23. Длина окружности и площадь круга. Шар (упражнения 3.162–3.193) — с. 153
3.185. Вычислите длину окружности, если её радиус равен: 24 см; 0,31 дм; 147 км. Принять π = 3,14.
C = 2πr = 6,28 · r.
24 см: 6,28 · 24 = 150,72 см.
0,31 дм: 6,28 · 0,31 = 1,9468 дм.
147 км: 6,28 · 147 = 923,16 км.
Ответ: 150,72 см; 1,9468 дм; 923,16 км.
24 см: 6,28 · 24 = 150,72 см.
0,31 дм: 6,28 · 0,31 = 1,9468 дм.
147 км: 6,28 · 147 = 923,16 км.
Ответ: 150,72 см; 1,9468 дм; 923,16 км.
3.186. Радиус окружности увеличили на 2 см. На сколько увеличится длина окружности?
Было C₁ = 2πr, стало C₂ = 2π(r + 2) = 2πr + 4π. Разность 4π ≈ 4 · 3,14 = 12,56 см. Ответ: на 4π см, то есть примерно на 12,56 см.
3.187. За 2,5 мин колесо тепловоза сделало 750 оборотов. Найдите скорость тепловоза, если диаметр его колеса равен 120 см. Округлите ответ до десятых.
Длина окружности колеса: C = πd = 3,14 · 1,2 = 3,768 м. За 2,5 мин тепловоз прошёл 750 · 3,768 = 2826 м. Скорость: 2826 : 2,5 = 1130,4 м/мин = 1130,4 · 60 : 1000 = 67,824 км/ч ≈ 67,8 км/ч. Ответ: ≈ 67,8 км/ч.
3.188. Выполните измерения и вычислите площадь каждой закрашенной фигуры (рис. 3.54).
Берём π = 3,14.
а) Фигура — четверть круга. Измеряем радиус: r ≈ 1,5 см. S = πr² : 4 = 3,14 · 2,25 : 4 ≈ 1,77 см² ≈ 1,8 см².
б) Закрашена часть круга, оставшаяся после вырезания «креста». Измерения: радиус круга R ≈ 1,5 см; ширина перекладин креста 1 см, длина каждой перекладины около 2,8 см. Площадь круга: 3,14 · 1,5² ≈ 7,07 см². Площадь креста: две перекладины минус их общий квадрат: 2 · 1 · 2,8 − 1 · 1 = 4,6 см². Закрашено: 7,07 − 4,6 ≈ 2,5 см².
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника, ответы приблизительные (в б) разброс до 0,3 см²).
а) Фигура — четверть круга. Измеряем радиус: r ≈ 1,5 см. S = πr² : 4 = 3,14 · 2,25 : 4 ≈ 1,77 см² ≈ 1,8 см².
б) Закрашена часть круга, оставшаяся после вырезания «креста». Измерения: радиус круга R ≈ 1,5 см; ширина перекладин креста 1 см, длина каждой перекладины около 2,8 см. Площадь круга: 3,14 · 1,5² ≈ 7,07 см². Площадь креста: две перекладины минус их общий квадрат: 2 · 1 · 2,8 − 1 · 1 = 4,6 см². Закрашено: 7,07 − 4,6 ≈ 2,5 см².
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника, ответы приблизительные (в б) разброс до 0,3 см²).
3.189. Длина экватора Сатурна приблизительно равна 378,7 тыс. км. Чему равен радиус Сатурна?
(Результат округлите до сотен километров.)
C = 2πr, r = C : (2π) = 378 700 : 6,28 ≈ 60 302 км ≈ 60 300 км. Ответ: ≈ 60 300 км.
3.190. Экваториальный радиус Земли R приблизительно равен 6400 км, а радиус r окружности параллели на широте 60° — 3200 км. На сколько длина окружности экватора больше длины окружности шестидесятой параллели (рис. 3.55)?
Разность длин: 2πR − 2πr = 2π(R − r) = 2 · 3,14 · (6400 − 3200) = 6,28 · 3200 = 20 096 км. Ответ: примерно на 20 100 км (20 096 км).
3.191. Найдите площадь 3/8 круга, радиус которого равен 12 см.
Площадь круга: S = πr² = 3,14 · 144 = 452,16 см². 3/8 этой площади: 452,16 · 3/8 = 169,56 см². Ответ: 169,56 см².
3.192. Для перевозки зерна по суше используют вагоны-зерновозы и автозерновозы. Автозерновоз вмещает в 3,54 раза меньше зерна, чем вагон-зерновоз. Сколько тонн зерна вмещают автозерновоз и вагон-зерновоз, если в вагоне-зерновозе на 50,8 т зерна больше?
Пусть автозерновоз вмещает a т, тогда вагон — 3,54a. Разность: 3,54a − a = 2,54a = 50,8, a = 20 т. Вагон: 20 · 3,54 = 70,8 т. Ответ: 20 т и 70,8 т.
3.193. Выполните действия: а) (4,8 : 6 + 2 2/5 : 1,6) · 5,6; б) (426,3 : 0,21 − 10) · 0,4 − (41,7 · 1,71 + 48,693).
а) 4,8 : 6 = 0,8; 2 2/5 : 1,6 = 2,4 : 1,6 = 1,5; 0,8 + 1,5 = 2,3; 2,3 · 5,6 = 12,88.
б) 426,3 : 0,21 = 2030; 2030 − 10 = 2020; 2020 · 0,4 = 808; 41,7 · 1,71 = 71,307; 71,307 + 48,693 = 120; 808 − 120 = 688.
Ответ: а) 12,88; б) 688.
б) 426,3 : 0,21 = 2030; 2030 − 10 = 2020; 2020 · 0,4 = 808; 41,7 · 1,71 = 71,307; 71,307 + 48,693 = 120; 808 − 120 = 688.
Ответ: а) 12,88; б) 688.
Проверочная работа № 1 (п. 23). Выполните следующие задания, округлив число π до целых.
1. Найдите радиус окружности, если её диаметр равен 15 мм.
r = d : 2 = 15 : 2 = 7,5 мм. Ответ: 7,5 мм.
Проверочная работа № 1 (п. 23).
2. Найдите диаметр окружности, если её радиус равен 12,2 дм.
d = 2r = 2 · 12,2 = 24,4 дм. Ответ: 24,4 дм.
Проверочная работа № 1 (п. 23).
3. Найдите длину окружности, если её диаметр равен 6,5 см.
π ≈ 3. C = πd ≈ 3 · 6,5 = 19,5 см. Ответ: 19,5 см.
Проверочная работа № 1 (п. 23).
4. Найдите радиус окружности, если её длина равна 159 м.
C = 2πr, r = C : (2π) ≈ 159 : 6 = 26,5 м. Ответ: 26,5 м.
Проверочная работа № 1 (п. 23).
5. Найдите диаметр окружности, если её длина равна 258 дм.
d = C : π ≈ 258 : 3 = 86 дм. Ответ: 86 дм.
Проверочная работа № 1 (п. 23).
6. Найдите площадь круга, если его радиус равен 7 см.
S = πr² ≈ 3 · 7² = 3 · 49 = 147 см². Ответ: 147 см².
Проверочная работа № 1 (п. 23).
7. Найдите площадь круга, если его диаметр равен 5 м.
r = 5 : 2 = 2,5 м. S = πr² ≈ 3 · 6,25 = 18,75 м². Ответ: 18,75 м².
Проверочная работа № 2 (п. 23). К Новому году ребята решили сделать открытку со снеговиком. Для этого необходимо вырезать из картона 3 круглые заготовки, у которых радиусы равны: 5 см, 3 см и 1,5 см. Каждую заготовку нужно покрыть художественным глиттером (блёстками) и обклеить по контуру блестящим шнуром.
1. Для расчёта материалов определите длину окружности и площадь каждой заготовки и заполните таблицу. Принять π = 3,14. (Заготовки: I круг — r = 5 см; II круг и III круг — радиусы 3 см и 1,5 см.)
C = 2πr, S = πr², π = 3,14.
I круг, r = 5 см: C = 6,28 · 5 = 31,4 см; S = 3,14 · 25 = 78,5 см².
II круг, r = 3 см: C = 6,28 · 3 = 18,84 см; S = 3,14 · 9 = 28,26 см².
III круг, r = 1,5 см: C = 6,28 · 1,5 = 9,42 см; S = 3,14 · 2,25 = 7,065 см² ≈ 7,07 см².
I круг, r = 5 см: C = 6,28 · 5 = 31,4 см; S = 3,14 · 25 = 78,5 см².
II круг, r = 3 см: C = 6,28 · 3 = 18,84 см; S = 3,14 · 9 = 28,26 см².
III круг, r = 1,5 см: C = 6,28 · 1,5 = 9,42 см; S = 3,14 · 2,25 = 7,065 см² ≈ 7,07 см².