5. Понятие множества — с. 40
1.170. Дано множество A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}. Составьте его подмножество B, элементами которого являются все: а) числа, которые делятся на 10; б) нечётные числа; в) однозначные числа; г) числа, большие 50.
а) B = {10, 20, 30, 40, 50}. б) B = {5, 15, 25, 35, 45}. в) B = {5}. г) В A нет чисел, больших 50, поэтому B — пустое множество: B = ∅.
1.171. Запишите множество всех натуральных чисел, на которые делится число: а) 6; б) 12; в) 15; г) 2.
Это множества делителей. а) {1, 2, 3, 6}. б) {1, 2, 3, 4, 6, 12}. в) {1, 3, 5, 15}. г) {1, 2}.
1.172. Составьте множество A всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 20, и множество B всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 30. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}; B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Пересечение (общие элементы): A ∩ B = {1, 2, 5, 10}. Объединение (все элементы обоих): A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20, 30}.
1.173. Составьте множество A всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 9, и множество B всех натуральных чисел, на которые делится без остатка число 8. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.
A = {1, 3, 9}; B = {1, 2, 4, 8}. A ∩ B = {1}. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 8, 9}.
1.174. Запишите множество A всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 15, и множество B всех двузначных чисел, которые делятся без остатка на число 10. Найдите пересечение и объединение множеств A и B.
A = {15, 30, 45, 60, 75, 90}; B = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}. A ∩ B = {30, 60, 90} (числа, кратные 30). A ∪ B = {10, 15, 20, 30, 40, 45, 50, 60, 70, 75, 80, 90}.
1.175. На соревнования шестиклассников пришли родители: 27 пап и 39 мам. У скольких учащихся пришли мама с папой вместе, если в соревнованиях принимали участие 53 ученика и у каждого учащегося пришёл хотя бы один из родителей?
Если сложить пап и мам, то тех, кто пришёл вдвоём, посчитаем дважды: 27 + 39 = 66, а учащихся всего 53. Лишние 66 – 53 = 13 — это ученики, за которых пришли и мама, и папа. Проверка по кругам Эйлера: только папа 27 – 13 = 14, только мама 39 – 13 = 26, оба 13: 14 + 13 + 26 = 53. Ответ: у 13 учащихся.
1.176. При опросе 100 учеников выяснилось, что у 33 из них есть брат, у 54 — сестра, а у 37 учеников нет ни брата, ни сестры. У скольких учеников есть и брат, и сестра?
Хотя бы один из брата или сестры есть у 100 – 37 = 63 учеников. Если сложить 33 и 54, то тех, у кого есть оба, посчитаем дважды: 33 + 54 = 87, а учеников 63. Значит, у 87 – 63 = 24 учеников есть и брат, и сестра. Проверка: только брат 33 – 24 = 9, только сестра 54 – 24 = 30; 9 + 24 + 30 + 37 = 100. Ответ: у 24 учеников.
1.177. Вычислите (действия по порядку сверху вниз). а) 1 – 0,2; · 10; : 40; + 3,8. б) 4,9 + 1,4; : 3; + 3,9; : 12. в) 0,4 · 20; : 0,2; : 100; + 2,6. г) 63 : 90; + 0,5; · 4; – 0,9. д) 15 : 2,5; + 2,1; : 2,7; – 0,6.
а) 1 – 0,2 = 0,8; 0,8 · 10 = 8; 8 : 40 = 0,2; 0,2 + 3,8 = 4. б) 4,9 + 1,4 = 6,3; 6,3 : 3 = 2,1; 2,1 + 3,9 = 6; 6 : 12 = 0,5. в) 0,4 · 20 = 8; 8 : 0,2 = 40; 40 : 100 = 0,4; 0,4 + 2,6 = 3. г) 63 : 90 = 0,7; 0,7 + 0,5 = 1,2; 1,2 · 4 = 4,8; 4,8 – 0,9 = 3,9. д) 15 : 2,5 = 6; 6 + 2,1 = 8,1; 8,1 : 2,7 = 3; 3 – 0,6 = 2,4. Ответ: а) 4; б) 0,5; в) 3; г) 3,9; д) 2,4.
1.178. Выполните действия: 1) 18 408 : (268 · 75 – 19 746) + 959;
2. (86 · 217 + 275 116) : 859 + 279 569.
1) 268 · 75 = 20 100; 20 100 – 19 746 = 354; 18 408 : 354 = 52; 52 + 959 = 1011. 2) 86 · 217 = 18 662; 18 662 + 275 116 = 293 778; 293 778 : 859 = 342; 342 + 279 569 = 279 911. Ответ: 1) 1011; 2) 279 911.
1.179. Найдите значение выражения: а) 85 + 203x + 102x + 91 при x = 76; 201; б) 79y – (23y – 15y) при y = 15; 309.
Упростим. а) 85 + 91 + 203x + 102x = 176 + 305x. При x = 76: 176 + 305 · 76 = 176 + 23 180 = 23 356. При x = 201: 176 + 305 · 201 = 176 + 61 305 = 61 481. б) 79y – (23y – 15y) = 79y – 8y = 71y. При y = 15: 71 · 15 = 1065. При y = 309: 71 · 309 = 21 939. Ответ: а) 23 356; 61 481; б) 1065; 21 939.
1.180. На лесоперерабатывающем предприятии по заказу было изготовлено 150 м³ пиломатериалов: бруса, половой доски и вагонки. При этом бруса было изготовлено 72 м³, половой доски — 45 м³. Сколько кубометров вагонки было изготовлено?
Бруса и половой доски вместе: 72 + 45 = 117 (м³). Вагонки: 150 – 117 = 33 (м³). Ответ: 33 м³.
1.181. Длины двух сторон четырёхугольника составляют 3/11 и 4/11 его периметра, а сумма длин этих сторон равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника.
Две стороны вместе составляют 3/11 + 4/11 = 7/11 периметра, и это 28 см. Одна одиннадцатая часть: 28 : 7 = 4 (см). Периметр: 4 · 11 = 44 (см). Ответ: 44 см.
1.182. Найдите значение выражения: а) ((3,2 + 0,32) : 0,1 – (50 – 7,2) · 0,1) · 100; б) ((4,3 – 1,08) : 0,1 + (40 – 8,4) · 0,1) · 100.
а) 3,2 + 0,32 = 3,52; 3,52 : 0,1 = 35,2; 50 – 7,2 = 42,8; 42,8 · 0,1 = 4,28; 35,2 – 4,28 = 30,92; 30,92 · 100 = 3092. б) 4,3 – 1,08 = 3,22; 3,22 : 0,1 = 32,2; 40 – 8,4 = 31,6; 31,6 · 0,1 = 3,16; 32,2 + 3,16 = 35,36; 35,36 · 100 = 3536. Ответ: а) 3092; б) 3536.
1.183. За 14 дней завод изготовил 560 стиральных машин, а в следующие 6 дней стал выпускать на 5 машин в день больше. Сколько машин выпустил завод за 20 дней?
Сначала в день выпускали 560 : 14 = 40 (машин). Потом 40 + 5 = 45 машин в день; за 6 дней: 45 · 6 = 270. Всего за 20 дней: 560 + 270 = 830 (машин). Ответ: 830 машин.
1.184. В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них можно отобрать трёх человек для участия в школьных соревнованиях?
Выбираем 3 из 7, порядок не важен. Если учитывать порядок, получилось бы 7 · 6 · 5 = 210 вариантов; каждая тройка при этом посчитана 3 · 2 · 1 = 6 раз (по числу перестановок трёх человек). Значит, способов 210 : 6 = 35. Ответ: 35 способов.