22. Симметрии (упражнения 3.128–3.161) — с. 147
3.145. Решите задачу, составив пропорцию:
1. В 3,6 кг риса содержится 2,7 кг крахмала. Сколько крахмала содержится в 2,2 кг риса?
2. В 4,5 т сахарной свёклы содержится 2,9 т сахара. Сколько сахара содержится в 11,7 т сахарной свёклы?
Масса крахмала (сахара) прямо пропорциональна массе риса (свёклы).
1) 3,6 : 2,2 = 2,7 : x, x = 2,2 · 2,7 : 3,6 = 1,65 кг.
2) 4,5 : 11,7 = 2,9 : x, x = 11,7 · 2,9 : 4,5 = 7,54 т.
Ответ: 1) 1,65 кг; 2) 7,54 т.
1) 3,6 : 2,2 = 2,7 : x, x = 2,2 · 2,7 : 3,6 = 1,65 кг.
2) 4,5 : 11,7 = 2,9 : x, x = 11,7 · 2,9 : 4,5 = 7,54 т.
Ответ: 1) 1,65 кг; 2) 7,54 т.
3.146. Вычислите: 1) 2 1/4 · 2³; 2) 3 1/5 : 2⁴; 3) 4,42 + (2,5)³; 4) 30 − (3,6)²; 5) 3³ · (1 1/3)²;
6. (3 3/4)² : (1 1/4)³.
1) 9/4 · 8 = 18.
2) 16/5 : 16 = 1/5.
3) (2,5)³ = 15,625; 4,42 + 15,625 = 20,045.
4) (3,6)² = 12,96; 30 − 12,96 = 17,04.
5) 27 · (4/3)² = 27 · 16/9 = 48.
6) (15/4)² : (5/4)³ = 225/16 · 64/125 = 36/5 = 7 1/5.
Ответ: 1) 18; 2) 1/5; 3) 20,045; 4) 17,04; 5) 48; 6) 7 1/5.
2) 16/5 : 16 = 1/5.
3) (2,5)³ = 15,625; 4,42 + 15,625 = 20,045.
4) (3,6)² = 12,96; 30 − 12,96 = 17,04.
5) 27 · (4/3)² = 27 · 16/9 = 48.
6) (15/4)² : (5/4)³ = 225/16 · 64/125 = 36/5 = 7 1/5.
Ответ: 1) 18; 2) 1/5; 3) 20,045; 4) 17,04; 5) 48; 6) 7 1/5.
3.147. Определите по плану (рис. 3.36) размеры двухкомнатной квартиры. Найдите размеры кухни (К), лоджии (Л) и каждой комнаты (I и II), если масштаб плана 1 : 200.
Масштаб 1 : 200: 1 см на плане — 200 см = 2 м на местности. Измеряем линейкой стороны помещений на плане (в сантиметрах) и умножаем на 2 м. По рисунку получаем примерно:
кухня К — 1,4 см × 1,3 см, то есть около 2,7 м × 2,6 м;
комната I — 1,2 см × 1,85 см, около 2,4 м × 3,7 м;
комната II — 1,85 см × 2,4 см, около 3,7 м × 4,8 м;
лоджия Л — 1,85 см × 0,4 см, около 3,7 м × 0,8 м.
Вся квартира примерно 9,5 м × 6,5 м.
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника и зависят от точности измерения, поэтому у вас могут получиться значения на 0,1–0,3 м иные.
кухня К — 1,4 см × 1,3 см, то есть около 2,7 м × 2,6 м;
комната I — 1,2 см × 1,85 см, около 2,4 м × 3,7 м;
комната II — 1,85 см × 2,4 см, около 3,7 м × 4,8 м;
лоджия Л — 1,85 см × 0,4 см, около 3,7 м × 0,8 м.
Вся квартира примерно 9,5 м × 6,5 м.
Оговорка: размеры сняты по рисунку учебника и зависят от точности измерения, поэтому у вас могут получиться значения на 0,1–0,3 м иные.
3.148. а) Какие из букв на рисунке 3.37 имеют вертикальную ось симметрии, какие имеют горизонтальную ось симметрии, какие имеют и вертикальную, и горизонтальную оси симметрии? б) Какие из нарисованных букв не имеют осей симметрии? в) Какие буквы имеют центр симметрии?
