19. Пропорция (упражнения 3.39–3.62) — с. 129
3.54. Градусные меры углов M и N равны 70° и 56°. Какую часть угла M составляет угол N?
Во сколько раз угол N больше угла M?
Угол N составляет от угла M: 56 : 70 = 4/5 (0,8). Угол N не больше, а меньше угла M: он составляет 4/5 угла M. Обратное отношение: угол M больше угла N в 70 : 56 = 1 1/4 раза.
Оговорка: на вопрос «во сколько раз угол N больше угла M» верного положительного ответа нет — угол N меньше; показано, во сколько раз больше угол M.
Оговорка: на вопрос «во сколько раз угол N больше угла M» верного положительного ответа нет — угол N меньше; показано, во сколько раз больше угол M.
3.55. В начале зимы лыжи стоили 1800 р., а в конце сезона — 1200 р. На сколько процентов была снижена цена?
Сколько процентов новая цена составляет от прежней цены?
Снижение цены: 1800 − 1200 = 600 р. 600 : 1800 = 1/3 = 33 1/3 %. Новая цена от прежней: 1200 : 1800 = 2/3 = 66 2/3 %.
Ответ: цену снизили на 33 1/3 %; новая цена составляет 66 2/3 % прежней.
Ответ: цену снизили на 33 1/3 %; новая цена составляет 66 2/3 % прежней.
3.56. В многоэтажном доме двухкомнатные и трёхкомнатные квартиры, причём на каждые 3 двухкомнатные квартиры приходится одна трёхкомнатная. Сколько процентов составляют двухкомнатные квартиры от общего числа квартир?
Сколько всего квартир в доме, если в доме 384 двухкомнатные квартиры?
На каждые 3 + 1 = 4 квартиры 3 двухкомнатные: 3/4 = 75 %. Всего квартир: 384 : 3/4 = 384 · 4/3 = 512. Трёхкомнатных 512 − 384 = 128 (отношение 384 : 128 = 3 : 1 ✓).
Ответ: 75 %; 512 квартир.
Ответ: 75 %; 512 квартир.
3.57. Можно ли составить пропорцию из двух отношений: а) 3,06 : 0,9 и 4,08 : 1,2; б) 0,0056 : 0,14 и 0,136 : 0,34?
Пропорцию можно составить из равных отношений.
а) 3,06 : 0,9 = 3,4; 4,08 : 1,2 = 3,4. Равны — можно: 3,06 : 0,9 = 4,08 : 1,2.
б) 0,0056 : 0,14 = 0,04; 0,136 : 0,34 = 0,4. Не равны — нельзя.
а) 3,06 : 0,9 = 3,4; 4,08 : 1,2 = 3,4. Равны — можно: 3,06 : 0,9 = 4,08 : 1,2.
б) 0,0056 : 0,14 = 0,04; 0,136 : 0,34 = 0,4. Не равны — нельзя.
3.58. Найдите неизвестный член пропорции: а) 3 1/2 : 2 1/7 = 2 1/3 : t; б) 3 1/3 : s = 4 2/3 : 1 1/6; в) y : 2/3 = 8 1/6 : 2 1/3; г) 5 1/7 : 6/7 = z : 12/17.
а) t = 2 1/7 · 2 1/3 : 3 1/2 = 15/7 · 7/3 : 7/2 = 5 · 2/7 = 10/7 = 1 3/7.
б) s = 3 1/3 · 1 1/6 : 4 2/3 = 10/3 · 7/6 · 3/14 = 5/6.
в) y = 2/3 · 8 1/6 : 2 1/3 = 2/3 · 49/6 · 3/7 = 7/3 = 2 1/3.
г) z = 5 1/7 · 12/17 : 6/7 = 36/7 · 12/17 · 7/6 = 72/17 = 4 4/17.
Ответ: а) 1 3/7; б) 5/6; в) 2 1/3; г) 4 4/17.
б) s = 3 1/3 · 1 1/6 : 4 2/3 = 10/3 · 7/6 · 3/14 = 5/6.
в) y = 2/3 · 8 1/6 : 2 1/3 = 2/3 · 49/6 · 3/7 = 7/3 = 2 1/3.
г) z = 5 1/7 · 12/17 : 6/7 = 36/7 · 12/17 · 7/6 = 72/17 = 4 4/17.
Ответ: а) 1 3/7; б) 5/6; в) 2 1/3; г) 4 4/17.
3.59. Продолжительность светового дня 4 февраля составила 8,4 ч. Сколько процентов составила продолжительность светового дня от суток?
Сутки — 24 ч. 8,4 : 24 = 0,35 = 35 %. Ответ: 35 %.
