22. Симметрии (упражнения 3.128–3.161) — с. 146
3.136. Могут ли пересекаться: а) два отрезка, симметричные относительно прямой; б) два центрально-симметричных отрезка?
Ответы проиллюстрируйте рисунком.
а) Да. Если отрезок пересекает ось, то и симметричный ему отрезок проходит через ту же точку оси (она симметрична сама себе); на рисунке отрезки пересекаются в точке M на оси.
б) Да. Если центр симметрии O лежит на самом отрезке, то симметричный ему отрезок лежит на той же прямой, и отрезки имеют общую часть. Если O не лежит на отрезке, то центрально-симметричные отрезки параллельны и не пересекаются.
б) Да. Если центр симметрии O лежит на самом отрезке, то симметричный ему отрезок лежит на той же прямой, и отрезки имеют общую часть. Если O не лежит на отрезке, то центрально-симметричные отрезки параллельны и не пересекаются.
3.137. На рисунке 3.34 изображена шахматная доска. Есть ли у поля шахматной доски оси симметрии; центр симметрии?
Квадратное поле доски имеет 4 оси симметрии (две прямые, проходящие через середины противоположных сторон, и две диагонали) и центр симметрии — точку пересечения диагоналей. Если учитывать чередование тёмных и светлых клеток, то осей остаётся две (диагонали: при отражении относительно прямых через середины сторон цвета клеток меняются местами), центр симметрии сохраняется.
3.138. Построили фигуру, симметричную циферблату часов (рис. 3.35) относительно: а) центра циферблата; б) некоторой точки, находящейся на окружности циферблата. Окажется ли симметричный циферблат таким же, как исходный?
Подумайте, каково будет направление движения стрелок на симметричных часах в каждом случае.
Центральная симметрия — это поворот на 180° вокруг центра.
а) Циферблат (окружность с делениями) перейдёт сам в себя: деления совпадут с делениями. Если бы на нём были цифры, 12 оказалась бы внизу, то есть цифры были бы перевёрнуты. Стрелки, как и при повороте, продолжат двигаться по часовой стрелке.
б) Получится такой же по размеру циферблат с другим расположением: окружность касается исходной в выбранной точке с противоположной стороны. Цифры и деления будут повёрнуты на 180°, а стрелки по-прежнему будут двигаться по часовой стрелке, поскольку поворот сохраняет направление обхода (при осевой симметрии оно изменилось бы на противоположное).
а) Циферблат (окружность с делениями) перейдёт сам в себя: деления совпадут с делениями. Если бы на нём были цифры, 12 оказалась бы внизу, то есть цифры были бы перевёрнуты. Стрелки, как и при повороте, продолжат двигаться по часовой стрелке.
б) Получится такой же по размеру циферблат с другим расположением: окружность касается исходной в выбранной точке с противоположной стороны. Цифры и деления будут повёрнуты на 180°, а стрелки по-прежнему будут двигаться по часовой стрелке, поскольку поворот сохраняет направление обхода (при осевой симметрии оно изменилось бы на противоположное).
3.139. Вычислите. а) 800 : 16, · 7, − 80, : 30, · 15; б) 309 + 541, − 220, : 70, · 14, · 12; в) 5 − 3,4, · 4, + 2,7, : 13, · 0,03; г) 2,4 + 3,6, : 1,5, · 0,125, + 4, : 0,03; д) 7,5 : 25, · 1,6, + 0,12, : 0,15, − 0,1.
а) 50; 350; 270; 9;
135. Ответ: 135.
б) 850; 630; 9; 126; 1512. Ответ: 1512.
в) 1,6; 6,4; 9,1; 0,7; 0,021. Ответ: 0,021.
г) 6; 4; 0,5; 4,5; 150. Ответ: 150.
д) 0,3; 0,48; 0,6; 4; 3,9. Ответ: 3,9.
б) 850; 630; 9; 126; 1512. Ответ: 1512.
