19. Пропорция (упражнения 3.39–3.62) — с. 127
Вопросы к п. 19.
Что называют пропорцией?
Назовите крайние и средние члены пропорции x : y = t : z. Сформулируйте основное свойство пропорции. Как проверить, образуют ли два отношения пропорцию?
Как найти неизвестный член пропорции?
Пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d, или a/b = c/d.
В пропорции x : y = t : z крайние члены — x и z, средние члены — y и t.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних: a · d = b · c.
Чтобы проверить, образуют ли два отношения пропорцию, можно найти значения обоих отношений и сравнить их либо проверить, равны ли произведение крайних и произведение средних членов.
Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на другой крайний; неизвестный средний член равен произведению крайних, делённому на другой средний. Например, из 0,6 : x = 4 : 17 получаем x = 0,6 · 17 : 4 = 2,55.
В пропорции x : y = t : z крайние члены — x и z, средние члены — y и t.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних: a · d = b · c.
Чтобы проверить, образуют ли два отношения пропорцию, можно найти значения обоих отношений и сравнить их либо проверить, равны ли произведение крайних и произведение средних членов.
Неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на другой крайний; неизвестный средний член равен произведению крайних, делённому на другой средний. Например, из 0,6 : x = 4 : 17 получаем x = 0,6 · 17 : 4 = 2,55.
3.39. Запишите в виде равенства утверждение: а) 8 так относится к 7, как 4 относится к 3,5; б) 0,6 так относится к 2/3, как 21 относится к 23 1/3; в) отношение 2/9 к 0,2 равно отношению 17 к 15,3. Проверьте, являются ли полученные равенства пропорциями.
а) 8 : 7 = 4 : 3,5. Крайние члены 8 и 3,5: 8 · 3,5 = 28; средние 7 и 4: 7 · 4 = 28. Равны — это пропорция.
б) 0,6 : 2/3 = 21 : 23 1/3. Значение левого отношения: 0,6 · 3/2 = 0,9; правого: 21 : 70/3 = 21 · 3/70 = 0,9. Отношения равны — пропорция.
в) 2/9 : 0,2 = 17 : 15,3. Левое: 2/9 · 5 = 10/9; правое: 17 : 15,3 = 170/153 = 10/9. Равны — пропорция.
б) 0,6 : 2/3 = 21 : 23 1/3. Значение левого отношения: 0,6 · 3/2 = 0,9; правого: 21 : 70/3 = 21 · 3/70 = 0,9. Отношения равны — пропорция.
в) 2/9 : 0,2 = 17 : 15,3. Левое: 2/9 · 5 = 10/9; правое: 17 : 15,3 = 170/153 = 10/9. Равны — пропорция.
3.40. Из каких отношений 0,5 : 2,5, 3,4 : 85, 3/4 : 3,75 можно составить пропорцию?
Найдём значения отношений: 0,5 : 2,5 = 1/5; 3,4 : 85 = 0,04 = 1/25; 3/4 : 3,75 = 0,75 : 3,75 = 1/5. Равные отношения — первое и третье. Пропорцию можно составить из них: 0,5 : 2,5 = 3/4 : 3,75. Второе отношение (1/25) с ними не равно.
3.41. Проверьте, верно ли равенство, используя основное свойство пропорции: а) 2 1/3 : 1 1/2 = 28 : 18; б) 10,5 : 7 = 5 1/4 : 3 1/2; в) 3 1/5 : 8 = 1 : 32; г) 0,43/0,9 = 0,131/0,27; д) 32/4 = 56/7; е) 17/1,4 = 2,4/0,07.
Сравниваем произведение крайних и произведение средних членов.
а) 2 1/3 · 18 = 7/3 · 18 = 42; 1 1/2 · 28 = 42. Равны — верно.
б) 10,5 · 3 1/2 = 36,75; 7 · 5 1/4 = 36,75. Верно.
в) 3 1/5 · 32 = 102,4; 8 · 1 = 8. Не равны — неверно (верно было бы 3 1/5 : 8 = 1 : 2,5).
г) 0,43 · 0,27 = 0,1161; 0,9 · 0,131 = 0,1179. Не равны — неверно.
д) 32 · 7 = 224; 4 · 56 = 224. Верно.
е) 17 · 0,07 = 1,19; 1,4 · 2,4 = 3,36. Не равны — неверно.
Ответ: верны а), б), д); неверны в), г), е).
Оговорка: числа в в), г), е) прочитаны по скану так, как напечатано.
а) 2 1/3 · 18 = 7/3 · 18 = 42; 1 1/2 · 28 = 42. Равны — верно.
б) 10,5 · 3 1/2 = 36,75; 7 · 5 1/4 = 36,75. Верно.
в) 3 1/5 · 32 = 102,4; 8 · 1 = 8. Не равны — неверно (верно было бы 3 1/5 : 8 = 1 : 2,5).
г) 0,43 · 0,27 = 0,1161; 0,9 · 0,131 = 0,1179. Не равны — неверно.
д) 32 · 7 = 224; 4 · 56 = 224. Верно.
е) 17 · 0,07 = 1,19; 1,4 · 2,4 = 3,36. Не равны — неверно.
Ответ: верны а), б), д); неверны в), г), е).
Оговорка: числа в в), г), е) прочитаны по скану так, как напечатано.
3.42. Найдите неизвестный член пропорции: а) t : 42,4 = 26,1 : 63,6; б) 4 1/2 : 2 2/5 = 3 1/4 : t; в) 4,5 : 2,25 = y : 3,5; г) 25/6 : x = 20/21 : 4/7.
а) t = 42,4 · 26,1 : 63,6 = 1106,64 : 63,6 = 17,4.
б) t = 2 2/5 · 3 1/4 : 4 1/2 = 12/5 · 13/4 : 9/2 = 39/5 · 2/9 = 26/15 = 1 11/15.
в) y = 4,5 · 3,5 : 2,25 = 15,75 : 2,25 = 7.
г) x = 25/6 · 4/7 : 20/21 = 50/21 · 21/20 = 5/2 = 2,5.
Ответ: а) 17,4; б) 1 11/15; в) 7; г) 2 1/2.
б) t = 2 2/5 · 3 1/4 : 4 1/2 = 12/5 · 13/4 : 9/2 = 39/5 · 2/9 = 26/15 = 1 11/15.
в) y = 4,5 · 3,5 : 2,25 = 15,75 : 2,25 = 7.
г) x = 25/6 · 4/7 : 20/21 = 50/21 · 21/20 = 5/2 = 2,5.
Ответ: а) 17,4; б) 1 11/15; в) 7; г) 2 1/2.
3.43. Найдите неизвестный член пропорции: а) 42,6/x = 5,34/4,45; б) 32,4/8 = y/0,6; в) 1,7/2,1 = 5,1/p; г) q/0,08 = 9,8/0,28.
а) x = 42,6 · 4,45 : 5,34 = 189,57 : 5,34 = 35,5.
б) y = 32,4 · 0,6 : 8 = 19,44 : 8 = 2,43.
в) p = 2,1 · 5,1 : 1,7 = 10,71 : 1,7 = 6,3.
г) q = 0,08 · 9,8 : 0,28 = 0,784 : 0,28 = 2,8.
б) y = 32,4 · 0,6 : 8 = 19,44 : 8 = 2,43.
в) p = 2,1 · 5,1 : 1,7 = 10,71 : 1,7 = 6,3.
г) q = 0,08 · 9,8 : 0,28 = 0,784 : 0,28 = 2,8.
3.44. Составьте ещё пропорции, переставив члены данной пропорции: а) 4 : 16 = 7 : 28; б) 24/0,4 = 36/0,6; в) p/q = l/k.
В пропорции можно переставлять средние члены, крайние члены, а также делать средние крайними и наоборот.
а) 4 : 7 = 16 : 28 (поменяли средние); 28 : 16 = 7 : 4 (поменяли крайние); 28 : 7 = 16 : 4 (поменяли и те, и другие); 7 : 28 = 4 : 16 (поменяли части равенства).
б) 24/36 = 0,4/0,6; 0,6/0,4 = 36/24; 0,6/36 = 0,4/24; 36/24 = 0,6/0,4.
в) p/l = q/k; k/q = l/p; k/l = q/p; l/p = k/q.
Проверка, например, для а): 4 · 28 = 16 · 7 = 112, и во всех новых пропорциях произведение крайних равно произведению средних.
а) 4 : 7 = 16 : 28 (поменяли средние); 28 : 16 = 7 : 4 (поменяли крайние); 28 : 7 = 16 : 4 (поменяли и те, и другие); 7 : 28 = 4 : 16 (поменяли части равенства).
б) 24/36 = 0,4/0,6; 0,6/0,4 = 36/24; 0,6/36 = 0,4/24; 36/24 = 0,6/0,4.
в) p/l = q/k; k/q = l/p; k/l = q/p; l/p = k/q.
Проверка, например, для а): 4 · 28 = 16 · 7 = 112, и во всех новых пропорциях произведение крайних равно произведению средних.