4. Виды треугольников (продолжение, упражнения 1.144–1.163) — с. 35
1.144. Найдите угол треугольника, если два других угла равны 65° и 25°.
Сумма углов треугольника равна 180°. Третий угол: 180° – 65° – 25° = 180° – 90° = 90°. Ответ: 90° (треугольник прямоугольный).
1.145. Найдите углы треугольника, если два угла равны, а третий равен 130°.
На два равных угла приходится 180° – 130° = 50°, значит, каждый из них 50° : 2 = 25°. Ответ: 25°, 25° и 130°.
1.146. В треугольнике два угла равны, а третий угол равен 70°. Найдите углы треугольника. Рассмотрите два способа решения.
Способ 1 (арифметический): два равных угла в сумме дают 180° – 70° = 110°, каждый 110° : 2 = 55°. Способ 2 (уравнение): пусть равные углы по x, тогда 2x + 70° = 180°; 2x = 110°; x = 55°. Ответ: 55°, 55° и 70°. (Оговорка: «третий угол» понят как отличный от двух равных; если бы 70° было величиной одного из равных углов, получились бы углы 70°, 70° и 40°.)
1.147. Вычислите. а) 0,01 + 1,1 + 0,09; 8,1 + 2,99 + 1,01; 1,88 + 3,7 + 0,12; 2,8 + 1,85 + 2,15; 1,07 + 0,88 + 1,93. б) 15 – 2,3; 0,3 – 0,29; 7 – 0,2; 6 – 2,75; 16,4 – 4. в) 2,5 · 2,7 · 4; 3,9 · 0,5 · 2; 1,25 · 1,9 · 8; 4 · 5,6 · 0,25; 0,5 · 30 · 0,1. г) 1 : 10; 8,08 : 8; 9 : 100; 6,73 : 10; 0,3 : 0,1.
а) 1,2; 12,1; 5,7; 6,8; 3,88. Удобно группировать слагаемые: 0,01 + 0,09 + 1,1 = 1,2; 8,1 + 2,99 + 1,01 = 8,1 + 4 = 12,1; 1,88 + 0,12 + 3,7 = 5,7; 2,8 + 1,85 + 2,15 = 2,8 + 4 = 6,8; 1,07 + 0,88 + 1,93 = 3 + 0,88 = 3,88. б) 12,7; 0,01; 6,8; 3,25; 12,4. в) 2,5 · 4 · 2,7 = 27; 3,9 · (0,5 · 2) = 3,9; 1,25 · 8 · 1,9 = 19; 4 · 0,25 · 5,6 = 5,6; 0,5 · 30 · 0,1 = 1,5. г) 0,1; 1,01; 0,09; 0,673; 3.
1.148. Существуют ли натуральные значения c, при которых произведение 31c является простым числом?
Число 31 — простое. При c = 1 произведение 31 · 1 = 31 — простое число. При c > 1 у произведения 31c есть делители 1, 31, c и 31c, то есть оно составное. Ответ: существует единственное значение c = 1.
1.149. Может ли выражаться простым числом периметр или площадь прямоугольника, стороны которого выражены натуральными числами?
Периметр P = 2 · (a + b), где a и b — натуральные, a + b ≥ 2, значит, P ≥ 4 и P делится на 2 — периметр всегда составное (чётное, большее 2) число, простым быть не может. Площадь S = a · b может быть простой, если одна сторона равна 1, а другая — простое число: например, 1 · 7 = 7. Ответ: периметр — не может; площадь — может.
1.150. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений: а) 14 · 0,76 и (14 · 76) : 100; б) 340 · 0,02 и (340 · 2) : 10; в) 0,6 · 0,2 и (6 · 2) : 100; г) 1,234 : 0,02 и 123,4 : 0,2.
а) Умножить на 0,76 — то же, что умножить на 76 и разделить на 100: значения равны. б) 340 · 0,02 = (340 · 2) : 100, а справа деление на 10, то есть число в 10 раз больше: левое значение меньше. в) 0,6 · 0,2 = (6 · 2) : (10 · 10) = (6 · 2) : 100: значения равны. г) Сдвинем запятые у второго выражения: 123,4 : 0,2 = 1234 : 2, а 1,234 : 0,02 = 123,4 : 2: левое число в 10 раз меньше. Ответ: а) =; б) <; в) =; г) <. (Проверка: 10,64 = 10,64; 6,8 < 68; 0,12 = 0,12; 61,7 < 617.)
