23. Длина окружности и площадь круга. Шар (упражнения 3.162–3.193) — с. 152
3.174. В круглой беседке диаметром 4 м необходимо покрасить пол. Сколько краски потребуется, если на 1 м² расходуется 0,16 кг краски?
Радиус 2 м. Площадь пола S = πr² = 3,14 · 4 = 12,56 м². Краски: 12,56 · 0,16 = 2,0096 кг ≈ 2 кг. Ответ: примерно 2 кг (2,0096 кг).
3.175. Самый большой в мире вращающийся глобус «Эрта» расположен в городе Ярмут, США. Огромный земной шар диаметром 12,5 м весит 2,5 т. В каком масштабе этот глобус изображает Землю?
Чему равна длина экватора и меридианов на этом глобусе?
Длину экватора Земли найдите в Интернете и округлите до тысяч километров.
Длина экватора Земли около 40 075 км ≈ 40 000 км. Диаметр Земли: 40 000 : 3,14 ≈ 12 700 км (по справочнику ≈ 12 756 км). Диаметр глобуса 12,5 м = 1250 см; 12 756 км = 1 275 600 000 см. Масштаб: 1250 : 1 275 600 000 ≈ 1 : 1 020 000, то есть примерно 1 : 1 000 000.
Длина экватора глобуса: 3,14 · 12,5 = 39,25 м ≈ 39 м (при масштабе 1 : 1 000 000: 40 000 км : 1 000 000 = 40 м). Меридианы — тоже большие окружности шара, их длины примерно такие же, около 40 м.
Оговорка: длина экватора взята из справочных данных.
Длина экватора глобуса: 3,14 · 12,5 = 39,25 м ≈ 39 м (при масштабе 1 : 1 000 000: 40 000 км : 1 000 000 = 40 м). Меридианы — тоже большие окружности шара, их длины примерно такие же, около 40 м.
Оговорка: длина экватора взята из справочных данных.
3.176. Полярная крачка на зимовье перелетает из Арктики в Антарктиду. Какое расстояние она преодолевает, если полярный диаметр Земли равен 12 714 км?
Путь от одного полюса до другого вдоль меридиана — половина окружности с диаметром 12 714 км: l = πd : 2 ≈ 3,14 · 12 714 : 2 = 19 960,98 км ≈ 19 961 км. Ответ: примерно 20 тыс. км (≈ 19 961 км).
3.177. Диаметр Луны приблизительно равен 3,5 тыс. км, что составляет 0,275 диаметра Земли, а диаметр планеты Уран в 4 раза больше земного. Найдите диаметры Земли и Урана.
Диаметр Земли: 3500 : 0,275 ≈ 12 727 км ≈ 12,7 тыс. км. Диаметр Урана: 12 727 · 4 ≈ 50 909 км ≈ 50,9 тыс. км. Ответ: ≈ 12 727 км и ≈ 50 909 км.
3.178. Вычислите. а) 370 + 230, : 50, · 30, + 340, + 14; б) 720 : 18, + 280, : 16, · 50, : 125; в) 7,2 : 2,4, − 0,6, : 0,12, · 0,125, + 7,5; г) 6 − 4,5, · 0,4, : 0,12, · 7, + 0,8; д) 8 · 1,2, + 0,4, · 0,01, : 0,5, : 0,1.
а) 600; 12; 360; 700;
714. Ответ: 714.
б) 40; 320; 20; 1000; 8. Ответ: 8.
в) 3; 2,4; 20; 2,5; 10. Ответ: 10.
г) 1,5; 0,6; 5; 35; 35,8. Ответ: 35,8.
д) 9,6; 10; 0,1; 0,2; 2. Ответ: 2.
б) 40; 320; 20; 1000; 8. Ответ: 8.
в) 3; 2,4; 20; 2,5; 10. Ответ: 10.
г) 1,5; 0,6; 5; 35; 35,8. Ответ: 35,8.
д) 9,6; 10; 0,1; 0,2; 2. Ответ: 2.
3.179. На плане изображён прямоугольный бассейн. Определите длину бассейна и его площадь, если на плане ширина бассейна 6 см, а длина вдвое больше. Масштаб плана 1 : 100.
На плане длина 6 · 2 = 12 см. Масштаб 1 : 100, значит 1 см на плане — 1 м на местности. Длина бассейна 12 м, ширина 6 м. Площадь: 12 · 6 = 72 м². Ответ: 12 м; 72 м².
3.180. Заполните таблицу, если известно, что a/b = c/d. Строка a: 1; 2; 2,4; 1 1/2; пусто; 3x; 5,2a; 3 2/5; пусто. Строка b: 3; пусто; 4,8; 2 1/4; 4/5; 2x; пусто; 1,5; пусто. Строка c: пусто; 3,5; 1; пусто; 2 1/3; пусто; 2,1; пусто; 2 3/4. Строка d: 15; 10,5; пусто; 5,2; 2,8; 0,7; 0,6; пусто; 3 2/3.
