18. Отношения (упражнения 3.1–3.38) — с. 124
3.30. На тренировке у Кати из 18 прыжков на льду не получились 3, а у Даши из 21 прыжка не получились 2. Найдите, какую часть составляют удачные прыжки от числа прыжков для каждой из девочек. Кто прыгает лучше: Катя или Даша?
Катя: удачных 18 − 3 = 15, это 15/18 = 5/6 всех прыжков. Даша: удачных 21 − 2 = 19, это 19/21 всех прыжков.
Сравним: 5/6 = 35/42, 19/21 = 38/42; 38/42 > 35/42, поэтому 19/21 > 5/6 (≈ 0,905 против ≈ 0,833). Лучше прыгает Даша.
Сравним: 5/6 = 35/42, 19/21 = 38/42; 38/42 > 35/42, поэтому 19/21 > 5/6 (≈ 0,905 против ≈ 0,833). Лучше прыгает Даша.
3.31. Володя и Денис соревновались в стрельбе в тире. Володя сделал 60 выстрелов и попал в мишень 42 раза, а Денис сделал 70 выстрелов и попал 56 раз. Кто стреляет лучше?
Доля попаданий у Володи: 42/60 = 7/10 = 70 %. У Дениса: 56/70 = 4/5 = 80 %. 80 % > 70 %, значит, лучше стреляет Денис.
3.32. Для того чтобы заквасить капусту, хозяйка взяла 0,7 кг моркови и 4,9 кг капусты. В каком отношении по массе были взяты морковь и капуста?
0,7 : 4,9 = 7 : 49 = 1 :
7. Ответ: морковь и капуста взяты в отношении 1 : 7 (капусты в 7 раз больше).
3.33. На пути от автовокзала до пункта назначения автобус сделал две остановки. Протяжённость участка дороги до первой остановки равна 32 км, от первой до второй остановки — 28 км, а от второй остановки до пункта назначения — 40 км. Какую часть пути занимает каждый участок?
Весь путь: 32 + 28 + 40 = 100 км. Первый участок: 32/100 = 8/25 пути, второй: 28/100 = 7/25, третий: 40/100 = 2/5. Проверка: 8/25 + 7/25 + 10/25 = 1 ✓.
3.34. Для приготовления рассола при засолке огурцов на 1200 г воды взяли 40 г соли. Найдите процентное содержание соли в рассоле. Рассол получился крепким, поэтому добавили ещё 800 г воды. Каким стало процентное содержание соли в рассоле?
Масса рассола: 1200 + 40 = 1240 г. Содержание соли: 40 : 1240 = 1/31 ≈ 0,0323 → примерно 3,2 %.
После добавления воды масса рассола 1240 + 800 = 2040 г. Содержание соли: 40 : 2040 = 1/51 ≈ 0,0196 → примерно 2,0 %.
Ответ: сначала ≈ 3,2 %, потом ≈ 2 %.
После добавления воды масса рассола 1240 + 800 = 2040 г. Содержание соли: 40 : 2040 = 1/51 ≈ 0,0196 → примерно 2,0 %.
Ответ: сначала ≈ 3,2 %, потом ≈ 2 %.
3.35. Школьники собрали за год 720 кг макулатуры, превысив прошлогодний рекорд на 100 кг. На сколько процентов больше собрано макулатуры в этом году?
Прошлогодний рекорд: 720 − 100 = 620 кг. Превышение: 100 : 620 = 5/31 ≈ 0,1613 → 16 4/31 % (≈ 16,1 %). Ответ: на 16 4/31 % (≈ 16,1 %).
3.36. Среди ребят, занимающихся в спортивном центре, 44 % занимается футболом, 27 % — баскетболом, остальные — лёгкой атлетикой.
а) Какой процент составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся игровыми видами спорта?
б) Какой процент составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся футболом или лёгкой атлетикой?
а) Какой процент составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся игровыми видами спорта?
б) Какой процент составляют ребята, занимающиеся футболом, от ребят, занимающихся футболом или лёгкой атлетикой?
Лёгкой атлетикой занимаются 100 % − 44 % − 27 % = 29 %.
а) Игровые виды спорта — футбол и баскетбол: 44 % + 27 % = 71 %. 44 : 71 = 0,6197… → 61 69/71 % (≈ 62 %).
б) Футбол или лёгкая атлетика: 44 % + 29 % = 73 %. 44 : 73 = 0,6027… → 60 20/73 % (≈ 60 %).
Ответ: а) 61 69/71 %; б) 60 20/73 %.
а) Игровые виды спорта — футбол и баскетбол: 44 % + 27 % = 71 %. 44 : 71 = 0,6197… → 61 69/71 % (≈ 62 %).
