3. Представление числовой информации в круговых диаграммах (упражнения 1.102–1.121) — с. 29
1.102. Магнитный железняк содержит 0,7 чистого железа. Постройте круговую диаграмму распределения железа и пустой руды в магнитном железняке.
0,7 = 70 %. Сектор железа: 360° · 0,7 = 252°. Остальное — пустая руда: 100 % – 70 % = 30 %, то есть 360° – 252° = 108° (или 360° · 0,3 = 108°). Построение: чертим круг, радиус, откладываем транспортиром угол 252° (или 108°) и закрашиваем сектора разными цветами. Диаграмма на рисунке.
1.103. Вычислите (действия по порядку сверху вниз). а) 2 – 0,6; · 0,3; : 6; + 0,23. б) 7,5 · 10; : 50; : 5; · 0,4. в) 0,82 – 0,4; : 0,6; · 5; – 2,5. г) 0,25 · 2; · 0,6; + 3,7; : 10. д) 1,17 – 0,93; : 0,6; + 0,6; · 1,8.
а) 2 – 0,6 = 1,4; 1,4 · 0,3 = 0,42; 0,42 : 6 = 0,07; 0,07 + 0,23 = 0,3. б) 7,5 · 10 = 75; 75 : 50 = 1,5; 1,5 : 5 = 0,3; 0,3 · 0,4 = 0,12. в) 0,82 – 0,4 = 0,42; 0,42 : 0,6 = 0,7; 0,7 · 5 = 3,5; 3,5 – 2,5 = 1. г) 0,25 · 2 = 0,5; 0,5 · 0,6 = 0,3; 0,3 + 3,7 = 4; 4 : 10 = 0,4. д) 1,17 – 0,93 = 0,24; 0,24 : 0,6 = 0,4; 0,4 + 0,6 = 1; 1 · 1,8 = 1,8. Ответ: а) 0,3; б) 0,12; в) 1; г) 0,4; д) 1,8.
1.104. Вычислите: а) 50 % от 8 ц; 1 мин; 13 см; 180°; б) 10 % от 1 т; 5000 р.; 10 а; 1 л; 90°.
а) 50 % — половина: 8 ц : 2 = 4 ц; 1 мин : 2 = 30 с; 13 см : 2 = 6,5 см; 180° : 2 = 90°. б) 10 % — десятая часть: 1 т : 10 = 100 кг; 5000 р. : 10 = 500 р.; 10 а : 10 = 1 а; 1 л : 10 = 0,1 л = 100 мл; 90° : 10 = 9°.
1.105. Найдите, сколько процентов составляют: а) 8 г от 1 кг; б) 15 мин от 1 ч; в) 15 м от 1 км; г) 300 л от 1 м³; д) 25 см² от 1 м²; е) 3 см³ от 1 м³.
Переводим в одинаковые единицы и делим меньшее на большее. а) 8 г : 1000 г = 0,008 = 0,8 %. б) 15 мин : 60 мин = 0,25 = 25 %. в) 15 м : 1000 м = 0,015 = 1,5 %. г) 1 м³ = 1000 л; 300 : 1000 = 0,3 = 30 %. д) 1 м² = 10 000 см²; 25 : 10 000 = 0,0025 = 0,25 %. е) 1 м³ = 1 000 000 см³; 3 : 1 000 000 = 0,000003 = 0,0003 %.
1.106. Найдите число: а) 10 % которого равны 1; 10; 0,4; 1,8; б) 25 % которого равны 4; 15; 25; 1,6; 10,3; в) 1 % которого равен 1; 8; 0,3; 2,4; г) 0,2 % которого равны 4; 5; 0,8; 1,2.
а) 10 % — десятая часть, число в 10 раз больше: 10; 100; 4; 18. б) 25 % — четверть, число в 4 раза больше: 16; 60; 100; 6,4; 41,2. в) 1 % — сотая часть, число в 100 раз больше: 100; 800; 30; 240. г) 0,2 % — это 0,002, число в 500 раз больше (делим на 0,002): 2000; 2500; 400; 600.
1.107. Найдите значение выражения: а) 3 8/13 – 5/13 + (1 5/39 – 1/13); б) (1 2/3 – 1/6)² · 2 1/3 : 5/6.
а) 3 8/13 – 5/13 = 3 3/13 = 3 9/39. В скобках: 1 5/39 – 1/13 = 1 5/39 – 3/39 = 1 2/39. Сумма: 3 9/39 + 1 2/39 = 4 11/39. б) 1 2/3 – 1/6 = 1 4/6 – 1/6 = 1 3/6 = 1 1/2 = 3/2; (3/2)² = 9/4; 2 1/3 = 7/3; 9/4 · 7/3 = 21/4; 21/4 : 5/6 = 21/4 · 6/5 = 126/20 = 6,3. Ответ: а) 4 11/39; б) 6,3.
1.108. Решите уравнение: а) x + 5/18 = 11/36; б) 7/12 – x = 5/9; в) 9/16 · x = 3/8; г) x : 7/34 = 1/8.
а) x = 11/36 – 5/18 = 11/36 – 10/36 = 1/36. б) x = 7/12 – 5/9 = 21/36 – 20/36 = 1/36. в) x = 3/8 : 9/16 = 3/8 · 16/9 = 48/72 = 2/3. г) x = 1/8 · 7/34 = 7/272. Ответ: а) 1/36; б) 1/36; в) 2/3; г) 7/272.
1.109. Углы MNK и KND составляют развёрнутый угол. Каким является угол MNK, если угол KND: а) острый; б) тупой; в) прямой?
Сумма углов MNK и KND равна 180°, поэтому ∠MNK = 180° – ∠KND. а) Если ∠KND < 90°, то ∠MNK > 90° — тупой. б) Если ∠KND тупой (больше 90°), то ∠MNK меньше 90° — острый. в) Если ∠KND = 90°, то ∠MNK = 90° — прямой.
1.110. Верно ли, что: а) угол, меньший тупого, — острый; б) половина тупого угла — острый угол; в) угол, больший прямого, — тупой; г) сумма градусных мер острых углов больше 90°?
а) Неверно: угол, меньший тупого, может быть и прямым (90° < 100°), и даже тупым (95° < 120°). б) Верно: тупой угол между 90° и 180°, его половина между 45° и 90°, то есть острая. в) Неверно: угол больше прямого может быть развёрнутым (180°). г) Неверно: например, два острых угла 20° и 30° дают в сумме 50°. Ответ: верно только б).
1.111. Найдите градусную меру угла KOT на рисунке 1.10.
а) K, O, M лежат на одной прямой, ∠TOM = 115°, поэтому ∠KOT = 180° – 115° = 65°. б) ∠KOM = 90° (прямой), ∠TOM = 35°, поэтому ∠KOT = 90° – 35° = 55°. в) M, O, P на одной прямой; ∠MOK = 45° и ∠TOP = 30°, тогда ∠KOT = 180° – 45° – 30° = 105°. г) M, O, P на одной прямой; ∠KOP = 140° и ∠MOT = 130°. Эти углы перекрываются на угол KOT: 140° + 130° = 180° + ∠KOT, значит ∠KOT = 270° – 180° = 90°. Ответ: а) 65°; б) 55°; в) 105°; г) 90°. Оговорка: расположение дуг в г) определено по рисунку (140° — угол KOP, 130° — угол MOT); замер по рисунку даёт те же углы.