19. Пропорция (упражнения 3.39–3.62) — с. 128
3.45. Решите пропорцию: а) 13,7/4 = 9t/3,6; б) 1/3 a : 6 = 14 : 0,7; в) 1,5/(a + 0,03) = 6,3/0,21; г) 4 4/5 : 2,5 = 1 1/2 : (0,4 + b).
а) 9t · 4 = 13,7 · 3,6; 36t = 49,32; t = 1,37.
б) 1/3 a · 0,7 = 6 · 14 = 84; 1/3 a = 120; a = 360.
в) (a + 0,03) · 6,3 = 1,5 · 0,21 = 0,315; a + 0,03 = 0,05; a = 0,02.
г) 4 4/5 : 2,5 = 4,8 : 2,5 = 1,92; тогда 0,4 + b = 1 1/2 : 1,92 = 1,5 : 1,92 = 25/32; b = 25/32 − 2/5 = 125/160 − 64/160 = 61/160.
Ответ: а) 1,37; б) 360; в) 0,02; г) 61/160.
Оговорка: в а) знаменатель правой дроби читается как 3,6.
б) 1/3 a · 0,7 = 6 · 14 = 84; 1/3 a = 120; a = 360.
в) (a + 0,03) · 6,3 = 1,5 · 0,21 = 0,315; a + 0,03 = 0,05; a = 0,02.
г) 4 4/5 : 2,5 = 4,8 : 2,5 = 1,92; тогда 0,4 + b = 1 1/2 : 1,92 = 1,5 : 1,92 = 25/32; b = 25/32 − 2/5 = 125/160 − 64/160 = 61/160.
Ответ: а) 1,37; б) 360; в) 0,02; г) 61/160.
Оговорка: в а) знаменатель правой дроби читается как 3,6.
3.46. Составьте восемь пропорций из равенства 12 · 4 = 160 · 0,3.
Произведение 12 · 4 = 48 и 160 · 0,3 = 48. Множители одного произведения становятся крайними членами, другого — средними (и наоборот):
12 : 160 = 0,3 : 4; 0,3 : 4 = 12 : 160;
12 : 0,3 = 160 : 4; 160 : 4 = 12 : 0,3;
4 : 160 = 0,3 : 12; 0,3 : 12 = 4 : 160;
4 : 0,3 = 160 : 12; 160 : 12 = 4 : 0,3.
Проверка первой: 12 · 4 = 48 = 160 · 0,3.
12 : 160 = 0,3 : 4; 0,3 : 4 = 12 : 160;
12 : 0,3 = 160 : 4; 160 : 4 = 12 : 0,3;
4 : 160 = 0,3 : 12; 0,3 : 12 = 4 : 160;
4 : 0,3 = 160 : 12; 160 : 12 = 4 : 0,3.
Проверка первой: 12 · 4 = 48 = 160 · 0,3.
3.47. Вычислите: а) 16 · 10, − 90, : 7, · 5, − 28; б) 800 : 25, · 30, − 510, : 10, · 2; в) 7 : 5, − 0,2, · 6, + 3,8, : 5; г) 0,5 · 20, + 2,3, : 4,1, + 5,2, : 0,2; д) 4 − 2,8, · 7, : 0,4, · 0,01, + 3,3.
Цепочка действий по порядку.
а) 160; 160 − 90 = 70; 70 : 7 = 10; 10 · 5 = 50; 50 − 28 = 22.
б) 800 : 25 = 32; 32 · 30 = 960; 960 − 510 = 450; 450 : 10 = 45; 45 · 2 = 90.
в) 7 : 5 = 1,4; 1,4 − 0,2 = 1,2; 1,2 · 6 = 7,2; 7,2 + 3,8 = 11; 11 : 5 = 2,2.
г) 0,5 · 20 = 10; 10 + 2,3 = 12,3; 12,3 : 4,1 = 3; 3 + 5,2 = 8,2; 8,2 : 0,2 = 41.
д) 4 − 2,8 = 1,2; 1,2 · 7 = 8,4; 8,4 : 0,4 = 21; 21 · 0,01 = 0,21; 0,21 + 3,3 = 3,51.
Ответ: а) 22; б) 90; в) 2,2; г) 41; д) 3,51.
а) 160; 160 − 90 = 70; 70 : 7 = 10; 10 · 5 = 50; 50 − 28 = 22.
б) 800 : 25 = 32; 32 · 30 = 960; 960 − 510 = 450; 450 : 10 = 45; 45 · 2 = 90.
в) 7 : 5 = 1,4; 1,4 − 0,2 = 1,2; 1,2 · 6 = 7,2; 7,2 + 3,8 = 11; 11 : 5 = 2,2.
г) 0,5 · 20 = 10; 10 + 2,3 = 12,3; 12,3 : 4,1 = 3; 3 + 5,2 = 8,2; 8,2 : 0,2 = 41.
д) 4 − 2,8 = 1,2; 1,2 · 7 = 8,4; 8,4 : 0,4 = 21; 21 · 0,01 = 0,21; 0,21 + 3,3 = 3,51.
Ответ: а) 22; б) 90; в) 2,2; г) 41; д) 3,51.
3.48. Подставьте вместо знака вопроса знак действия так, чтобы получилось верное равенство: а) 1 5/6 ? 6/11 = 1; б) 3 ? 2 1/4 = 3/4; в) 5/9 ? 7/9 = 5/7; г) 5/14 ? 0,7 = 1/4.
а) 1 5/6 = 11/6; 11/6 · 6/11 = 1 — умножение.
б) 3 − 2 1/4 = 3/4 — вычитание.
в) 5/9 : 7/9 = 5/7 — деление.
г) 5/14 · 0,7 = 5/14 · 7/10 = 1/4 — умножение.
б) 3 − 2 1/4 = 3/4 — вычитание.
в) 5/9 : 7/9 = 5/7 — деление.
г) 5/14 · 0,7 = 5/14 · 7/10 = 1/4 — умножение.
3.49. Найдите отношение величин: а) 2,4 см к 60 м; б) 10 т к 250 кг; в) 1 мин к 12 с; г) 600 см³ к 2 м³.
Приводим к одной единице.
а) 60 м = 6000 см; 2,4 : 6000 = 0,0004 = 1/2500.
б) 10 т = 10 000 кг; 10 000 : 250 = 40.
в) 1 мин = 60 с; 60 : 12 = 5.
г) 2 м³ = 2 000 000 см³; 600 : 2 000 000 = 0,0003 = 3/10 000.
а) 60 м = 6000 см; 2,4 : 6000 = 0,0004 = 1/2500.
б) 10 т = 10 000 кг; 10 000 : 250 = 40.
в) 1 мин = 60 с; 60 : 12 = 5.
г) 2 м³ = 2 000 000 см³; 600 : 2 000 000 = 0,0003 = 3/10 000.
3.50. Найдите число, если 3/7 этого числа равны 7/18 этого числа.
Пусть число x. 3/7 x = 7/18 x, то есть (3/7 − 7/18) x = 0; 3/7 = 54/126, 7/18 = 49/126, разность 5/126 не равна 0, поэтому x = 0. Ответ: 0.
3.51. Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби 13/33, чтобы получить дробь 1/6?
Пусть вычитаем x: (13 − x)/(33 − x) = 1/6. По основному свойству пропорции 6(13 − x) = 33 − x; 78 − 6x = 33 − x; 45 = 5x; x = 9. Проверка: 4/24 = 1/6 ✓. Ответ: 9.
3.52. Какие фигуры (рис. 3.2) являются развёртками (штрихами отмечены равные отрезки): а) треугольной призмы; б) четырёхугольной призмы; в) треугольной пирамиды?
Считаем грани. У треугольной призмы 5 граней: 3 прямоугольника и 2 треугольника. У четырёхугольной — 6: 4 прямоугольника и 2 четырёхугольника (основания). У треугольной пирамиды 4 грани — все треугольники.
а) Треугольной призмы: A и E (по три прямоугольника и два треугольника).
б) Четырёхугольной призмы: B, F и M (по четыре прямоугольника и два четырёхугольника-основания).
в) Треугольной пирамиды: C, D и N (по четыре треугольника).
Оговорка: рисунки мелкие, ответ дан по числу и форме граней и по отмеченным равным отрезкам.
а) Треугольной призмы: A и E (по три прямоугольника и два треугольника).
б) Четырёхугольной призмы: B, F и M (по четыре прямоугольника и два четырёхугольника-основания).
в) Треугольной пирамиды: C, D и N (по четыре треугольника).
Оговорка: рисунки мелкие, ответ дан по числу и форме граней и по отмеченным равным отрезкам.
3.53. На ёлочной гирлянде из 60 лампочек не горит 6 лампочек. Сколько процентов составляют горящие лампочки от всех лампочек?
Горит 60 − 6 = 54 лампочки. 54 : 60 = 0,9 = 90 %. Ответ: 90 %.