б) Футбол или лёгкая атлетика: 44 % + 29 % = 73 %. 44 : 73 = 0,6027… → 60 20/73 % (≈ 60 %).
Ответ: а) 61 69/71 %; б) 60 20/73 %.
3.37. Измерения первого прямоугольного параллелепипеда a см, b см и c см, а второго — x см, y см и z см. Найдите отношение объёма первого параллелепипеда к объёму второго и вычислите его значение при a = 8, b = 5, c = 0,2, x = 15, y = 4, z = 0,3.
Объёмы: V₁ = abc, V₂ = xyz. Отношение: V₁ : V₂ = abc/(xyz).
При данных значениях: V₁ = 8 · 5 · 0,2 = 8 см³; V₂ = 15 · 4 · 0,3 = 18 см³. Отношение: 8/18 = 4/9.
При данных значениях: V₁ = 8 · 5 · 0,2 = 8 см³; V₂ = 15 · 4 · 0,3 = 18 см³. Отношение: 8/18 = 4/9.
3.38. Выполните действия: а) (3 1/12 + 2 1/6 − 1/8)/(1,4 + 0,6 · 4,5); б) ((10 10/11 : 12)/(2 21/22)) · 6 1/2; в) ((8 : 2 2/5)/(5 1/4 : 7)) : ((2 1/7 : 5/7)/(4 : 8/9)).
а) Числитель: 3 1/12 + 2 2/12 = 5 3/12 = 5 1/4; 5 1/4 − 1/8 = 5 1/8 = 41/8. Знаменатель: 0,6 · 4,5 = 2,7; 1,4 + 2,7 = 4,1 = 41/10. Значение: 41/8 : 41/10 = 10/8 = 1 1/4.
б) 10 10/11 = 120/11; 120/11 : 12 = 10/11. 2 21/22 = 65/22. 10/11 : 65/22 = 10/11 · 22/65 = 4/13. 4/13 · 6 1/2 = 4/13 · 13/2 = 2.
в) 8 : 2 2/5 = 8 : 12/5 = 10/3; 5 1/4 : 7 = 21/4 : 7 = 3/4; первая дробь 10/3 : 3/4 = 40/9. 2 1/7 : 5/7 = 15/7 · 7/5 = 3; 4 : 8/9 = 9/2; вторая дробь 3 : 9/2 = 2/3. Результат: 40/9 : 2/3 = 40/9 · 3/2 = 20/3 = 6 2/3.
Ответ: а) 1 1/4; б) 2; в) 6 2/3.
б) 10 10/11 = 120/11; 120/11 : 12 = 10/11. 2 21/22 = 65/22. 10/11 : 65/22 = 10/11 · 22/65 = 4/13. 4/13 · 6 1/2 = 4/13 · 13/2 = 2.
в) 8 : 2 2/5 = 8 : 12/5 = 10/3; 5 1/4 : 7 = 21/4 : 7 = 3/4; первая дробь 10/3 : 3/4 = 40/9. 2 1/7 : 5/7 = 15/7 · 7/5 = 3; 4 : 8/9 = 9/2; вторая дробь 3 : 9/2 = 2/3. Результат: 40/9 : 2/3 = 40/9 · 3/2 = 20/3 = 6 2/3.
Ответ: а) 1 1/4; б) 2; в) 6 2/3.
Проверочная работа № 1 (п. 18).
1. Найдите отношение: а) 125 к 5; б) 5 к 125; в) 0,4 к 25; г) 0,7 к 0,2; д) 2 3/4 к 3 1/5; е) 4 2/7 к 0,14.
Отношение — частное первого числа и второго.
а) 125 : 5 = 25.
б) 5 : 125 = 1/25 = 0,04.
в) 0,4 : 25 = 0,016 = 2/125.
г) 0,7 : 0,2 = 7 : 2 = 3,5 (3 1/2).
д) 2 3/4 : 3 1/5 = 11/4 : 16/5 = 11/4 · 5/16 = 55/64.
е) 4 2/7 : 0,14 = 30/7 : 7/50 = 30/7 · 50/7 = 1500/49 = 30 30/49.
а) 125 : 5 = 25.
б) 5 : 125 = 1/25 = 0,04.
в) 0,4 : 25 = 0,016 = 2/125.
г) 0,7 : 0,2 = 7 : 2 = 3,5 (3 1/2).
д) 2 3/4 : 3 1/5 = 11/4 : 16/5 = 11/4 · 5/16 = 55/64.
е) 4 2/7 : 0,14 = 30/7 : 7/50 = 30/7 · 50/7 = 1500/49 = 30 30/49.