18. Отношения (упражнения 3.1–3.38) — с. 123
3.21. Выполните вычисления в цепочке. а) 1/3 → · 2 → : 1/2 → − 1 1/6 → ?; б) от числа 6 по кругу: : 9, + 1/4, · 12/11, : 1 4/7, · 9 3/7.
а) 1/3 · 2 = 2/3; 2/3 : 1/2 = 2/3 · 2 = 4/3 = 1 1/3; 1 1/3 − 1 1/6 = 1/6. Значение в квадратике: 1/6.
б) 6 : 9 = 2/3; 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12; 11/12 · 12/11 = 1; 1 : 1 4/7 = 1 : 11/7 = 7/11; 7/11 · 9 3/7 = 7/11 · 66/7 = 6. Круг замкнулся: в конце снова получилось число 6, что подтверждает вычисления.
Оговорка: на схеме а) последний знак читается как «−», а число 1 1/6 (знаменатель 6).
б) 6 : 9 = 2/3; 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12; 11/12 · 12/11 = 1; 1 : 1 4/7 = 1 : 11/7 = 7/11; 7/11 · 9 3/7 = 7/11 · 66/7 = 6. Круг замкнулся: в конце снова получилось число 6, что подтверждает вычисления.
Оговорка: на схеме а) последний знак читается как «−», а число 1 1/6 (знаменатель 6).
3.22. На сколько надо уменьшить знаменатель дробей 3/17, 6/32, 7/55, 2/13, чтобы получить дробь 1/5?
Дробь равна 1/5, когда знаменатель в 5 раз больше числителя.
3/17: нужен знаменатель 3 · 5 = 15; 17 − 15 = 2 — уменьшить на 2.
6/32: нужен 6 · 5 = 30; 32 − 30 = 2 — уменьшить на 2.
7/55: нужен 7 · 5 = 35; 55 − 35 = 20 — уменьшить на 20.
2/13: нужен 2 · 5 = 10; 13 − 10 = 3 — уменьшить на 3.
3/17: нужен знаменатель 3 · 5 = 15; 17 − 15 = 2 — уменьшить на 2.
6/32: нужен 6 · 5 = 30; 32 − 30 = 2 — уменьшить на 2.
7/55: нужен 7 · 5 = 35; 55 − 35 = 20 — уменьшить на 20.
2/13: нужен 2 · 5 = 10; 13 − 10 = 3 — уменьшить на 3.
3.23. Выразите в процентах число: 0,3; 0,85; 1/2; 4/5; 3/4; 7/20; 1; 4; 4 9/25; 16 11/40.
Чтобы выразить число в процентах, умножаем его на 100 %.
0,3 = 30 %; 0,85 = 85 %; 1/2 = 0,5 = 50 %; 4/5 = 0,8 = 80 %; 3/4 = 0,75 = 75 %; 7/20 = 0,35 = 35 %; 1 = 100 %; 4 = 400 %; 4 9/25 = 4,36 = 436 %; 16 11/40 = 16,275 = 1627,5 %.
0,3 = 30 %; 0,85 = 85 %; 1/2 = 0,5 = 50 %; 4/5 = 0,8 = 80 %; 3/4 = 0,75 = 75 %; 7/20 = 0,35 = 35 %; 1 = 100 %; 4 = 400 %; 4 9/25 = 4,36 = 436 %; 16 11/40 = 16,275 = 1627,5 %.
3.24. Четверть от половины числа равна одной четвёртой. Найдите это число.
Половина числа, а от неё четверть — это 1/2 · 1/4 = 1/8 числа. 1/8 числа равна 1/4, значит, число равно 1/4 : 1/8 = 2. Проверка: половина от 2 равна 1; четверть от 1 равна 1/4 ✓. Ответ: 2.
3.25. Развивай внимание. Кто быстрее найдёт в таблице последовательно все числа от 26 до 50?
(Таблицы а) и б), по 5 строк и 5 столбцов.)
Числа ищем по порядку: 26, 27, …, 50. Приводим положение каждого числа (строка, столбец).
Таблица а): 26 (1; 4), 27 (5; 5), 28 (2; 3), 29 (3; 4), 30 (1; 5), 31 (2; 5), 32 (5; 1), 33 (1; 2), 34 (3; 3), 35 (4; 3), 36 (1; 3), 37 (2; 4), 38 (4; 4), 39 (2; 2), 40 (1; 1), 41 (2; 1), 42 (3; 1), 43 (3; 5), 44 (4; 1), 45 (5; 3), 46 (4; 5), 47 (3; 2), 48 (5; 2), 49 (4; 2), 50 (5; 4).
Таблица б): 26 (4; 5), 27 (2; 1), 28 (4; 3), 29 (5; 1), 30 (1; 4), 31 (3; 5), 32 (5; 4), 33 (1; 5), 34 (3; 3), 35 (5; 5), 36 (2; 5), 37 (1; 3), 38 (4; 1), 39 (2; 4), 40 (5; 2), 41 (3; 2), 42 (2; 3), 43 (3; 4), 44 (2; 2), 45 (5; 3), 46 (1; 2), 47 (1; 1), 48 (4; 2), 49 (4; 4), 50 (3; 1).
