18. Отношения (упражнения 3.1–3.38) — с. 121
3.1. Составьте отношения чисел: 113 к 5; 21 к 30; 11,3 к 1/2; 6,78 к 0,3; 5 2/5 к 7,4; 0,55 к 0,77. Какие из них равны?
Отношение — это частное: найдём значения.
113 : 5 = 22,6.
21 : 30 = 0,7.
11,3 : 1/2 = 11,3 · 2 = 22,6.
6,78 : 0,3 = 67,8 : 3 = 22,6.
5 2/5 : 7,4 = 5,4 : 7,4 = 27/37 ≈ 0,73.
0,55 : 0,77 = 55 : 77 = 5/7 ≈ 0,71.
Равны отношения 113 к 5, 11,3 к 1/2 и 6,78 к 0,3 (все равны 22,6). Остальные три отношения (0,7; 27/37; 5/7) различны.
113 : 5 = 22,6.
21 : 30 = 0,7.
11,3 : 1/2 = 11,3 · 2 = 22,6.
6,78 : 0,3 = 67,8 : 3 = 22,6.
5 2/5 : 7,4 = 5,4 : 7,4 = 27/37 ≈ 0,73.
0,55 : 0,77 = 55 : 77 = 5/7 ≈ 0,71.
Равны отношения 113 к 5, 11,3 к 1/2 и 6,78 к 0,3 (все равны 22,6). Остальные три отношения (0,7; 27/37; 5/7) различны.
3.2. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых чисел: а) 0,5 : 2,5; б) 6 4/17 : 19/17; в) 1,65 : 6 5/12.
Отношение не изменится, если оба числа умножить на одно и то же число.
а) 0,5 : 2,5 = 5 : 25 = 1 : 5 (умножили на 10 и сократили на 5).
б) 6 4/17 = 106/17; 106/17 : 19/17 — умножаем оба числа на 17: 106 : 19.
в) 1,65 : 6 5/12 = 33/20 : 77/12. Умножим на 60: 33 · 3 : 77 · 5 = 99 : 385; сокращаем на 11: 9 : 35.
а) 0,5 : 2,5 = 5 : 25 = 1 : 5 (умножили на 10 и сократили на 5).
б) 6 4/17 = 106/17; 106/17 : 19/17 — умножаем оба числа на 17: 106 : 19.
в) 1,65 : 6 5/12 = 33/20 : 77/12. Умножим на 60: 33 · 3 : 77 · 5 = 99 : 385; сокращаем на 11: 9 : 35.
3.3. Тесто разделили на две части: для пирожков с капустой 890 г и для пирожков с мясом 980 г. Какую часть теста взяли для пирожков с капустой?
Какую часть теста взяли для пирожков с мясом?
Какую часть тесто для пирожков с капустой составляет от теста для пирожков с мясом?
Всего теста 890 + 980 = 1870 г.
Для капусты: 890/1870 = 89/187 теста.
Для мяса: 980/1870 = 98/187 теста.
Тесто для капусты составляет от теста для мяса 890/980 = 89/98.
Для капусты: 890/1870 = 89/187 теста.
Для мяса: 980/1870 = 98/187 теста.
Тесто для капусты составляет от теста для мяса 890/980 = 89/98.
3.4. На отрезке AB отмечена точка D, так что AD = 11 см и BD = 55 см. Какую часть отрезка AB составляет отрезок BD?
Какую часть отрезка AB составляет отрезок AD?
AB = AD + BD = 11 + 55 = 66 см. BD составляет 55/66 = 5/6 отрезка AB. AD составляет 11/66 = 1/6 отрезка AB. Проверка: 5/6 + 1/6 = 1 ✓.
3.5. Ширина прямоугольника равна 12,4 см. Найдите отношение ширины к длине прямоугольника, если его площадь равна 17,98 см². Запишите отношение, обратное полученному отношению. Что показывают эти отношения?
Длина: 17,98 : 12,4 = 1,45 см. Отношение ширины к длине: 12,4 : 1,45 = 1240 : 145 = 248 : 29 = 8 16/29 (≈ 8,55). Обратное отношение — длины к ширине: 1,45 : 12,4 = 29/248 (≈ 0,117).
Первое отношение показывает, что ширина больше длины в 8 16/29 раза; второе — что длина составляет 29/248 ширины.
