20. Прямая и обратная пропорциональные зависимости (упражнения 3.63–3.100) — с. 133
3.76. Вычислите. а) 500 + 310, : 90, · 60, − 120, : 14; б) 910 : 13, + 8, − 14, : 160, · 350; в) 1,5 · 0,6, + 2,5, : 1,7, − 0,6, : 0,2; г) 6,8 + 2,2, : 6, + 3, · 0,2, : 1,8; д) 5 − 3,6, · 4, : 14, : 0,02, + 0,7.
Действия выполняем по цепочке сверху вниз.
а) 810; 9; 540; 420; 30. Ответ: 30.
б) 70; 78; 64; 0,4; 140. Ответ: 140.
в) 0,9; 3,4; 2; 1,4; 7. Ответ: 7.
г) 9; 1,5; 4,5; 0,9; 0,5. Ответ: 0,5.
д) 1,4; 5,6; 0,4; 20; 20,7. Ответ: 20,7.
а) 810; 9; 540; 420; 30. Ответ: 30.
б) 70; 78; 64; 0,4; 140. Ответ: 140.
в) 0,9; 3,4; 2; 1,4; 7. Ответ: 7.
г) 9; 1,5; 4,5; 0,9; 0,5. Ответ: 0,5.
д) 1,4; 5,6; 0,4; 20; 20,7. Ответ: 20,7.
3.77. Представьте дроби 3/4, 7/12, 9/20, 5/8, 13/36 в виде суммы двух дробей с числителем 1.
3/4 = 1/2 + 1/4.
7/12 = 1/3 + 1/4 (4/12 + 3/12).
9/20 = 1/4 + 1/5 (5/20 + 4/20).
5/8 = 1/2 + 1/8 (4/8 + 1/8).
13/36 = 1/4 + 1/9 (9/36 + 4/36).
Представления можно записать и иначе, например 3/4 = 1/2 + 1/4 — единственный вариант с такими знаменателями, но для других дробей возможны и другие разложения.
7/12 = 1/3 + 1/4 (4/12 + 3/12).
9/20 = 1/4 + 1/5 (5/20 + 4/20).
5/8 = 1/2 + 1/8 (4/8 + 1/8).
13/36 = 1/4 + 1/9 (9/36 + 4/36).
Представления можно записать и иначе, например 3/4 = 1/2 + 1/4 — единственный вариант с такими знаменателями, но для других дробей возможны и другие разложения.
3.78. Из чисел 4, 5, 16 и 20 составьте три пропорции.
Так как 4 · 20 = 5 · 16 (=80), можно составить, например, пропорции: 4 : 5 = 16 : 20; 4 : 16 = 5 : 20; 5 : 4 = 20 :
16. (Подходят и другие, например 20 : 5 = 16 : 4.)
3.79. Какими могут быть средние члены пропорции, если её крайние члены 7 и 8?
Приведите примеры.
Произведение средних членов равно произведению крайних: 7 · 8 = 56. Значит, средними могут быть любые два числа с произведением 56. Примеры: 7 : 2 = 28 : 8 (2 · 28 = 56); 7 : 4 = 14 : 8; 7 : 1 = 56 : 8; 7 : 8 = 8 : 7.
3.80. Найдите x: а) x/8 = 2x/16; б) x/16 = x/4; в) x/16 = 4/x; г) 4/7 = x/x; д) x/x = x/9.
а) Крайние и средние члены: x · 16 = 8 · 2x, 16x = 16x — верно при любом x. Ответ: любое число.
б) 4x = 16x, 12x = 0, x = 0.
в) x · x = 16 · 4 = 64, x = 8 (при x = −8 тоже верно, но среди натуральных и дробных положительных чисел — 8).
г) x/x = 1 (при x ≠ 0), а 4/7 ≠ 1, решений нет.
д) x/x = 1, поэтому x/9 = 1, x = 9.
Оговорка: в г) прочитано «4/7 = x/x»; если на самом деле там другое отношение, ответ изменится.
б) 4x = 16x, 12x = 0, x = 0.
в) x · x = 16 · 4 = 64, x = 8 (при x = −8 тоже верно, но среди натуральных и дробных положительных чисел — 8).
г) x/x = 1 (при x ≠ 0), а 4/7 ≠ 1, решений нет.
