22. Симметрии (упражнения 3.128–3.161) — с. 145
3.129. Рассмотрите рисунок 3.29. Как проверить, что фигуры P и R на рисунке симметричны относительно точки O?
Берём несколько пар соответствующих точек фигур P и R (например, кончики клювов, хвостов, крыльев) и соединяем каждую пару отрезком. Если все такие отрезки проходят через точку O и O делит каждый из них пополам (OA = OA′ — проверяем линейкой), то фигуры симметричны относительно O. Можно проверить и иначе: повернуть копию рисунка с фигурой P на 180° вокруг O (например, проколов лист в точке O карандашом) — фигура P совпадёт с R.
3.130. а) На рисунке 3.30, а изображены фигуры. Какие из них имеют одну ось симметрии, две оси симметрии, более двух осей симметрии, имеют центр симметрии? б) Сколько осей симметрии можно указать на фотографии морской звезды (рис. 3.30, б)?
Есть ли у неё центр симметрии?
а) Одну ось симметрии имеют фигура на клетчатой бумаге (ось — вертикальная прямая через вершину) и высокий равнобедренный треугольник (ось — высота к основанию). Две оси имеет ромб (оси — его диагонали). Более двух осей: квадрат (4 оси: две диагонали и две прямые через середины противоположных сторон), правильный треугольник (3 оси — по высотам) и правильная пятиконечная звезда (5 осей — через вершину и середину противоположной стороны). Центр симметрии есть у квадрата и ромба (точка пересечения диагоналей).
б) У морской звезды с пятью лучами 5 осей симметрии (каждая проходит через луч и середину противоположной стороны). Центра симметрии у неё нет: при повороте на 180° лучи не переходят в лучи.
Оговорка: тип фигур (ромб, правильный треугольник) определён по рисунку; если фигура окажется не ромбом, а параллелограммом, осей у неё не будет.
б) У морской звезды с пятью лучами 5 осей симметрии (каждая проходит через луч и середину противоположной стороны). Центра симметрии у неё нет: при повороте на 180° лучи не переходят в лучи.
Оговорка: тип фигур (ромб, правильный треугольник) определён по рисунку; если фигура окажется не ромбом, а параллелограммом, осей у неё не будет.
3.131. Начертите в тетради четырёхугольник, изображённый на рисунке 3.31. Постройте фигуру, симметричную данной относительно оси m.
Считаем клетки от оси m. Вершины: A (1 клетка вправо от оси, 4 вниз от верхней линии), B (8 вправо, 8 вниз), C (10 вправо, 5 вниз), D (7 вправо, 1 вниз). Из каждой вершины проводим перпендикуляр к оси (по линиям сетки) и откладываем с другой стороны такое же число клеток: A′, B′, C′, D′ — на тех же уровнях, но по другую сторону оси на тех же расстояниях. Соединяем точки A′B′C′D′ — получаем симметричный четырёхугольник (рисунок).
3.132. Начертите ломаную из трёх звеньев. Постройте симметричную ей фигуру относительно прямой, проходящей через среднее звено этой ломаной.
Пусть ломаная ABCD, ось — прямая BC. Точки B и C лежат на оси, поэтому остаются на месте. Из точек A и D опускаем перпендикуляры на прямую BC и продолжаем их за прямую на такие же расстояния: получаем A′ и D′. Ломаная A′BCD′ симметрична ломаной ABCD (рисунок).
3.133. Симметричен ли на фотографии фасад здания Государственной Третьяковской галереи в Москве (рис. 3.32)?
Если да, то как расположена ось симметрии фасада?
Да, фасад симметричен: левая и правая части одинаковы (боковые входы с башенками, окна, узорные кокошники). Ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через середину центральной арки (центрального входа) и вершину центральной части фасада.
3.134. Убедитесь, используя линейку, что точка A, лежащая на оси симметрии m, одинаково удалена от симметричных относительно прямой m точек M и N (рис. 3.33).
Измеряем линейкой отрезки AM и AN: они получаются равными. Объяснение: прямая m делит отрезок MN пополам и перпендикулярна ему, то есть является серединным перпендикуляром к MN; любая точка серединного перпендикуляра, в том числе A, одинаково удалена от концов отрезка, поэтому AM = AN.
3.135. а) Начертите окружность с центром P и прямую k, не пересекающую эту окружность. Постройте окружность с центром O, симметричную этой окружности относительно оси k. б) Постройте фигуру, симметричную относительно точки C для четырёхугольника ABCD на рисунке 3.31.
а) Симметрична окружность того же радиуса. Из центра P проводим перпендикуляр к прямой k и откладываем по другую сторону прямой отрезок, равный расстоянию от P до k. Конец — точка O. Строим окружность с центром O и тем же радиусом (рисунок).
3.135 (продолжение). б) Постройте фигуру, симметричную относительно точки C для четырёхугольника ABCD на рисунке 3.31.
Центр симметрии — вершина C, она остаётся на месте. Для остальных вершин проводим лучи из C через A, B и D и откладываем на продолжениях отрезки CA′ = CA, CB′ = CB, CD′ = CD. По клеткам: от C до A — 9 клеток влево и 1 вверх, поэтому A′ — 9 клеток вправо и 1 вниз от C; от C до B — 2 влево и 3 вниз, поэтому B′ — 2 вправо и 3 вверх; от C до D — 3 влево и 4 вверх, поэтому D′ — 3 вправо и 4 вниз. Соединяем A′B′CD′ (рисунок).