2. Действия со смешанными числами (упражнения 2.18–2.40) — с. 46
2.18. Вычислите. а) 4,78 + 5,22; 5,7 + 0,03; 9,21 + 2,09; 8,37 + 1,63. б) 0,7 − 0,03; 1 − 0,36; 3 − 2,09; 1,78 − 0,6. в) 5,7 : 100; 4 : 10; 68 : 1000; 5,7 : 0,01. г) 0,29 · 0,2 · 5; 4,2 · 1,5 − 3,2 · 1,5; 4 · 12,5 · 2,5; 4,8 · 6,2 + 3,8 · 4,8.
а) 4,78 + 5,22 = 10; 5,7 + 0,03 = 5,73; 9,21 + 2,09 = 11,3; 8,37 + 1,63 = 10. б) 0,7 − 0,03 = 0,67; 1 − 0,36 = 0,64; 3 − 2,09 = 0,91; 1,78 − 0,6 = 1,18. в) 5,7 : 100 = 0,057; 4 : 10 = 0,4; 68 : 1000 = 0,068; 5,7 : 0,01 = 570. г) 0,29 · 0,2 · 5 = 0,29 · (0,2 · 5) = 0,29 · 1 = 0,29; 4,2 · 1,5 − 3,2 · 1,5 = (4,2 − 3,2) · 1,5 = 1,5; 4 · 12,5 · 2,5 = 50 · 2,5 = 125; 4,8 · 6,2 + 3,8 · 4,8 = 4,8 · (6,2 + 3,8) = 4,8 · 10 = 48.
2.19. а) Выразите в процентах число: 0,003; 0,02; 0,37; 0,7; 1; 3. б) Выразите десятичной дробью: 3 %; 7 %; 10 %; 20 %; 50 %; 74 %; 100 %; 140 %.
а) Чтобы выразить число в процентах, умножаем его на 100: 0,003 = 0,3 %; 0,02 = 2 %; 0,37 = 37 %; 0,7 = 70 %; 1 = 100 %; 3 = 300 %. б) Проценты переводим в десятичную дробь делением на 100: 3 % = 0,03; 7 % = 0,07; 10 % = 0,1; 20 % = 0,2; 50 % = 0,5; 74 % = 0,74; 100 % = 1; 140 % = 1,4.
2.20. Найдите удобным способом значение выражения: а) (a + b) + c при a = 498, b = 317, c = 383; б) a − (b + c) при a = 51,9, b = 31,7, c = 1,9.
а) (498 + 317) + 383 = 498 + (317 + 383) = 498 + 700 = 1198. б) 51,9 − (31,7 + 1,9) = (51,9 − 1,9) − 31,7 = 50 − 31,7 = 18,3.
2.21. Одно измерение параллелепипеда равно 20 см, а два других выражаются произвольными натуральными числами сантиметров. Будет ли объём этого параллелепипеда всегда выражаться числом, кратным: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6?
Объём V = 20 · a · b, где a и b — натуральные числа. Он делится на каждый делитель числа 20. а) На 2 — да (20 = 2 · 10). б) На 3 — нет: при a = b = 1 объём 20 на 3 не делится. в) На 4 — да (20 = 4 · 5). г) На 5 — да (20 = 5 · 4). д) На 6 — нет: объём 20 при a = b = 1 не делится на 6. Ответ: а, в, г — да; б, д — не всегда.
2.22. Разбираемся в решении. Сколько чётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 5, 7, 8, 9, если цифры повторяются?
Это разобранный в книге пример. Кратко повторим ход: на первом месте — любая из пяти цифр, кроме нуля, то есть 4 варианта; на втором и третьем — любая из 5 цифр (по 5 вариантов); на последнем, чтобы число было чётным, — только 0 или 8 (2 варианта). По правилу умножения 4 · 5 · 5 · 2 = 200. Ответ: 200 чисел.
2.23. Припишите к числу 1000 по одной цифре справа и слева так, чтобы число делилось на 2, 3, 6 и 9.
Получаем шестизначное число a1000b. Если оно делится на 2 и на 9, то делится и на 3, и на 6 (6 = 2 · 3). Значит, b — чётная цифра, а сумма цифр a + 1 + b делится на 9. Это возможно при a + b = 8 или a + b = 17. Слева нуль писать нельзя, поэтому a ≥ 1. Перебор: b = 0, a = 8 → 810 000; b = 2, a = 6 → 610 002; b = 4, a = 4 → 410 004; b = 6, a = 2 → 210 006; a + b = 17: a = 9, b = 8 → 910 008. Ответ: 810 000, 610 002, 410 004, 210 006, 910 008 (подойдёт любое из них).
2.24. Из множества A = {726 245, 2 977 385, 4 224 423, 65 358, 111 888, 876 555, 909 237} выпишите те числа, которые: а) кратны 5; б) кратны 3; в) делятся без остатка на 3 и на 2; г) кратны 9 и 5.
Применяем признаки делимости. Суммы цифр: 726 245 → 26; 2 977 385 → 41; 4 224 423 → 21; 65 358 → 27; 111 888 → 27; 876 555 → 36; 909 237 → 30. а) Кратны 5 (последняя цифра 0 или 5): 726 245; 2 977 385; 876 555. б) Кратны 3 (сумма цифр делится на 3): 4 224 423; 65 358; 111 888; 876 555; 909 237. в) На 3 и на 2: чётные из предыдущих — 65 358; 111 888. г) Кратны 9 и 5: сумма цифр делится на 9 и число оканчивается на 0 или 5 — 876 555 (сумма 36).
2.25. Приведите контрпример, опровергающий утверждение: а) любое число, которое оканчивается цифрой 5, делится на 7; б) любое число, которое делится на 7, оканчивается цифрой 7.
а) 15 оканчивается цифрой 5, но на 7 не делится (также 25, 35 делится, а 45 — нет). б) 14 делится на 7, но оканчивается цифрой 4 (также 21, 28, 35).
2.26. Поставьте вместо знака вопроса цифру так, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5: а) 25?5; б) 3174?; в) 133?.
Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5, и на 3, если сумма цифр делится на 3. а) 25?5 оканчивается на 5. Сумма цифр 2 + 5 + ? + 5 = 12 + ?, делится на 3 при ? = 0, 3, 6, 9. Числа: 2505, 2535, 2565, 2595. б) Последняя цифра 0 или 5. Сумма 3 + 1 + 7 + 4 = 15, значит, нужно ? = 0 (15 делится на 3), а при 5 получим 20 — не делится. Ответ: 31 740. в) 133? : 1 + 3 + 3 = 7. При ? = 0 сумма 7 не делится на 3; при ? = 5 сумма 12 делится. Ответ: 1335.
2.27.
1. Для приготовления песочного теста потребовалось 5/9 пачки сливочного масла. Сколько граммов масла потребовалось, если всего в пачке 180 г масла?
2. Для приготовления крема израсходовали 5/8 упаковки сливок. Сколько граммов сливок израсходовали, если в упаковке было 600 г сливок?
Чтобы найти дробь от числа, умножаем число на эту дробь. 1) 180 · 5/9 = 20 · 5 = 100 г. 2) 600 · 5/8 = 75 · 5 = 375 г. Ответ: 100 г масла; 375 г сливок.