 · 9 — составное (также 57 = 3 · 19, 77 = 7 · 11). б) 3 и 5 — простые, а 3 + 5 = 8 — составное (также 7 + 11 = 18, 5 + 13 = 18).
2.12. Найдите произведение простых чисел: а) 37 и 3; б) 7, 11 и 13; в) 11 и 101.
а) 37 · 3 = 111. б) 7 · 11 · 13 = 77 · 13 = 1001. в) 11 · 101 = 1111.
2.13. Используя результаты, полученные в предыдущем задании, вычислите: а) 101 · 3 · 37; б) 7 · 13 · 11 · 101; в) 3 · 7 · 11 · 13 · 37; г) 3 · 37 · 11 · 101.
а) 101 · (3 · 37) = 101 · 111 = 11 211. б) (7 · 11 · 13) · 101 = 1001 · 101 = 101 101. в) (7 · 11 · 13) · (3 · 37) = 1001 · 111 = 111 111. г) (3 · 37) · (11 · 101) = 111 · 1111 = 123 321.
2.14. Разложите на простые множители числа: а) 108, 225, 270, 512, 945, 1024; б) 90, 180, 270, 350, 450, 1350, 4500; в) 13, 2002, 1225, 14 014, 90 720.
Делим по очереди на простые числа (признаки делимости). а) 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3; 225 = 3 · 3 · 5 · 5; 270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5; 512 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 (2⁹); 945 = 3 · 3 · 3 · 5 · 7; 1024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 (2¹⁰). б) 90 = 2 · 3 · 3 · 5; 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5; 270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5; 350 = 2 · 5 · 5 · 7; 450 = 2 · 3 · 3 · 5 · 5; 1350 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5; 4500 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5. в) 13 — простое число, разложить нельзя; 2002 = 2 · 7 · 11 · 13; 1225 = 5 · 5 · 7 · 7; 14 014 = 2 · 7 · 7 · 11 · 13; 90 720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7.
2.15. Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей. Как называют эти числа?
Ищем числа вида p · p (квадрат простого) и p · p · p (куб простого), которые двузначные. Квадраты простых: 5² = 25, 7² = 49 (2² = 4 и 3² = 9 однозначные, 11² = 121 трёхзначное). Кубы простых: 3³ = 27 (2³ = 8 однозначное, 5³ = 125 трёхзначное). Ответ: 25, 27, 49. Это точные степени простых чисел: 25 и 49 — квадраты, 27 — куб простого числа. Оговорка: название «степени простых чисел» (квадрат, куб) выбрано по смыслу задачи.
2.16. Напишите все двузначные числа, в разложении которых два различных простых множителя и один из них равен: а) 7; б) 19; в) 29; г) 43.
Число равно произведению 7 (19, 29, 43) на другое простое число, и оно двузначное. а) 7 · 2 = 14; 7 · 3 = 21; 7 · 5 = 35; 7 · 11 = 77; 7 · 13 = 91 (7 · 17 = 119 уже трёхзначное). б) 19 · 2 = 38; 19 · 3 = 57; 19 · 5 = 95. в) 29 · 2 = 58; 29 · 3 = 87. г) 43 · 2 = 86. Ответ: а) 14, 21, 35, 77, 91; б) 38, 57, 95; в) 58, 87; г) 86. Оговорка: разложение понято как произведение ровно двух различных простых множителей.
2.17. Делится ли число n на число m нацело, если: а) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7 и m = 2 · 2 · 7; б) n = 2 · 5 · 5 · 17 · 17 и m = 2 · 3 · 5; в) n = 3 · 3 · 5 · 7 · 19 и m = 3 · 3 · 7 · 19; г) n = 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 7 и m = 35; д) n = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 и m = 308; е) n = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 11 и m = 1000?
n делится на m, если все простые множители m (с учётом повторов) входят в разложение n. а) Да: 2 · 2 и 7 есть в n. б) Нет: в n нет множителя 3. в) Да: 3 · 3, 7 и 19 есть в n (частное 5). г) Да: 35 = 5 · 7, оба множителя есть в n. д) 308 = 2 · 2 · 7 · 11, все множители есть в n — да. е) 1000 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5, в n только два множителя 5 — нет. Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет.