23. Длина окружности и площадь круга. Шар (упражнения 3.162–3.193) — с. 151
3.166. Найдите диаметры окружностей, если их длины равны 59,66 м и 40,82 дм. Принять π = 3,14.
d = C : π.
59,66 : 3,14 = 19 м.
40,82 : 3,14 = 13 дм.
Ответ: 19 м; 13 дм.
59,66 : 3,14 = 19 м.
40,82 : 3,14 = 13 дм.
Ответ: 19 м; 13 дм.
3.167. Велосипедист проехал 439,6 м, при этом переднее колесо велосипеда сделало 200 оборотов. Найдите диаметр колеса. Результат округлите до сотых метра. Принять π = 3,14.
За один оборот колесо проходит путь, равный длине окружности: C = 439,6 : 200 = 2,198 м. Диаметр: d = C : π = 2,198 : 3,14 = 0,7 м. Ответ: 0,70 м (70 см).
3.168. а) На рисунке 3.49 изображена половина окружности. Сделайте необходимые измерения и найдите длину полуокружности. б) Измерьте радиус каждой окружности и вычислите площадь кольца (рис. 3.50).
а) Измеряем линейкой расстояние между концами дуги — это диаметр: d ≈ 4,4 см. Длина полуокружности l = πd : 2 ≈ 3,14 · 4,4 : 2 ≈ 6,9 см.
б) Измерения: радиус внешней окружности R ≈ 2,2 см, внутренней r ≈ 1,1 см. Площадь кольца S = πR² − πr² = π(R² − r²) ≈ 3,14 · (4,84 − 1,21) = 3,14 · 3,63 ≈ 11,4 см².
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника, у вас могут получиться значения, отличающиеся на 1–2 мм; тогда ответ изменится в пределах 0,3 см (для а) и 0,5 см² (для б).
б) Измерения: радиус внешней окружности R ≈ 2,2 см, внутренней r ≈ 1,1 см. Площадь кольца S = πR² − πr² = π(R² − r²) ≈ 3,14 · (4,84 − 1,21) = 3,14 · 3,63 ≈ 11,4 см².
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника, у вас могут получиться значения, отличающиеся на 1–2 мм; тогда ответ изменится в пределах 0,3 см (для а) и 0,5 см² (для б).
3.169. Диаметр увеличили на 4 дм. На сколько увеличилась длина окружности?
Было C₁ = πd, стало C₂ = π(d + 4) = πd + 4π. Разность C₂ − C₁ = 4π ≈ 4 · 3,14 = 12,56 дм ≈ 12,6 дм. Ответ: на 4π дм, то есть ≈ 12,6 дм (не зависит от первоначального диаметра).
3.170. В Древнем Риме цирк был местом проведения конных скачек и соревнований колесниц. Круп лошади, бегущей по манежу, должен быть под одним и тем же углом по отношению к центру манежа. Это было возможно при длине окружности 40,8 м. Поэтому такой размер манежа принят во всём мире. Найдите диаметр и площадь арены. Принять π = 3.
C = πd, d = 40,8 : 3 = 13,6 м. Радиус r = 6,8 м. Площадь S = πr² = 3 · 6,8² = 3 · 46,24 = 138,72 м². Ответ: диаметр 13,6 м, площадь 138,72 м².
3.171. а) Площадь циферблата кремлёвских курантов приблизительно равна 29,21 м² (рис. 3.51). Найдите радиус циферблата. б) Длина минутной стрелки от центра курантов равна 2,54 м. Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час?
Ответы округлите до сотых долей метра.
Берём π = 3,14.
а) S = πr², r² = 29,21 : 3,14 = 9,3025, r = 3,05 м.
б) За час конец минутной стрелки делает полный оборот и проходит путь, равный длине окружности радиуса 2,54 м: C = 2πr = 2 · 3,14 · 2,54 = 15,9512 ≈ 15,95 м.
Ответ: а) 3,05 м; б) ≈ 15,95 м.
а) S = πr², r² = 29,21 : 3,14 = 9,3025, r = 3,05 м.
б) За час конец минутной стрелки делает полный оборот и проходит путь, равный длине окружности радиуса 2,54 м: C = 2πr = 2 · 3,14 · 2,54 = 15,9512 ≈ 15,95 м.
Ответ: а) 3,05 м; б) ≈ 15,95 м.
3.172. Сделайте необходимые измерения и вычислите площади закрашенных фигур, изображённых на рисунке 3.52.
Берём π = 3,14.
Левая фигура — большой полукруг без двух полукругов. Измерения: диаметр большого полукруга 5 см (R = 2,5 см), диаметры малых полукругов по 2,5 см (r = 1,25 см). Площадь: πR²/2 − 2 · πr²/2 = π · 3,125 − π · 1,5625 = π · 1,5625 ≈ 4,9 см².
Правая фигура — прямоугольник 3 см × 5 см без двух полукругов радиуса 1 см (вместе они составляют один круг). Площадь: 3 · 5 − π · 1² = 15 − 3,14 = 11,86 ≈ 11,9 см².
Ответ: ≈ 4,9 см² и ≈ 11,9 см².
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника.
Левая фигура — большой полукруг без двух полукругов. Измерения: диаметр большого полукруга 5 см (R = 2,5 см), диаметры малых полукругов по 2,5 см (r = 1,25 см). Площадь: πR²/2 − 2 · πr²/2 = π · 3,125 − π · 1,5625 = π · 1,5625 ≈ 4,9 см².
Правая фигура — прямоугольник 3 см × 5 см без двух полукругов радиуса 1 см (вместе они составляют один круг). Площадь: 3 · 5 − π · 1² = 15 − 3,14 = 11,86 ≈ 11,9 см².
Ответ: ≈ 4,9 см² и ≈ 11,9 см².
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника.
3.173. На сколько площадь пятиугольника KADLM (рис. 3.53) меньше площади четверти круга, радиус MK которого равен 5 см?
По клеткам (клетка 1 см) вершины, считая от точки M вправо и вверх: K(0; 5), A(3; 4), D(4; 3), L(5; 0), M(0; 0). Площадь пятиугольника находим по формуле Гаусса: ½ · |0·4 − 3·5 + 3·3 − 4·4 + 4·0 − 5·3 + 0 + 0| = ½ · 37 = 18,5 см². Площадь четверти круга: πr² : 4 = 3,14 · 25 : 4 = 19,625 см². Разность: 19,625 − 18,5 = 1,125 ≈ 1,1 см². Ответ: примерно на 1,1 см² (на 1,125 см²).