1.151. Фермер посадил на поле прямоугольной формы свёклу. Длина поля равна 73,4 м, что в полтора раза больше его ширины. Сколько свёклы фермер собрал с поля, если урожайность равна 2,25 ц с одного ара?
Запишите полученный ответ в тоннах и килограммах.
Ширина: 73,4 : 1,5 = 48,93… м. Площадь: 73,4 · 73,4 : 1,5 = 5387,56 : 1,5 ≈ 3591,71 м². 1 ар = 100 м², значит, площадь ≈ 35,917 ара. Урожай: 35,917 · 2,25 ≈ 80,81 ц = 8081 кг ≈ 8 т 81 кг. Ответ: примерно 8 т 81 кг (≈ 8081 кг). Оговорка: числа в условии не делятся нацело, поэтому ответ приближённый.
1.152. Масса ведра с водой равна 12,5 кг. После того как из ведра вылили половину воды, масса оставшейся воды с ведром стала 6,5 кг. Найдите массу пустого ведра.
Масса уменьшилась на 12,5 – 6,5 = 6 (кг) — это половина воды. Вся вода: 6 · 2 = 12 (кг). Ведро: 12,5 – 12 = 0,5 (кг). Проверка: 6 + 0,5 = 6,5. Ответ: 0,5 кг.
1.153. Решите уравнение: а) x + 2 3/16 = 3 1/8; б) x – 1 3/4 = 2 11/12; в) 2/9 : x = 7/18; г) 3/5 · x = 6/7; д) x : (1 2/3 + 4/9) = 9/38; е) (8 1/2 – 7 1/4) · x = 5/12.
а) x = 3 1/8 – 2 3/16 = 3 2/16 – 2 3/16 = 2 18/16 – 2 3/16 = 15/16. б) x = 2 11/12 + 1 3/4 = 2 11/12 + 1 9/12 = 3 20/12 = 4 2/3. в) x = 2/9 : 7/18 = 2/9 · 18/7 = 4/7. г) x = 6/7 : 3/5 = 6/7 · 5/3 = 10/7 = 1 3/7. д) 1 2/3 + 4/9 = 1 6/9 + 4/9 = 1 10/9 = 2 1/9 = 19/9; x = 9/38 · 19/9 = 1/2. е) 8 1/2 – 7 1/4 = 8 2/4 – 7 1/4 = 1 1/4 = 5/4; x = 5/12 : 5/4 = 5/12 · 4/5 = 1/3. Ответ: а) 15/16; б) 4 2/3; в) 4/7; г) 1 3/7; д) 1/2; е) 1/3.
1.154. Нарисуйте треугольник: а) прямоугольный; б) остроугольный; в) тупоугольный; г) равносторонний; д) равнобедренный; е) разносторонний; ж) тупоугольный и равнобедренный; з) остроугольный и равнобедренный; и) прямоугольный и равнобедренный.
Примеры на рисунке. а) Один угол прямой (отмечен квадратиком). б) Все три угла острые. в) Один угол тупой. г) Три равные стороны. д) Две равные стороны (две боковые стороны равны, основание чуть длиннее). е) Все стороны разной длины. ж) Равнобедренный с большим углом при вершине (больше 90°). з) Равнобедренный, у которого все углы меньше 90°. и) Равнобедренный с прямым углом при вершине — катеты равны, острые углы по 45°.
1.155. Используя линейку и транспортир, постройте треугольник MNK, у которого: а) угол M равен 90°, сторона MN равна 7 см и MK равна 5 см; б) угол M равен 60°, а стороны MN и MK равны по 6 см; в) угол M равен 135°, а стороны MN и MK равны по 4 см. Определите вид треугольников.
Для каждого случая строим угол M транспортиром, откладываем на сторонах отрезки MN и MK и соединяем N и K. а) ∠M = 90°, стороны 7 и 5 см (NK ≈ 8,6 см): прямоугольный, разносторонний. б) ∠M = 60°, MN = MK = 6 см: углы при N и K тоже по 60°, NK = 6 см — равносторонний (остроугольный). в) ∠M = 135°, MN = MK = 4 см: углы при N и K по 22,5°, NK ≈ 7,4 см — тупоугольный равнобедренный. Оговорка: на рисунке размеры уменьшены.