3. Представление числовой информации в круговых диаграммах (упражнения 1.112–1.121) — с. 30
1.112. а) Постройте угол MNK, градусная мера которого равна 60°. На сторонах угла отложите равные отрезки NB и NC и соедините отрезком точки B и C. б) Измерьте стороны и углы треугольника CNB и сравните его стороны и углы. в) Найдите сумму углов и периметр треугольника наиболее удобным способом.
а) Чертим луч NM, транспортиром откладываем угол 60° и проводим луч NK. На сторонах откладываем равные отрезки, например NB = NC = 3 см, и соединяем B и C. б) Измерения показывают: BC тоже равен 3 см, а углы B и C равны по 60° (с точностью измерения). Все три стороны равны, все три угла равны — треугольник равносторонний. в) Сумма углов: 60° · 3 = 180°. Периметр: достаточно умножить сторону на 3: 3 · 3 = 9 (см). Оговорка: длину равных отрезков можно выбрать любой; в примере 3 см.
1.113. Масса масла составляет 4,8 % массы молока. Сколько коров необходимо для получения 6 т масла за 10 дней, если каждая корова даёт в среднем 20 кг молока в день?
6 т = 6000 кг масла — это 4,8 % молока. Молока нужно: 6000 : 0,048 = 125 000 (кг). За 10 дней одна корова даёт 20 · 10 = 200 (кг). Коров: 125 000 : 200 = 625. Ответ: 625 коров.
1.114. Практическая работа. Оборудование: линейка, карандаш, циркуль, транспортир.
1. Проведите окружность и её диаметр AB.
2. На окружности отметьте точки K, L, M и N.
3. Соедините точки K, L, M и N с точками A и B.
4. Измерьте углы AKB, ALB, AMB и ANB. Сделайте предположение о величине этих углов.
5. Ответьте на вопрос: «Как построить прямой угол, имея только линейку и циркуль?»
Выполнение: циркулем чертим окружность, линейкой проводим диаметр AB (через центр), ставим на окружности произвольные точки K, L, M, N (по обе стороны от диаметра) и соединяем каждую с A и B (рисунок). Измерение транспортиром показывает: ∠AKB = ∠ALB = ∠AMB = ∠ANB = 90° (с точностью измерения). Предположение: угол, опирающийся на диаметр, — прямой, где бы на окружности ни лежала его вершина. Ответ на вопрос: чтобы построить прямой угол циркулем и линейкой, чертим окружность, проводим через её центр диаметр AB, берём на окружности любую точку K (не A и не B) и соединяем её с A и B — угол AKB прямой.
1.115. Практическая работа. Оборудование: циркуль, линейка, карандаш, транспортир.
1. Проведите окружность с центром O и её диаметр CD.
2. Используя транспортир, разделите оба развёрнутых угла COD на три равных угла. Отметьте точки пересечения сторон углов с окружностью буквами C, A, B, D, M и N. Сколько получилось равных частей в круге?
3. Соедините отрезками точки C, A, B, D, M и N. Как называется этот многоугольник?
4. Сравните стороны многоугольника и радиус круга. Сделайте предположение.
2) Развёрнутый угол 180° делим на три части: 180° : 3 = 60°. Откладываем от OC лучи под 60° и 120° (точки A и B на одной половине окружности), так же на другой половине (точки N и M). Получилось 360° : 60° = 6 равных частей (секторов) круга.
3. Соединяем C, A, B, D, N, M — получился правильный шестиугольник (6 равных сторон и 6 равных углов).
4. Каждый треугольник COA, AOB и т. д. имеет две стороны по радиусу и угол 60° между ними, значит, он равносторонний, и сторона шестиугольника равна радиусу окружности. Предположение: сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна её радиусу (поэтому шестиугольник строят, откладывая циркулем радиус 6 раз). Оговорка: проверка длин — измерением линейкой.
1.116. Постройте развёрнутый угол POT и проведите луч OS. Чему равны углы POS и SOT, если: а) угол POS вдвое меньше угла SOT; б) угол POS на 80° больше угла SOT; в) угол SOT в 5 раз больше угла POS?