Оговорка: в условии «ширина» больше «длины», так что роли сторон лишь названы так, как напечатано.
Первое отношение показывает, что ширина больше длины в 8 16/29 раза; второе — что длина составляет 29/248 ширины.
Оговорка: в условии «ширина» больше «длины», так что роли сторон лишь названы так, как напечатано.
3.6. Начертите прямоугольники, отношение сторон которых равно: а) 2 : 1; б) 1 : 1; в) 2 :
3. Как называется прямоугольник в случае б)?
Берём стороны, длины которых относятся как заданные числа (можно любую пару, пропорциональную данной).
а) 2 : 1 — например, 4 см и 2 см.
б) 1 : 1 — стороны равны, например, 3 см и 3 см.
в) 2 : 3 — например, 4 см и 6 см.
В случае б) все стороны равны, такой прямоугольник называется квадратом.
а) 2 : 1 — например, 4 см и 2 см.
б) 1 : 1 — стороны равны, например, 3 см и 3 см.
в) 2 : 3 — например, 4 см и 6 см.
В случае б) все стороны равны, такой прямоугольник называется квадратом.
3.7. В каком отношении в сплаве взяты олово и сурьма, если сплав содержит 3,76 кг олова и 0,8 кг сурьмы?
Какую часть сплава (по массе) составляет олово и какую часть — сурьма?
Отношение олова к сурьме: 3,76 : 0,8 = 376 : 80 = 47 : 10 (в 4,7 раза). Масса сплава 3,76 + 0,8 = 4,56 кг. Олово составляет 3,76/4,56 = 47/57 сплава (≈ 82,5 %), сурьма — 0,8/4,56 = 10/57 (≈ 17,5 %). Проверка: 47/57 + 10/57 = 1 ✓.
3.8. Урок истории длился 45 мин, из них 25 мин ушло на просмотр документального фильма. Какую часть урока занял просмотр фильма?
25 : 45 = 5/9. Ответ: просмотр фильма занял 5/9 урока.
3.9. На клумбе 42 тюльпана. Из них 24 красных, а остальные — белые. Какую часть тюльпанов составляют белые тюльпаны, а какую — красные?
Чему равно отношение числа красных тюльпанов к числу белых тюльпанов и что оно показывает?
Белых: 42 − 24 = 18. Белые составляют 18/42 = 3/7 всех тюльпанов, красные — 24/42 = 4/7.
Отношение красных к белым: 24 : 18 = 4 : 3 = 1 1/3. Оно показывает, что красных тюльпанов в 1 1/3 раза больше, чем белых (на каждые 4 красных приходится 3 белых).
Отношение красных к белым: 24 : 18 = 4 : 3 = 1 1/3. Оно показывает, что красных тюльпанов в 1 1/3 раза больше, чем белых (на каждые 4 красных приходится 3 белых).
3.10. Две проходческие бригады строили тоннель, двигаясь навстречу друг другу. Первая бригада построила 5/9 всего тоннеля, а вторая — остальную часть. Во сколько раз часть тоннеля, построенная первой бригадой, больше части, построенной второй бригадой?
Вторая бригада построила 1 − 5/9 = 4/9 тоннеля. Отношение: 5/9 : 4/9 = 5/4 = 1 1/4. Ответ: в 1 1/4 раза (1,25).
3.11. Три токаря сделали несколько деталей. Первый сделал четверть всех деталей, второй — треть всех деталей, третий — оставшиеся. Во сколько раз третий токарь сделал больше деталей, чем первый?
Какую часть составляют детали, сделанные вторым токарем, от деталей, сделанных третьим токарем?
Третий сделал 1 − 1/4 − 1/3 = 12/12 − 3/12 − 4/12 = 5/12 всех деталей.
Третий к первому: 5/12 : 1/4 = 5/12 · 4 = 5/3 = 1 2/3 раза.
Второй от третьего: 1/3 : 5/12 = 1/3 · 12/5 = 4/5.
Ответ: в 1 2/3 раза; 4/5.
Третий к первому: 5/12 : 1/4 = 5/12 · 4 = 5/3 = 1 2/3 раза.
Второй от третьего: 1/3 : 5/12 = 1/3 · 12/5 = 4/5.
Ответ: в 1 2/3 раза; 4/5.