20. Прямая и обратная пропорциональные зависимости (упражнения 3.63–3.100) — с. 132
3.63. Найдите, зависимость между какими величинами прямо пропорциональная, обратно пропорциональная, а между какими не является пропорциональной: а) время движения поезда и пройденный за это время путь при постоянной скорости; б) количество одинакового товара и его стоимость; в) число рабочих одинаковой квалификации и время выполнения определённой работы; г) масса деревянного бруска и его длина; д) время работы снегоуборочной техники и число единиц одинаковой техники; е) цена товара и его количество при определённой сумме покупки; ж) возраст человека и его рост; з) площадь квадрата и длина его стороны; и) высота прямоугольного параллелепипеда и его объём при постоянной площади основания; к) урожайность зерна с 1 га и масса зерна при постоянной площади посева; л) множители при данном произведении; м) делимое и делитель при данном частном.
Смотрим, как меняется вторая величина при увеличении первой в несколько раз.
Прямо пропорциональны: а) путь = скорость · время; б) стоимость = цена · количество; г) масса бруска растёт во столько же раз, во сколько его длина (при одинаковом сечении и материале); и) V = S · h при постоянной S; к) масса = урожайность · площадь при постоянной площади; м) делимое = частное · делитель, при постоянном частном делимое и делитель меняются в одно и то же число раз.
Обратно пропорциональны: в) больше рабочих — меньше времени; д) больше техники — меньше времени работы; е) произведение цены и количества (сумма покупки) постоянно; л) при постоянном произведении один множитель уменьшается во столько раз, во сколько увеличивается другой.
Не пропорциональны: ж) возраст и рост; з) S = a², при удвоении стороны площадь увеличивается в 4 раза.
Прямо пропорциональны: а) путь = скорость · время; б) стоимость = цена · количество; г) масса бруска растёт во столько же раз, во сколько его длина (при одинаковом сечении и материале); и) V = S · h при постоянной S; к) масса = урожайность · площадь при постоянной площади; м) делимое = частное · делитель, при постоянном частном делимое и делитель меняются в одно и то же число раз.
Обратно пропорциональны: в) больше рабочих — меньше времени; д) больше техники — меньше времени работы; е) произведение цены и количества (сумма покупки) постоянно; л) при постоянном произведении один множитель уменьшается во столько раз, во сколько увеличивается другой.
Не пропорциональны: ж) возраст и рост; з) S = a², при удвоении стороны площадь увеличивается в 4 раза.
3.64. Труба длиной 2,5 м имеет массу 11,8 кг. Найдите массу такой же трубы длиной 4 м.
Масса прямо пропорциональна длине. 2,5 : 4 = 11,8 : x, x = 4 · 11,8 : 2,5 = 47,2 : 2,5 = 18,88 кг. Ответ: 18,88 кг.
3.65. Из 25,5 м шерстяной ткани пошили 15 юбок. Сколько ткани нужно для 5 таких юбок?
Количество ткани прямо пропорционально числу юбок. 25,5 : x = 15 : 5, x = 25,5 · 5 : 15 = 8,5 м. Ответ: 8,5 м.
3.66. Шесть станков штампуют нужное количество деталей за 9 ч. За сколько часов штампуют такое же количество деталей 9 таких же станков?
Чем больше станков, тем меньше времени: зависимость обратно пропорциональна. 6 · 9 = 9 · x, x = 54 : 9 = 6 ч. Ответ: за 6 ч.
3.67. Из города A в город B турист ехал на машине 6,5 ч со скоростью 56 км/ч. Сколько времени потратил бы турист, двигаясь со скоростью 65 км/ч?
При одном расстоянии время обратно пропорционально скорости. 6,5 : x = 65 : 56, x = 6,5 · 56 : 65 = 5,6 ч. (Расстояние 56 · 6,5 = 364 км, 364 : 65 = 5,6 ч.) Ответ: 5,6 ч (5 ч 36 мин).
3.68. Из 364 выпускников музыкальной школы 91 хочет продолжить образование. Какой процент выпускников хочет продолжить музыкальное образование?
91 : 364 = 0,25 = 25 %. Ответ: 25 %.
3.69. При модернизации производства заменили 75 % станков. Сколько всего станков на производстве, если заменили 45 станков?
45 : 0,75 = 60. Ответ: 60 станков.
3.70. Из аэропорта вылетает 400 самолётов ежедневно. Из них 280 по внутренним рейсам. Какой процент внутренних рейсов и какой — международных?
Внутренних: 280 : 400 = 0,7 = 70 %. Международных: 400 − 280 = 120; 120 : 400 = 0,3 = 30 % (или 100 % − 70 %). Ответ: 70 % и 30 %.
3.71. На АвтоВАЗе было запланировано в год выпустить 300 000 автомобилей, однако план был выполнен на 115 %. Сколько автомобилей выпустил АвтоВАЗ?
300 000 · 1,15 = 345 000. Ответ: 345 000 автомобилей.
3.72. За 3 месяца шахтёры отправили на коксоперерабатывающее предприятие 72 % запланированного угля. Сколько процентов запланированного количества угля отправят шахтёры за 5 месяцев, если будут работать с той же производительностью?
Количество угля прямо пропорционально времени. 3 : 5 = 72 : x, x = 5 · 72 : 3 = 120. Ответ: 120 % (план будет перевыполнен на 20 %).
3.73. За 5 дней было собрано 22,5 % всей пшеницы. Сколько дней потребуется, чтобы собрать 94,5 % всей пшеницы?
Время прямо пропорционально собранной доле. 5 : x = 22,5 : 94,5, x = 5 · 94,5 : 22,5 = 21. Ответ: 21 день.
3.74. При производстве яблочного пюре на 9 частей пюре приходится 2 части отходов. Сколько отходов получится при производстве 24,5 т яблочного пюре?
Масса отходов прямо пропорциональна массе пюре. 9 : 24,5 = 2 : x, x = 24,5 · 2 : 9 = 49/9 = 5 4/9 т ≈ 5,4 т. Ответ: 5 4/9 т (≈ 5,4 т).
3.75. На ценнике указана стоимость 150 г сыра — 84,57 р. Чему равна стоимость 450 г этого же сыра?
450 г в 3 раза больше 150 г, стоимость тоже в 3 раза больше: 84,57 · 3 = 253,71 р. Ответ: 253,71 р.