Применяем математику (к § 2) — с. 118
Применяем математику.
13. Известному писателю Л. Н. Толстому очень нравилась следующая задача. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?
Пусть в артели n косцов, а один косец за день косит 1 «долю» работы.
Большой луг: полдня косили n косцов, потом полдня n/2 косцов: n/2 + n/4 = 3n/4 косцо-дней.
Малый луг вдвое меньше: 3n/8 косцо-дней. Во вторую половину дня на нём работали n/2 косцов в течение половины дня: n/4 косцо-дней. Остался участок 3n/8 − n/4 = n/8 косцо-дней, это работа одного косца за один день, то есть 1.
n/8 = 1, n = 8.
Проверка: большой луг — 3 · 8/4 = 6 косцо-дней, малый — 3; в первую половину дня 8 · 1/2 = 4, после обеда 4 · 1/2 = 2 → большой луг скошен (6); на малом сделано 4 · 1/2 = 2 из 3, остался 1 день работы ✓.
Ответ: 8 косцов.
Большой луг: полдня косили n косцов, потом полдня n/2 косцов: n/2 + n/4 = 3n/4 косцо-дней.
Малый луг вдвое меньше: 3n/8 косцо-дней. Во вторую половину дня на нём работали n/2 косцов в течение половины дня: n/4 косцо-дней. Остался участок 3n/8 − n/4 = n/8 косцо-дней, это работа одного косца за один день, то есть 1.
n/8 = 1, n = 8.
Проверка: большой луг — 3 · 8/4 = 6 косцо-дней, малый — 3; в первую половину дня 8 · 1/2 = 4, после обеда 4 · 1/2 = 2 → большой луг скошен (6); на малом сделано 4 · 1/2 = 2 из 3, остался 1 день работы ✓.
Ответ: 8 косцов.
Применяем математику.
14. Задача Л. Ф. Магницкого. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот, работав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчёт 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, колики цены оный кафтан был.
Пусть кафтан стоил x рублей. За год работник должен был получить 12 + x рублей, за 7 месяцев — 7/12 этой суммы. По условию он получил 5 рублей и кафтан, то есть 5 + x.
7/12 · (12 + x) = 5 + x; 7 · (12 + x) = 12 · (5 + x); 84 + 7x = 60 + 12x; 5x = 24; x = 4,8.
Проверка: 7/12 · 16,8 = 9,8 = 5 + 4,8 ✓.
Ответ: кафтан стоил 4 р. 80 коп. (4,8 р.).
7/12 · (12 + x) = 5 + x; 7 · (12 + x) = 12 · (5 + x); 84 + 7x = 60 + 12x; 5x = 24; x = 4,8.
Проверка: 7/12 · 16,8 = 9,8 = 5 + 4,8 ✓.
Ответ: кафтан стоил 4 р. 80 коп. (4,8 р.).
Применяем математику.
15. К табунщику пришли три казака покупать лошадей. «Хорошо, я вам продам лошадей, — сказал табунщик, — первому продам я полтабуна и ещё половину лошади, второму — половину оставшихся лошадей и ещё пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей». Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько лошадей продал табунщик каждому из казаков?
Решаем с конца. После третьего казака осталось 5 лошадей. Третий получил половину оставшихся и ещё пол-лошади, значит, до него было n, где n − (n/2 + 1/2) = 5, n/2 = 5 1/2, n = 11. Третьему досталось 11/2 + 1/2 = 6.
До второго было m, где m/2 − 1/2 = 11, m = 23; второму досталось 23/2 + 1/2 = 12.
Вначале было T, где T/2 − 1/2 = 23, T = 47; первому досталось 47/2 + 1/2 = 24.
Проверка: 24 + 12 + 6 + 5 = 47 ✓ (все числа целые, лошадей не делили).
Ответ: первому казаку 24 лошади, второму 12, третьему 6 (себе табунщик оставил 5, всего было 47).
До второго было m, где m/2 − 1/2 = 11, m = 23; второму досталось 23/2 + 1/2 = 12.
Вначале было T, где T/2 − 1/2 = 23, T = 47; первому досталось 47/2 + 1/2 = 24.
Проверка: 24 + 12 + 6 + 5 = 47 ✓ (все числа целые, лошадей не делили).
Ответ: первому казаку 24 лошади, второму 12, третьему 6 (себе табунщик оставил 5, всего было 47).
Применяем математику.
16. Длина маршрутной тропы на гору Малое Седло в Кисловодске равна 5,4 км. Подняться на гору можно разными способами: 1) пройти по тропе пешком; 2) подняться в вагончике канатной дороги, который едет 1/16 ч. Затем пройти оставшиеся 2 км. Рассчитайте время различных вариантов похода, если обычно средняя скорость восхождения на гору составляет 1,5 км/ч, а спуска — в два с половиной раза больше. При этом не забудьте добавить время на то, чтобы поесть, полюбоваться чудесными видами природы и отдохнуть.
Скорость спуска: 1,5 · 2,5 = 3,75 км/ч.
Вариант 1 (подъём и спуск пешком по тропе). Подъём: 5,4 : 1,5 = 3,6 ч. Спуск: 5,4 : 3,75 = 1,44 ч. Всего в пути 3,6 + 1,44 = 5,04 ч ≈ 5 ч 2 мин.
Вариант 2 (вверх на канатной дороге и ещё 2 км пешком, вниз по тропе). Подъём: 1/16 ч + 2 : 1,5 = 1/16 + 4/3 = 67/48 ч ≈ 1,4 ч (≈ 1 ч 24 мин). Спуск пешком по тропе 5,4 км: 1,44 ч (≈ 1 ч 26 мин). Всего в пути ≈ 2,84 ч ≈ 2 ч 50 мин.
Добавим время на еду, отдых и осмотр, например 1 ч: по первому варианту поход займёт около 6 ч, по второму — около 3 ч 50 мин.
Второй вариант выгоднее по времени примерно на 2 ч 12 мин.
Оговорка: время на отдых в условии не задано, поэтому взято 1 ч как пример; при другом значении добавьте его к обоим вариантам.
Вариант 1 (подъём и спуск пешком по тропе). Подъём: 5,4 : 1,5 = 3,6 ч. Спуск: 5,4 : 3,75 = 1,44 ч. Всего в пути 3,6 + 1,44 = 5,04 ч ≈ 5 ч 2 мин.
Вариант 2 (вверх на канатной дороге и ещё 2 км пешком, вниз по тропе). Подъём: 1/16 ч + 2 : 1,5 = 1/16 + 4/3 = 67/48 ч ≈ 1,4 ч (≈ 1 ч 24 мин). Спуск пешком по тропе 5,4 км: 1,44 ч (≈ 1 ч 26 мин). Всего в пути ≈ 2,84 ч ≈ 2 ч 50 мин.
Добавим время на еду, отдых и осмотр, например 1 ч: по первому варианту поход займёт около 6 ч, по второму — около 3 ч 50 мин.
Второй вариант выгоднее по времени примерно на 2 ч 12 мин.
Оговорка: время на отдых в условии не задано, поэтому взято 1 ч как пример; при другом значении добавьте его к обоим вариантам.