4. Виды треугольников — с. 33
Вопросы к п. 4.
Назовите виды треугольников при классификации их по углам. Назовите виды треугольников при классификации их по сторонам. Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними?
Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам?
По углам: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой), тупоугольные (один угол тупой). По сторонам: равносторонние (все три стороны равны), равнобедренные (только две стороны равны), разносторонние (все стороны разной длины). По двум сторонам и углу между ними: строим угол (транспортиром), на его сторонах от вершины откладываем линейкой отрезки заданной длины и соединяем их концы. По стороне и двум прилежащим к ней углам: строим отрезок заданной длины, от его концов транспортиром откладываем заданные углы и продлеваем стороны углов до пересечения — точка пересечения станет третьей вершиной.
1.134. На рисунке 1.16 изображены треугольники. а) Используя чертёжный треугольник, определите и запишите виды треугольников по углам. б) Используя линейку, определите и запишите виды треугольников по сторонам. в) По результатам, полученным в пунктах а) и б), заполните таблицу на с. 34.
Углы и стороны определены измерением по рисунку (с точностью до нескольких градусов и миллиметров). а) По углам: прямоугольные — 1 (угол ≈ 90°) и 7 (≈ 90°); тупоугольные — 2 (≈ 120°) и 5 (≈ 120°); остроугольные — 3, 4 и 6. б) По сторонам: равносторонний — 3 (стороны равны, углы по 60°); равнобедренные — 4 (две длинные стороны равны), 5 (две стороны равны, угол между ними 120°) и 7 (катеты равны, углы 45°, 45°, 90°); разносторонние — 1, 2 и 6. в) Таблица: прямоугольный разносторонний — 1; прямоугольный равнобедренный — 7; тупоугольный разносторонний — 2; тупоугольный равнобедренный — 5; остроугольный разносторонний — 6; остроугольный равнобедренный — 4; остроугольный равносторонний — 3. Клетки «прямоугольный равносторонний» и «тупоугольный равносторонний» пустые: у равностороннего треугольника все углы по 60°. Оговорка: нумерация треугольников и измерение — по скану, возможна погрешность в несколько градусов.
1.135. Используя линейку и транспортир, постройте треугольник ABC, у которого: а) угол A равен 60°, а стороны AB и AC равны по 4 см; б) угол A прямой, а стороны AB и AC равны по 5 см; в) угол A равен 120°, а стороны AB и AC равны по 4 см. Какой треугольник построен?
Измерьте транспортиром его углы B и C. Какое можно сделать предположение об углах при основании равнобедренного треугольника?
Построение: чертим угол A заданной величины, на его сторонах откладываем AB и AC и соединяем B и C. Во всех трёх случаях AB = AC, значит, треугольники равнобедренные. а) ∠A = 60°, ∠B = ∠C = 60° (измерение), BC = 4 см — получился равносторонний (остроугольный) треугольник. б) ∠A = 90°, ∠B = ∠C = 45°, BC ≈ 7,1 см — прямоугольный равнобедренный треугольник. в) ∠A = 120°, ∠B = ∠C = 30°, BC ≈ 6,9 см — тупоугольный равнобедренный треугольник. Предположение: углы при основании равнобедренного треугольника равны. (Проверка: 60° + 60° + 60° = 180°; 90° + 45° + 45° = 180°; 120° + 30° + 30° = 180°.) Оговорка: на рисунке размеры уменьшены.
1.136. а) Используя линейку и циркуль, постройте по алгоритму треугольник ABC, у которого сторона AB равна 5 см, сторона AC — 3 см и сторона BC — 4 см. 1. Начертите отрезок AB, равный 5 см. 2. Проведите окружность с центром в точке A и радиусом 3 см. 3. Проведите окружность с центром в точке B и радиусом 4 см. 4. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой C.
5. Проведите отрезки AC и BC. б) Измерьте транспортиром угол C треугольника. Какой треугольник построен? в) Используя линейку и циркуль, постройте по алгоритму равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 6 см.
а) Выполняем пять шагов алгоритма: точка C — любая из двух точек пересечения окружностей, она одинаково удалена: от A на 3 см, от B на 4 см (рисунок). б) Транспортир показывает ∠C = 90°. Построен прямоугольный разносторонний треугольник (стороны 3, 4, 5 см; 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²). в) Чертим отрезок AB = 6 см, затем две окружности радиуса 6 см с центрами A и B; одну из точек их пересечения обозначаем C и проводим AC и BC. Тогда AC = AB = 6 см и BC = AB = 6 см — все три стороны равны, треугольник равносторонний, углы по 60°.
1.137. а) Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 см, а боковые стороны равны по 5 см. б) Постройте равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 см, а боковые стороны равны по 6 см. в) Можно ли построить равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 см, а боковые стороны равны по 2 см?
Сделайте предположение: «Сумма любых двух сторон треугольника … третьей стороны».
а) Чертим основание AB = 4 см, циркулем из A и из B проводим окружности радиуса 5 см, точку их пересечения обозначаем C; ABC — искомый треугольник. б) Так же, но радиусы 6 см: треугольник тоже получается (он «выше»). в) Окружности радиуса 2 см с центрами A и B, где AB = 4 см, касаются в середине отрезка AB: общей точки вне отрезка нет, треугольник не получается (точка C лежала бы на самом отрезке AB). Предположение: сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны (в случае в) 2 + 2 = 4, а нужно больше 4).