20. Прямая и обратная пропорциональные зависимости (упражнения 3.63–3.100) — с. 134
3.85. Можно ли составить пропорцию из чисел: а) 13; 9; 7; 29; б) 1/2; 3/2; 1 3/4; 1 7/8?
Пропорцию можно составить, если произведение двух чисел равно произведению двух других.
а) 13 · 9 = 117, 7 · 29 = 203; 13 · 7 = 91, 9 · 29 = 261; 13 · 29 = 377, 9 · 7 = 63. Равных произведений нет — нельзя.
б) 1/2 = 4/8, 3/2 = 12/8, 1 3/4 = 14/8, 1 7/8 = 15/8. 1/2 · 15/8 = 15/16 и 3/2 · 7/4 = 21/8; 1/2 · 7/4 = 7/8 и 3/2 · 15/8 = 45/16; 1/2 · 3/2 = 3/4 и 7/4 · 15/8 = 105/32. Равных произведений нет — нельзя.
а) 13 · 9 = 117, 7 · 29 = 203; 13 · 7 = 91, 9 · 29 = 261; 13 · 29 = 377, 9 · 7 = 63. Равных произведений нет — нельзя.
б) 1/2 = 4/8, 3/2 = 12/8, 1 3/4 = 14/8, 1 7/8 = 15/8. 1/2 · 15/8 = 15/16 и 3/2 · 7/4 = 21/8; 1/2 · 7/4 = 7/8 и 3/2 · 15/8 = 45/16; 1/2 · 3/2 = 3/4 и 7/4 · 15/8 = 105/32. Равных произведений нет — нельзя.
3.86. Используя равенство произведений 14 · 6 = 42 · 2, составьте две пропорции.
Крайними членами берём два множителя из разных произведений: 14 : 42 = 2 : 6 и 14 : 2 = 42 :
6. (Подходят и 6 : 2 = 42 : 14, 6 : 42 = 2 : 14.)
3.87. Отрезок MK равен 24 м, отрезок LN — 6 дм. Чему равно отношение отрезков MK и LN?
Какую часть отрезка MK составляет отрезок LN?
24 м = 240 дм. MK : LN = 240 : 6 = 40. Отрезок LN составляет 6/240 = 1/40 отрезка MK. Ответ: 40; 1/40.
3.88. В забеге принимали участие 350 школьников. Из них 64 % — мальчики, а остальные — девочки. На сколько больше участвовало в забеге мальчиков, чем девочек?
Мальчиков: 350 · 0,64 = 224. Девочек: 350 − 224 = 126. 224 − 126 = 98. Ответ: на 98 больше.
3.89. Выполните действия: а) ((3,4 + 4,3) · 3 4/9) / ((8,6 − 5,5) : 9/11); б) (1/9 : 5/18 + 3,125 · 0,8) / ((4 5/6 − 4 1/3) : 1 2/29) + 23 4/5.
а) Числитель: 7,7 · 31/9 = 77/10 · 31/9. Знаменатель: 3,1 : 9/11 = 31/10 · 11/9. Частное: (77 · 31) / (31 · 11) = 7.
б) 1/9 : 5/18 = 2/5 = 0,4; 3,125 · 0,8 = 2,5; числитель 2,9. 4 5/6 − 4 1/3 = 1/2; 1/2 : 31/29 = 29/62. 2,9 : 29/62 = 29/10 · 62/29 = 6,2. 6,2 + 23,8 = 30.
Ответ: а) 7; б) 30.
Оговорка: в б) выражение прочитано как 1 2/29 в знаменателе; результат совпадает с ответом в конце учебника.
б) 1/9 : 5/18 = 2/5 = 0,4; 3,125 · 0,8 = 2,5; числитель 2,9. 4 5/6 − 4 1/3 = 1/2; 1/2 : 31/29 = 29/62. 2,9 : 29/62 = 29/10 · 62/29 = 6,2. 6,2 + 23,8 = 30.
Ответ: а) 7; б) 30.
Оговорка: в б) выражение прочитано как 1 2/29 в знаменателе; результат совпадает с ответом в конце учебника.
3.90.
1. В каждой партии из 1500 фонариков в среднем 18 бракованные. Какой процент всей партии составляют исправные фонарики?