Из пропорции a/b = c/d: c = a · d / b, d = b · c / a, a = b · c / d, b = a · d / c.
1) c = 1 · 15 : 3 = 5.
2) b = 2 · 10,5 : 3,5 = 6.
3) d = 4,8 · 1 : 2,4 = 2.
4) c = 1,5 · 5,2 : 2,25 = 52/15 = 3 7/15.
5) a = 4/5 · 2 1/3 : 2,8 = 2/3.
6) c = 3x · 0,7 : 2x = 1,05.
7) b = 5,2a · 0,6 : 2,1 = 52a/35 = 1 17/35 a.
8) Отношение a : b = 3 2/5 : 1,5 = 34/15, поэтому c : d = 34/15, например c = 3 2/5 и d = 1,5 (или c = 34, d = 15).
9) c : d = 2 3/4 : 3 2/3 = 3/4, поэтому a : b = 3/4, например a = 3, b = 4.
Оговорка: в последних двух столбцах не хватает данных (два пустых числа в столбце), поэтому ответом служит отношение и примеры подходящих чисел.
1) c = 1 · 15 : 3 = 5.
2) b = 2 · 10,5 : 3,5 = 6.
3) d = 4,8 · 1 : 2,4 = 2.
4) c = 1,5 · 5,2 : 2,25 = 52/15 = 3 7/15.
5) a = 4/5 · 2 1/3 : 2,8 = 2/3.
6) c = 3x · 0,7 : 2x = 1,05.
7) b = 5,2a · 0,6 : 2,1 = 52a/35 = 1 17/35 a.
8) Отношение a : b = 3 2/5 : 1,5 = 34/15, поэтому c : d = 34/15, например c = 3 2/5 и d = 1,5 (или c = 34, d = 15).
9) c : d = 2 3/4 : 3 2/3 = 3/4, поэтому a : b = 3/4, например a = 3, b = 4.
Оговорка: в последних двух столбцах не хватает данных (два пустых числа в столбце), поэтому ответом служит отношение и примеры подходящих чисел.
3.181. Вместо звёздочек расставьте цифры от 1 до 9 так, чтобы выполнялось равенство: · = = * · **.
Нужно 9 разных цифр: произведение двузначного и однозначного числа равно трёхзначному числу и равно произведению однозначного и двузначного. Перебором (проверено на компьютере) находятся четыре решения:
29 · 6 = 174 = 3 · 58;
39 · 4 = 156 = 2 · 78;
58 · 3 = 174 = 6 · 29;
78 · 2 = 156 = 4 · 39.
В каждом равенстве использованы все цифры от 1 до 9 по одному разу. Например, 29 · 6 = 174 = 3 · 58.
29 · 6 = 174 = 3 · 58;
39 · 4 = 156 = 2 · 78;
58 · 3 = 174 = 6 · 29;
78 · 2 = 156 = 4 · 39.
В каждом равенстве использованы все цифры от 1 до 9 по одному разу. Например, 29 · 6 = 174 = 3 · 58.
3.182. В библиотеке устарело 2312 книг, что составляет 17 % библиотечного фонда. Сколько книг было в библиотеке?
2312 : 0,17 = 13 600. Ответ: 13 600 книг.
3.183.
1. В классе 30 человек. Из них английский язык изучают в 2 1/3 раза больше учащихся, чем французский. Сколько человек изучают английский язык и сколько — французский?
2. В секции дзюдо занимаются 44 человека. Из них девочек в 2 2/3 раза меньше, чем мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков занимаются в секции?
1) Французский изучают x человек, английский — 7/3 x. x + 7/3 x = 10/3 x = 30, x = 9. Английский: 30 − 9 = 21. Ответ: 21 и 9 человек.
2) Девочек d, мальчиков 8/3 d. d + 8/3 d = 11/3 d = 44, d = 12. Мальчиков 44 − 12 = 32. Ответ: 12 девочек и 32 мальчика.
2) Девочек d, мальчиков 8/3 d. d + 8/3 d = 11/3 d = 44, d = 12. Мальчиков 44 − 12 = 32. Ответ: 12 девочек и 32 мальчика.
3.184. Найдите значение выражения: 1) 5/14 t + 9/35 t − 2/7 t при t = 1 7/23; 2) 7/12 z − 5/18 z + 13/60 z при z = 3 9/47.
1) Складываем коэффициенты: 5/14 + 9/35 − 2/7 = 25/70 + 18/70 − 20/70 = 23/70. t = 30/23. 23/70 · 30/23 = 3/7.
2) 7/12 − 5/18 + 13/60 = 105/180 − 50/180 + 39/180 = 94/180 = 47/90. z = 150/47. 47/90 · 150/47 = 150/90 = 5/3 = 1 2/3.
Ответ: 1) 3/7; 2) 1 2/3.
2) 7/12 − 5/18 + 13/60 = 105/180 − 50/180 + 39/180 = 94/180 = 47/90. z = 150/47. 47/90 · 150/47 = 150/90 = 5/3 = 1 2/3.
Ответ: 1) 3/7; 2) 1 2/3.