22. Симметрии (упражнения 3.128–3.161) — с. 148
3.154. Симметричны ли на фотографии крылья бабочки (рис. 3.40)?
Если да, то как расположена ось симметрии?
Да, крылья бабочки симметричны: правое отражает левое по узору и форме. Ось симметрии проходит вдоль тела бабочки (через голову и брюшко), разделяя её на левую и правую половины.
3.155. Изображение какого цветка на фотографии (рис. 3.41) симметрично?
Какой вид симметрии можно предполагать?
Симметричным можно считать изображение правого цветка (он снят сверху, виден шестилепестковый венчик): лепестки расположены одинаково по обе стороны от оси, проходящей через цветок. Можно предполагать осевую симметрию (несколько осей, проходящих через центр цветка); поскольку лепестков шесть, есть и центральная симметрия относительно середины цветка. Левый цветок снят под углом, поэтому его изображение симметрично лишь приблизительно.
Оговорка: ответ дан по фотографии, точность зависит от ракурса.
Оговорка: ответ дан по фотографии, точность зависит от ракурса.
3.156. Изобразите рисунок 3.42 в тетради. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC: а) относительно прямой n; б) относительно вершины A.
Считаем клетки: A (1 клетка вправо, 6 вниз), B (4; 2), C (7; 8). Прямая n идёт по диагоналям клеток.
а) Симметрия относительно диагональной прямой меняет «шаг вправо» и «шаг вниз» местами: из точки опускаем перпендикуляр на n (по диагонали клетки в другую сторону) и откладываем то же число диагоналей. Получаем A′ (9; −2), B′ (5; 1), C′ (11; 4). Соединяем: треугольник A′B′C′ (рисунок).
а) Симметрия относительно диагональной прямой меняет «шаг вправо» и «шаг вниз» местами: из точки опускаем перпендикуляр на n (по диагонали клетки в другую сторону) и откладываем то же число диагоналей. Получаем A′ (9; −2), B′ (5; 1), C′ (11; 4). Соединяем: треугольник A′B′C′ (рисунок).
3.156 (продолжение). б) Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно вершины A.
Точка A — центр симметрии, остаётся на месте. От A до B — 3 клетки вправо и 4 вверх, значит, B′ — 3 клетки влево и 4 вниз от A: B′ (−2; 10). От A до C — 6 клеток вправо и 2 вниз, значит, C′ — 6 клеток влево и 2 вверх от A: C′ (−5; 4). Соединяем A, B′, C′ (рисунок).
3.157. Начертите треугольник MNT. Постройте треугольник, симметричный треугольнику MNT: а) относительно прямой MN; б) относительно вершины N.
а) Вершины M и N лежат на оси MN и остаются на месте. Из вершины T опускаем перпендикуляр на прямую MN и продолжаем его за прямую на такое же расстояние: точка T′. Треугольник MNT′ симметричен треугольнику MNT.
б) Центр симметрии N. Продолжаем лучи MN и TN за точку N и откладываем NM′ = NM, NT′ = NT. Треугольник M′NT′ симметричен треугольнику MNT относительно N (рисунок).
б) Центр симметрии N. Продолжаем лучи MN и TN за точку N и откладываем NM′ = NM, NT′ = NT. Треугольник M′NT′ симметричен треугольнику MNT относительно N (рисунок).
3.158. Рассмотрите изображение мечети в городе Грозном (рис. 3.43). Симметрично ли оно?
Если да, то как расположена ось симметрии этого изображения?
Да, изображение симметрично: слева и справа расположены одинаковые минареты (два высоких по краям и два малых рядом с центральной частью) и симметричные части здания. Ось симметрии вертикальна и проходит через вершину центрального купола посередине здания (между парами минаретов).
3.159. За 4 ч из трубы наполнилось 3/14 бассейна. За какое время из этой трубы наполнится 14/15 бассейна?
Время прямо пропорционально наполненной части. 4 : x = 3/14 : 14/15, x = 4 · 14/15 : 3/14 = 4 · 14/15 · 14/3 = 784/45 = 17 19/45 ч ≈ 17 ч 25 мин. Ответ: 17 19/45 ч (примерно 17 ч 25 мин).
3.160. Отношение высот вулканов Пичинча и Котопахи равно 47 : 59, а Оризаба и Котопахи — 56 2/5 :
59. Найдите высоту каждого вулкана, если Пичинча ниже Котопахи на 1200 м. Ответы округлите до десятков метров.
Котопахи — 59 частей, Пичинча — 47 частей, разность 59 − 47 = 12 частей = 1200 м, одна часть 100 м. Котопахи: 59 · 100 = 5900 м. Пичинча: 47 · 100 = 4700 м. Оризаба: 56 2/5 · 100 = 5640 м. Ответ: Пичинча 4700 м, Оризаба 5640 м, Котопахи 5900 м.
3.161. Решите уравнение: а) 3 2/3 : a = 4 8/9 : 1 5/7; б) 1 7/8 : 2 1/3 = 3 3/4 : b; в) 8 1/4 : c = 13 3/4 : 2 1/3; г) 5 2/3 : 2 5/6 = 2 1/7 : d.
а) 4 8/9 : 1 5/7 = 44/9 · 7/12 = 77/27; a = 3 2/3 : 77/27 = 11/3 · 27/77 = 9/7 = 1 2/7.
б) 1 7/8 : 2 1/3 = 15/8 · 3/7 = 45/56; b = 3 3/4 : 45/56 = 15/4 · 56/45 = 14/3 = 4 2/3.
в) 13 3/4 : 2 1/3 = 55/4 · 3/7 = 165/28; c = 8 1/4 : 165/28 = 33/4 · 28/165 = 7/5 = 1 2/5.
г) 5 2/3 : 2 5/6 = 17/3 · 6/17 = 2; d = 2 1/7 : 2 = 15/7 · 1/2 = 15/14 = 1 1/14.
Ответ: а) 1 2/7; б) 4 2/3; в) 1 2/5; г) 1 1/14.
б) 1 7/8 : 2 1/3 = 15/8 · 3/7 = 45/56; b = 3 3/4 : 45/56 = 15/4 · 56/45 = 14/3 = 4 2/3.
в) 13 3/4 : 2 1/3 = 55/4 · 3/7 = 165/28; c = 8 1/4 : 165/28 = 33/4 · 28/165 = 7/5 = 1 2/5.
г) 5 2/3 : 2 5/6 = 17/3 · 6/17 = 2; d = 2 1/7 : 2 = 15/7 · 1/2 = 15/14 = 1 1/14.
Ответ: а) 1 2/7; б) 4 2/3; в) 1 2/5; г) 1 1/14.