5. Понятие множества (упражнения 1.185–1.198) — с. 41
1.185. Решите уравнение: а) (0,87m – 0,66m) · 10 : 2 : 3 = 0; б) 10 · (1,37k – 0,12k) : 5 : 8 = 0.
Произведение или частное равно нулю, когда нулю равен первый множитель (делимое), а делители не нули. а) 0,87m – 0,66m = 0,21m; 0,21m · 10 : 2 : 3 = 0 только при 0,21m = 0, то есть m = 0. б) 1,37k – 0,12k = 1,25k; 10 · 1,25k : 5 : 8 = 0 только при k = 0. Ответ: а) m = 0; б) k = 0.
1.186. Если число лет Кати увеличить на 11 и полученный результат уменьшить в 6 раз, то будет 4. Сколько лет Кате?
Решаем с конца. Перед уменьшением в 6 раз было 4 · 6 = 24. До увеличения на 11 было 24 – 11 = 13. Проверка: (13 + 11) : 6 = 24 : 6 = 4. Ответ: 13 лет.
1.187. Из одного пункта в противоположных направлениях отправились два велосипедиста, и через 1,5 ч расстояние между ними стало 39 км. С какой скоростью двигались велосипедисты, если скорость одного из них была на 2 км/ч больше скорости другого?
Скорость удаления: 39 : 1,5 = 26 (км/ч) — это сумма скоростей. Если от суммы отнять 2 км/ч, скорости станут равными: (26 – 2) : 2 = 12 км/ч — скорость меньшая; большая 12 + 2 = 14 км/ч. Проверка: (12 + 14) · 1,5 = 39. Ответ: 12 км/ч и 14 км/ч.
1.188. Составьте множество, элементами которого являются: а) океаны; б) материки; в) континенты; г) моря, омывающие российские берега; д) все правильные дроби со знаменателем 12; е) неправильные дроби с числителем 10.
а) {Тихий, Атлантический, Индийский, Северный Ледовитый, Южный}. б) {Евразия, Африка, Северная Америка, Южная Америка, Австралия, Антарктида}. в) Континенты — это те же материки, множество то же самое (если Европу и Азию считать отдельными континентами, получится 7 элементов). г) {Балтийское, Чёрное, Азовское, Белое, Баренцево, Карское, море Лаптевых, Восточно-Сибирское, Чукотское, Берингово, Охотское, Японское}. д) {1/12, 2/12, 3/12, …, 11/12} (11 дробей). е) {10/1, 10/2, 10/3, 10/4, 10/5, 10/6, 10/7, 10/8, 10/9, 10/10}. Оговорка: в г) для школьного атласа взяты 12 морей Тихого, Атлантического и Северного Ледовитого океанов; Каспийское море в список не включено.
1.189. Запишите множество из трёх–четырёх элементов, состоящее из единиц измерения: а) длины; б) массы; в) площади; г) объёма.
а) {мм, см, м, км}. б) {г, кг, ц, т}. в) {см², м², га, км²}. г) {см³, дм³, м³, л}.
1.190. Дано множество M = {0,4; 3; 2/3; 8; 2,5; 7/8; 3 1/2; 1; 0}. Составьте из его элементов подмножество P всех: а) натуральных чисел; б) обыкновенных дробей; в) десятичных дробей; г) целых чисел.
а) Натуральные числа (счёт предметов, 0 не входит): P = {3, 8, 1}. б) Обыкновенные дроби: P = {2/3, 7/8}. (Число 3 1/2 — смешанное; если смешанные числа тоже считать записью обыкновенной дроби 7/2, то добавляется и оно.) в) Десятичные дроби: P = {0,4; 2,5}. г) Целые числа (натуральные и нуль): P = {0, 1, 3, 8}. Оговорка: в б) смешанное число 3 1/2 не включено в основной ответ.
1.191. Запишите множество всех трёхзначных чисел, в записи которых используются только цифры 1 и 0.
Первая цифра не может быть нулём, поэтому она 1; вторая и третья — 0 или 1 (2 · 2 = 4 варианта). Множество: {100, 101, 110, 111}.
1.192. Найдите пересечение множеств A и C, если A — множество всех натуральных чисел от 1 до 30, которые при делении на 3 дают остаток 1, а C — множество всех натуральных чисел до 30, которые делятся на 4 без остатка.
A = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}; C = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}. Общие элементы: A ∩ C = {4, 16, 28}.
1.193. Найдите пересечение и объединение множеств X и Y, если X — множество всех натуральных чисел, на которые число 24 делится без остатка, а Y — множество всех натуральных чисел, на которые число 18 делится без остатка.
X = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}; Y = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. X ∩ Y = {1, 2, 3, 6}; X ∪ Y = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}.
1.194. Найдите пересечение и объединение множеств M и N, если M — множество всех степеней числа 2 с показателем от 1 до 10, N — множество всех степеней числа 4 с показателем от 1 до 5.
M = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024}; N = {4, 16, 64, 256, 1024} (4¹, 4², 4³, 4⁴, 4⁵). Все элементы N есть в M, поэтому N — подмножество M: M ∩ N = N = {4, 16, 64, 256, 1024}; M ∪ N = M = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024}.
1.195. В зимние каникулы каждый из 18 детей побывал на спектакле или на новогоднем представлении. Из них 12 человек смотрели спектакль, а 9 — новогоднее представление. Сколько детей было и на спектакле, и на новогоднем представлении?
12 + 9 = 21, но детей 18, так как побывавшие на обоих мероприятиях посчитаны дважды. Их число: 21 – 18 = 3. Проверка: только спектакль 12 – 3 = 9, только представление 9 – 3 = 6, оба 3: 9 + 6 + 3 = 18. Ответ: 3 человека.
1.196. Выполните действия: а) (97 548 + 69 432) : (16 400 – 15 388); б) 1 067 154 : 4807 – 189 + 707 · 390.
а) 97 548 + 69 432 = 166 980; 16 400 – 15 388 = 1012; 166 980 : 1012 = 165. б) 1 067 154 : 4807 = 222; 707 · 390 = 275 730; 222 – 189 + 275 730 = 33 + 275 730 = 275 763. Ответ: а) 165; б) 275 763.
1.197. В пяти маленьких и двух больших коробках 54 цветных карандаша, а в трёх маленьких и двух больших коробках 42 карандаша. Сколько карандашей в одной маленькой и сколько в одной большой коробке?
Разность наборов — две маленькие коробки: 54 – 42 = 12 карандашей, значит, в одной маленькой 12 : 2 = 6. Две большие коробки: 42 – 3 · 6 = 24 карандаша, в одной большой 24 : 2 = 12. Проверка: 5 · 6 + 2 · 12 = 54; 3 · 6 + 2 · 12 = 42. Ответ: 6 и 12 карандашей.
1.198. Выполните действия: а) 1,7 · (3,9658 + 16,0142) – 8,591 : (7,1 – 5,68); б) ((4 : 0,128 + 14 628,25) : 1,011 · 0,00008 + 6,84) : 12,5.
а) 3,9658 + 16,0142 = 19,98; 1,7 · 19,98 = 33,966; 7,1 – 5,68 = 1,42; 8,591 : 1,42 = 6,05; 33,966 – 6,05 = 27,916. б) 4 : 0,128 = 31,25; 31,25 + 14 628,25 = 14 659,5; 14 659,5 : 1,011 = 14 500; 14 500 · 0,00008 = 1,16; 1,16 + 6,84 = 8; 8 : 12,5 = 0,64. Ответ: а) 27,916; б) 0,64.