∠POS + ∠SOT = 180° (развёрнутый угол). а) Пусть ∠POS = x, тогда ∠SOT = 2x: 3x = 180°, x = 60°. ∠POS = 60°, ∠SOT = 120°. б) Пусть ∠SOT = y, ∠POS = y + 80°: 2y + 80° = 180°, y = 50°. ∠POS = 130°, ∠SOT = 50°. в) ∠POS = x, ∠SOT = 5x: 6x = 180°, x = 30°. ∠POS = 30°, ∠SOT = 150°.
1.117. Внутри прямого угла ABC проведён луч BD. Чему равны углы ABD и DBC, если: а) угол ABD в 4 раза меньше угла DBC; б) угол DBC больше угла ABD на 32°; в) угол ABD в 8 раз больше угла DBC?
∠ABD + ∠DBC = 90°. а) ∠ABD = x, ∠DBC = 4x: 5x = 90°, x = 18°. ∠ABD = 18°, ∠DBC = 72°. б) ∠ABD = x, ∠DBC = x + 32°: 2x + 32° = 90°, x = 29°. ∠ABD = 29°, ∠DBC = 61°. в) ∠DBC = x, ∠ABD = 8x: 9x = 90°, x = 10°. ∠DBC = 10°, ∠ABD = 80°.
1.118. Вычислите 6 %, 12 %, 24 %, 30 %, 60 % от числа 420. Предложите разные способы решения этой задачи.
Способ 1: найти 1 %: 420 : 100 = 4,2 и умножить на число процентов: 6 % — 25,2; 12 % — 50,4; 24 % — 100,8; 30 % — 126; 60 % — 252. Способ 2: умножить 420 на десятичную дробь: 420 · 0,06 = 25,2; 420 · 0,12 = 50,4 и т. д. Способ 3: найти 6 % (25,2) и удваивать: 12 % = 25,2 · 2 = 50,4; 24 % = 50,4 · 2 = 100,8; 30 % = 25,2 · 5 = 126; 60 % = 126 · 2 = 252. Ответ: 25,2; 50,4; 100,8; 126; 252.
1.119. Вычислите 1 %, 15 %, 25 %, 30 %, 50 %, 75 %, 100 % от числа, если 3 % этого числа равны 15.
3 % — 15, значит, 1 % — 15 : 3 = 5. 15 % = 5 · 15 = 75; 25 % = 125; 30 % = 150; 50 % = 250; 75 % = 375; 100 % = 500 (само число). Ответ: 5; 75; 125; 150; 250; 375; 500.
1.120. Вместимость стадиона «Спартак» — 45 360 человек. а) Сколько человек посетило футбольный матч, если было занято 5 %; 10 %; 40 %; 65 % всех мест? б) На сколько процентов был заполнен стадион, если было занято 9072; 22 680; 38 556 мест?
а) 1 % мест: 45 360 : 100 = 453,6. 5 %: 45 360 · 0,05 = 2268; 10 %: 4536; 40 %: 18 144; 65 %: 29 484 человека. б) 9072 : 45 360 = 0,2 = 20 %; 22 680 : 45 360 = 0,5 = 50 %; 38 556 : 45 360 = 0,85 = 85 %. Ответ: а) 2268; 4536; 18 144; 29 484; б) 20 %; 50 %; 85 %.
1.121. а) На сколько процентов увеличилось число 90, если его увеличили на 45? б) На сколько процентов уменьшилось число 115, если его уменьшили на 23? в) На сколько процентов увеличилось число, если его увеличили в 4 раза? г) На сколько процентов уменьшилось число, если его уменьшили в 4 раза?
а) 45 : 90 = 0,5 = 50 %. б) 23 : 115 = 0,2 = 20 %. в) Число стало 4a, прибавка 4a – a = 3a, то есть 3a : a = 3 = 300 %. г) Число стало a/4, убыль a – a/4 = 3a/4, то есть 3/4 = 75 %. Ответ: а) на 50 %; б) на 20 %; в) на 300 %; г) на 75 %.