в) 1,6; 6,4; 9,1; 0,7; 0,021. Ответ: 0,021.
г) 6; 4; 0,5; 4,5; 150. Ответ: 150.
д) 0,3; 0,48; 0,6; 4; 3,9. Ответ: 3,9.
3.140. Поставьте знак действия вместо знака вопроса, чтобы получилось верное равенство: а) 3/5 ? 1/6 = 23/30; б) 17/36 ? 4/9 = 17/81; в) 9/10 ? 1 19/45 = 1,28; г) 2 2/5 ? 1 3/5 = 3 21/25; д) 3 7/9 ? 2 35/81 = 1 28/81; е) 1 8/9 ? 1/6 = 11 1/3.
а) 3/5 + 1/6 = 18/30 + 5/30 = 23/30 — знак «+».
б) 17/36 · 4/9 = 17/81 — знак «·».
в) 9/10 · 1 19/45 = 9/10 · 64/45 = 1,28 — знак «·».
г) 2 2/5 · 1 3/5 = 12/5 · 8/5 = 96/25 = 3 21/25 — знак «·».
д) 3 7/9 − 2 35/81 = 306/81 − 197/81 = 109/81 = 1 28/81 — знак «−».
е) 1 8/9 : 1/6 = 17/9 · 6 = 34/3 = 11 1/3 — знак «:».
б) 17/36 · 4/9 = 17/81 — знак «·».
в) 9/10 · 1 19/45 = 9/10 · 64/45 = 1,28 — знак «·».
г) 2 2/5 · 1 3/5 = 12/5 · 8/5 = 96/25 = 3 21/25 — знак «·».
д) 3 7/9 − 2 35/81 = 306/81 − 197/81 = 109/81 = 1 28/81 — знак «−».
е) 1 8/9 : 1/6 = 17/9 · 6 = 34/3 = 11 1/3 — знак «:».
3.141. Некоторое число прибавили к числителю и вычли из знаменателя дроби 31/41. Найдите это число, если после сокращения получили дробь 4/5.
(31 + x) : (41 − x) = 4 : 5, 5 · (31 + x) = 4 · (41 − x), 155 + 5x = 164 − 4x, 9x = 9, x = 1. Проверка: 32/40 = 4/5. Ответ: 1.
3.142. Масштаб карты 10 : 1 000 000. Заполните таблицу. Длина отрезка на карте: пусто; 3 см; пусто; пусто; 12 мм. Расстояние на местности: 10 км; пусто; 45 км; 1,5 км; пусто.
Масштаб 10 : 1 000 000 = 1 : 100 000, то есть 1 см на карте — 100 000 см = 1 км на местности.
10 км — 10 см на карте.
3 см на карте — 3 км на местности.
45 км — 45 см на карте.
1,5 км — 1,5 см на карте.
12 мм = 1,2 см на карте — 1,2 км на местности.
Ответ: 10 см; 3 км; 45 см; 1,5 см; 1,2 км.
10 км — 10 см на карте.
3 см на карте — 3 км на местности.
45 км — 45 см на карте.
1,5 км — 1,5 см на карте.
12 мм = 1,2 см на карте — 1,2 км на местности.
Ответ: 10 см; 3 км; 45 см; 1,5 см; 1,2 км.
3.143. На карте капитана длина маршрута корабля равна 18 см. Найдите масштаб карты, если корабль прошёл 720 км.
720 км = 72 000 000 см. Масштаб: 18 : 72 000 000 = 1 : 4 000 000. Ответ: 1 : 4 000 000.
3.144.
1. Изображение цветка алиссума на фото увеличено в 15 раз. В каком масштабе дано изображение на фото?
2. Изображение детали на чертеже уменьшено в 25 раз. В каком масштабе выполнен чертёж?
1) Увеличение в 15 раз — масштаб 15 : 1.
2) Уменьшение в 25 раз — масштаб 1 : 25.
2) Уменьшение в 25 раз — масштаб 1 : 25.