В каждой таблице встречаются все 25 чисел от 26 до 50 по одному разу. Задание на скорость: ответ зависит от того, кто быстрее находит числа.
Таблица а): 26 (1; 4), 27 (5; 5), 28 (2; 3), 29 (3; 4), 30 (1; 5), 31 (2; 5), 32 (5; 1), 33 (1; 2), 34 (3; 3), 35 (4; 3), 36 (1; 3), 37 (2; 4), 38 (4; 4), 39 (2; 2), 40 (1; 1), 41 (2; 1), 42 (3; 1), 43 (3; 5), 44 (4; 1), 45 (5; 3), 46 (4; 5), 47 (3; 2), 48 (5; 2), 49 (4; 2), 50 (5; 4).
Таблица б): 26 (4; 5), 27 (2; 1), 28 (4; 3), 29 (5; 1), 30 (1; 4), 31 (3; 5), 32 (5; 4), 33 (1; 5), 34 (3; 3), 35 (5; 5), 36 (2; 5), 37 (1; 3), 38 (4; 1), 39 (2; 4), 40 (5; 2), 41 (3; 2), 42 (2; 3), 43 (3; 4), 44 (2; 2), 45 (5; 3), 46 (1; 2), 47 (1; 1), 48 (4; 2), 49 (4; 4), 50 (3; 1).
В каждой таблице встречаются все 25 чисел от 26 до 50 по одному разу. Задание на скорость: ответ зависит от того, кто быстрее находит числа.
3.26. Вычислите значение выражения: а) 0,3 · 5/6; б) 5/6 : 0,6; в) (2 2/7 + 1 3/14)/3,5; г) 6,3/(2 1/3 − 1 1/6); д) (7,2 · 1,6)/(0,4 · 0,8); е) 2,7/0,09.
а) 3/10 · 5/6 = 1/4 (= 0,25).
б) 5/6 : 3/5 = 5/6 · 5/3 = 25/18 = 1 7/18.
в) 2 4/14 + 1 3/14 = 3 7/14 = 3,5; 3,5 : 3,5 = 1.
г) 2 1/3 − 1 1/6 = 2 2/6 − 1 1/6 = 1 1/6 = 7/6; 6,3 : 7/6 = 6,3 · 6/7 = 5,4.
д) 7,2 · 1,6 = 11,52; 0,4 · 0,8 = 0,32; 11,52 : 0,32 = 36.
е) 2,7 : 0,09 = 270 : 9 = 30.
Ответ: а) 1/4; б) 1 7/18; в) 1; г) 5,4; д) 36; е) 30.
б) 5/6 : 3/5 = 5/6 · 5/3 = 25/18 = 1 7/18.
в) 2 4/14 + 1 3/14 = 3 7/14 = 3,5; 3,5 : 3,5 = 1.
г) 2 1/3 − 1 1/6 = 2 2/6 − 1 1/6 = 1 1/6 = 7/6; 6,3 : 7/6 = 6,3 · 6/7 = 5,4.
д) 7,2 · 1,6 = 11,52; 0,4 · 0,8 = 0,32; 11,52 : 0,32 = 36.
е) 2,7 : 0,09 = 270 : 9 = 30.
Ответ: а) 1/4; б) 1 7/18; в) 1; г) 5,4; д) 36; е) 30.
3.27. На печать художественной литературы израсходовали 3/4 привезённой в типографию бумаги, а на детскую литературу ушло 2/9 от количества бумаги, израсходованного на художественную литературу. Сколько бумаги израсходовали на детскую литературу, если всего привезли 24 т бумаги?
На художественную литературу: 24 · 3/4 = 18 т. На детскую: 18 · 2/9 = 4 т. Ответ: 4 т.
3.28. Напольной плиткой покрыто 2/5 площади квартиры. На пол на кухне ушло 17,5 м² плитки, что составило 5/9 всей напольной плитки. Какова площадь квартиры?
Вся напольная плитка: 17,5 : 5/9 = 17,5 · 9/5 = 31,5 м². Она покрывает 2/5 квартиры: 31,5 : 2/5 = 31,5 · 5/2 = 78,75 м². Ответ: 78,75 м².
3.29. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, у которого: 1) ширина 1,5 м и составляет 5/6 длины, а высота в 1,8 раза меньше длины; 2) длина 15,3 м и составляет 0,9 высоты, а высота в 3,4 раза больше ширины.
1) Длина: 1,5 : 5/6 = 1,5 · 6/5 = 1,8 м. Высота: 1,8 : 1,8 = 1 м. Объём: 1,8 · 1,5 · 1 = 2,7 м³.
2) Высота: 15,3 : 0,9 = 17 м. Ширина: 17 : 3,4 = 5 м. Объём: 15,3 · 5 · 17 = 1300,5 м³.
Ответ: 1) 2,7 м³; 2) 1300,5 м³.
2) Высота: 15,3 : 0,9 = 17 м. Ширина: 17 : 3,4 = 5 м. Объём: 15,3 · 5 · 17 = 1300,5 м³.
Ответ: 1) 2,7 м³; 2) 1300,5 м³.