2. В партии на 1200 шариковых ручек приходится 15 ручек, которые не пишут. Какой процент от всей партии составляют пишущие ручки?
1) Исправных 1500 − 18 = 1482; 1482 : 1500 = 0,988 = 98,8 %.
2) Пишущих 1200 − 15 = 1185; 1185 : 1200 = 0,9875 = 98,75 %.
Ответ: 1) 98,8 %; 2) 98,75 %.
2) Пишущих 1200 − 15 = 1185; 1185 : 1200 = 0,9875 = 98,75 %.
Ответ: 1) 98,8 %; 2) 98,75 %.
3.91. В Санкт-Петербург приехали 86 туристов. Русский музей хотят посетить 48 туристов, Эрмитаж — 69 и оба музея хотят посетить 36 туристов. Сколько человек не собираются посещать эти музеи?
Хотя бы один музей хотят посетить 48 + 69 − 36 = 81 человек (тех, кто выбрал оба, мы посчитали дважды). Не собираются посещать музеи 86 − 81 = 5 человек. Ответ: 5.
3.92. Вычислите: 1) 3,16 · 0,6 + 7,5744 : 3,6; 2) 7,0112 : 2,8 + 1,6 · 2,81.
1) 3,16 · 0,6 = 1,896; 7,5744 : 3,6 = 2,104; сумма 4.
2) 7,0112 : 2,8 = 2,504; 1,6 · 2,81 = 4,496; сумма 7.
Ответ: 1) 4; 2) 7.
2) 7,0112 : 2,8 = 2,504; 1,6 · 2,81 = 4,496; сумма 7.
Ответ: 1) 4; 2) 7.
3.93. В приюте для животных на 25 кошек ежедневно расходуется 2 кг корма. Сколько корма потребуется в день, если из приюта заберут 5 кошек?
(На каждое животное выделено одинаковое количество корма.)
Останется 25 − 5 = 20 кошек. Корм прямо пропорционален числу кошек: 25 : 20 = 2 : x, x = 20 · 2 : 25 = 1,6 кг. Ответ: 1,6 кг.
3.94. Пять снегоуборочных машин почистили дорогу за 24 мин. За какое время почистят эту же дорогу 8 снегоуборочных машин?
Время обратно пропорционально числу машин: 5 · 24 = 8 · x, x = 120 : 8 = 15 мин. Ответ: 15 мин.
3.95. За 2,4 кг картофеля заплатили 86,4 р. Сколько можно купить картофеля на 126 р.?
Цена 1 кг: 86,4 : 2,4 = 36 р. 126 : 36 = 3,5 кг. Ответ: 3,5 кг.
3.96. Золото имеет 41,5 % примесей. Сколько килограммов примесей содержится в 3,5 кг такого золота?
Округлите ответ до десятых долей килограмма.
3,5 · 0,415 = 1,4525 ≈ 1,5 кг. Ответ: ≈ 1,5 кг.
3.97. В оливках содержится 64,8 % масла. Сколько килограммов оливок необходимо взять, чтобы в них содержалось 40,5 кг масла?
40,5 : 0,648 = 62,5 кг. Ответ: 62,5 кг.
3.98. В пачке творога массой 250 г содержится 41,7 г белка. Определите процентное соотношение белка в твороге.
41,7 : 250 = 0,1668 = 16,68 %. Ответ: 16,68 %.
3.99. В шоколаде содержится 70 % какао. Сколько какао в шоколадке массой 90 г?
90 · 0,7 = 63 г. Ответ: 63 г.
3.100. Найдите значение выражения: а) 43,52 : 0,85 + 144,18 : (132 − 128,76); б) 378,87 : (92 − 87,62) + 83,2 : 6,5.
а) 43,52 : 0,85 = 51,2; 132 − 128,76 = 3,24; 144,18 : 3,24 = 44,5; 51,2 + 44,5 = 95,7.
б) 92 − 87,62 = 4,38; 378,87 : 4,38 = 86,5; 83,2 : 6,5 = 12,8; 86,5 + 12,8 = 99,3.
Ответ: а) 95,7; б) 99,3.
б) 92 − 87,62 = 4,38; 378,87 : 4,38 = 86,5; 83,2 : 6,5 = 12,8; 86,5 + 12,8 = 99,3.
Ответ: а) 95,7; б) 99,3.