д) x/x = 1, поэтому x/9 = 1, x = 9.
Оговорка: в г) прочитано «4/7 = x/x»; если на самом деле там другое отношение, ответ изменится.
3.81. Найдите отношение: а) 3 ч к 20 мин; б) 0,7 дм² к 0,1 см²; в) 0,1 т к 0,2 кг; г) 6 ч к 1 сут; д) 4 см³ к 0,4 дм³; е) 6 га к 120 а.
Выражаем обе величины в одних единицах.
а) 3 ч = 180 мин; 180 : 20 = 9.
б) 0,7 дм² = 70 см²; 70 : 0,1 = 700.
в) 0,1 т = 100 кг; 100 : 0,2 = 500.
г) 1 сут = 24 ч; 6 : 24 = 1/4.
д) 0,4 дм³ = 400 см³; 4 : 400 = 1/100.
е) 6 га = 600 а; 600 : 120 = 5.
а) 3 ч = 180 мин; 180 : 20 = 9.
б) 0,7 дм² = 70 см²; 70 : 0,1 = 700.
в) 0,1 т = 100 кг; 100 : 0,2 = 500.
г) 1 сут = 24 ч; 6 : 24 = 1/4.
д) 0,4 дм³ = 400 см³; 4 : 400 = 1/100.
е) 6 га = 600 а; 600 : 120 = 5.
3.82. Отметьте на координатной прямой число m для пропорции p/q = m/n (рис. 3.3).
По рисунку единичный отрезок — расстояние между соседними чёрточками: p = 1, q = 3, n = 12. Из пропорции m = p · n : q = 1 · 12 : 3 = 4. Отмечаем точку 4 — четвёртую чёрточку от нуля.
3.83. Развивай память. Развить слуховую и зрительную память поможет пирамида из двузначных чисел. Числа в пирамиде могут быть другими. а) Для проверки слуховой памяти попросите кого-нибудь прочитать числа из первой строки, после чего вы по памяти их записываете по порядку. Затем вторую строку и т. д. Если сможете без ошибок записать числа трёх строк, то слуховая память у вас хорошая, если больше, то отличная. Если допускаете ошибки при записи первых трёх строк, то меняйте числа и тренируйтесь. б) При проверке зрительной памяти сначала закройте всю пирамиду, а затем на 5—15 с (в зависимости от количества чисел в строке) откройте первую строку и, закрыв её, по памяти запишите числа по порядку. Если записали числа правильно, переходите ко второй строке и т. д.
Это упражнение на тренировку памяти, готового ответа у него нет: результат зависит от того, сколько строк пирамиды получилось воспроизвести без ошибок. Задание выполняют вдвоём: один читает числа вслух (слуховая память) либо ненадолго открывает строку (зрительная), другой записывает числа по памяти в том же порядке и сверяет с пирамидой. Три безошибочные строки — хорошая память, больше трёх — отличная; при ошибках в первых трёх строках берите другие числа и тренируйтесь.
3.84. Найдите неизвестный член пропорции: а) 7 : 28 = 5,5 : 4x; б) 3x : 11 = 1 1/2 : 2 3/4; в) 1,35 : 0,6 = 1,08 : 0,4x; г) 2 1/4 : 1 = 3x : 2/3.
а) 7 : 28 = 1/4, значит 5,5 : 4x = 1/4, 4x = 22, x = 5,5.
б) 1 1/2 : 2 3/4 = 3/2 · 4/11 = 6/11; 3x : 11 = 6/11, 3x = 6, x = 2.
в) 1,35 : 0,6 = 2,25; 1,08 : 0,4x = 2,25, 0,4x = 0,48, x = 1,2.
г) 2 1/4 · 2/3 = 3/2 = 3x · 1, x = 0,5.
Ответ: а) 5,5; б) 2; в) 1,2; г) 0,5.
б) 1 1/2 : 2 3/4 = 3/2 · 4/11 = 6/11; 3x : 11 = 6/11, 3x = 6, x = 2.
в) 1,35 : 0,6 = 2,25; 1,08 : 0,4x = 2,25, 0,4x = 0,48, x = 1,2.
г) 2 1/4 · 2/3 = 3/2 = 3x · 1, x = 0,5.
Ответ: а) 5,5; б) 2; в) 1,2; г) 0,5.