Буквы: А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т Ф Х.
Ответ зависит от начертания букв; для печатных букв рисунка получаем:
а) только вертикальная ось: А, Д, Л, М, П, Т; только горизонтальная ось: В, Е, З, К, С; и вертикальная, и горизонтальная: Ж, Н, О, Ф, Х.
б) осей симметрии нет у букв Б, Г, И, Р.
в) центр симметрии есть у букв Ж, Н, О, Ф, Х (там, где две оси симметрии, их пересечение — центр) и И (оси нет, но при повороте на 180° буква переходит в себя).
Оговорка: для некоторых букв (Д, З, Л) наличие оси зависит от шрифта; в ответе принято идеальное начертание.
а) только вертикальная ось: А, Д, Л, М, П, Т; только горизонтальная ось: В, Е, З, К, С; и вертикальная, и горизонтальная: Ж, Н, О, Ф, Х.
б) осей симметрии нет у букв Б, Г, И, Р.
в) центр симметрии есть у букв Ж, Н, О, Ф, Х (там, где две оси симметрии, их пересечение — центр) и И (оси нет, но при повороте на 180° буква переходит в себя).
Оговорка: для некоторых букв (Д, З, Л) наличие оси зависит от шрифта; в ответе принято идеальное начертание.
3.149. Проведите на листе бумаги отрезок AB и разделите его пополам с помощью линейки. Проверьте правильность результата с помощью перегибания листа бумаги.
Проводим отрезок AB, измеряем его длину (например, 8 см) и на расстоянии, равном половине длины (4 см), от точки A отмечаем точку O. Чтобы проверить, перегибаем лист так, чтобы точка A совпала с точкой B. Линия сгиба пройдёт через точку O (и будет перпендикулярна AB): значит, AO = OB, и точка O — середина отрезка.
3.150. Изобразите рисунок 3.38 в тетради. Постройте фигуру, симметричную данной области относительно прямой m.
Клетки считаем от прямой m. Область состоит из двух прямоугольников: нижнего (от 1-й до 10-й клетки по горизонтали, на 2–5 клеток вниз от прямой m) и верхнего (от 8-й до 10-й клетки по горизонтали, на 0–2 клетки вниз от прямой, он касается прямой m). Каждую вершину переносим на такое же число клеток вверх от прямой m (по линиям сетки), сохраняя положение по горизонтали, и соединяем. Получается такая же область, расположенная над прямой m (рисунок).
3.151. Начертите прямоугольник ABCD и постройте с помощью линейки его оси симметрии.
У прямоугольника, не являющегося квадратом, две оси симметрии: это прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Измеряем линейкой стороны, отмечаем их середины (или находим перегибанием) и соединяем середины противоположных сторон прямыми. Диагонали осями симметрии не являются (рисунок).
3.152. Вырежьте какую-либо фигуру из сложенного вдвое листа бумаги. Разверните лист и рассмотрите фигуру, симметричную относительно линии сгиба.
Практическое задание. Сложив лист пополам и вырезав из него фигуру, мы получаем после разворачивания фигуру из двух половинок, симметричных друг другу относительно линии сгиба: каждой точке одной половинки соответствует точка другой на том же перпендикуляре к сгибу и на таком же расстоянии от него. Линия сгиба — ось симметрии полученной фигуры (так вырезают снежинки и силуэты).
3.153. Симметричны ли фигуры, изображённые на рисунке 3.39, относительно данной прямой?
Проверяем перегибанием по прямой: фигуры должны совпасть.
а) Да. Справа — зеркальное отражение левой фигуры: круг с «палочкой» оказался слева (был справа), перегородка в прямоугольнике — справа (была слева), расстояния от прямой m до соответствующих точек равны.
б) Да. Нижняя ломаная — зеркальное отражение верхней относительно прямой k: у обеих по четыре зубца, горизонтальные «хвосты» на концах расположены на равных расстояниях от прямой k.
а) Да. Справа — зеркальное отражение левой фигуры: круг с «палочкой» оказался слева (был справа), перегородка в прямоугольнике — справа (была слева), расстояния от прямой m до соответствующих точек равны.
б) Да. Нижняя ломаная — зеркальное отражение верхней относительно прямой k: у обеих по четыре зубца, горизонтальные «хвосты» на концах расположены на равных расстояниях от прямой k.