3.60. Аня дошла из дома до парка за 5 мин и, надев ролики, увеличила скорость движения на 120 м/мин. Через 35 мин после выхода из дома оказалось, что она преодолела путь 6505 м. С какой скоростью Аня шла из дома до парка?
Пусть скорость пешком v м/мин. 5 мин она шла, а потом 35 − 5 = 30 мин ехала на роликах со скоростью v + 120. Путь: 5v + 30(v + 120) = 6505; 35v + 3600 = 6505; 35v = 2905; v = 83. Проверка: 5 · 83 + 30 · 203 = 415 + 6090 = 6505 ✓. Ответ: 83 м/мин.
3.61. Найдите число, если разность 7/9 этого числа и 0,4 равна 1.
7/9 x − 0,4 = 1; 7/9 x = 1,4; x = 1,4 : 7/9 = 1,4 · 9/7 = 1,8. Проверка: 7/9 · 1,8 = 1,4; 1,4 − 0,4 = 1 ✓. Ответ: 1,8 (1 4/5).
3.62. Найдите значение выражения: а) 746,2 : (5,6 · 6,5) − 204,12 : (2,7 · 7,2); б) 299,71 : (3,4 · 4,3) − 8,06 : (2,6 · 6,2).
а) 5,6 · 6,5 = 36,4; 746,2 : 36,4 = 20,5. 2,7 · 7,2 = 19,44; 204,12 : 19,44 = 10,5. 20,5 − 10,5 = 10.
б) 3,4 · 4,3 = 14,62; 299,71 : 14,62 = 20,5. 2,6 · 6,2 = 16,12; 8,06 : 16,12 = 0,5. 20,5 − 0,5 = 20.
Ответ: а) 10; б) 20.
б) 3,4 · 4,3 = 14,62; 299,71 : 14,62 = 20,5. 2,6 · 6,2 = 16,12; 8,06 : 16,12 = 0,5. 20,5 − 0,5 = 20.
Ответ: а) 10; б) 20.
Проверочная работа (п. 19). Рассмотрите пропорцию 6,72 : 3,2 = x : 1/2 и выполните для неё следующие задания:
1. Запишите крайние члены пропорции.
Крайние члены пропорции — первый и последний: 6,72 и 1/2.
Проверочная работа (п. 19).
2. Запишите средние члены пропорции.
Средние члены — второй и третий: 3,2 и x.
Проверочная работа (п. 19).
3. Найдите неизвестный член пропорции. Каким свойством пропорции вы воспользовались?
Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних. 3,2 · x = 6,72 · 1/2 = 3,36; x = 3,36 : 3,2 = 1,05. Проверка: 6,72 : 3,2 = 2,1 и 1,05 : 1/2 = 2,1 ✓. Ответ: x = 1,05.
Проверочная работа (п. 19).
4. Составьте ещё несколько пропорций, переставляя её члены.
Переставляем средние, крайние члены или те и другие:
6,72 : x = 3,2 : 1/2 (поменяли средние);
1/2 : 3,2 = x : 6,72 (поменяли крайние);
1/2 : x = 3,2 : 6,72 (поменяли и крайние, и средние);
x : 1/2 = 6,72 : 3,2 (поменяли части равенства).
Во всех: произведение крайних равно 3,36 · … = 6,72 · 1/2 = 3,2 · 1,05.
6,72 : x = 3,2 : 1/2 (поменяли средние);
1/2 : 3,2 = x : 6,72 (поменяли крайние);
1/2 : x = 3,2 : 6,72 (поменяли и крайние, и средние);
x : 1/2 = 6,72 : 3,2 (поменяли части равенства).
Во всех: произведение крайних равно 3,36 · … = 6,72 · 1/2 = 3,2 · 1,05.
Проверочная работа (п. 19). 5*. Допишите задачу так, чтобы она решалась с помощью исходной пропорции: «Улитка проползла 6 м 72 см за 3,2 ч…»
Задача: «Улитка проползла 6 м 72 см за 3,2 ч. Сколько метров проползёт улитка за 1/2 ч, если будет двигаться с той же скоростью?» Решение: пусть x м — путь за 1/2 ч; расстояния относятся как времена: 6,72 : x = 3,2 : 1/2, откуда x = 6,72 · 1/2 : 3,2 = 1,05 м (1 м 5 см).
Оговорка: пропорция в учебнике записана как 6,72 : 3,2 = x : 1/2 (отношение пути ко времени постоянно, равно скорости 2,1 м/ч); обе записи равносильны.
Оговорка: пропорция в учебнике записана как 6,72 : 3,2 = x : 1/2 (отношение пути ко времени постоянно, равно скорости 2,1 м/ч); обе записи равносильны.