Применяем математику (к § 2) — с. 117
Применяем математику.
5. В небольшом городе 10 памятников архитектуры (рис. 2.14). Туристу хочется посетить их все, не проходя дважды по одной и той же улице. Может ли он это сделать?
Это задача об обходе схемы улиц без повторений. Маршрут, проходящий по каждой улице не более одного раза, существует, если на схеме можно выбрать начало и конец пути так, чтобы в остальных узлах (перекрёстках и площадях) на входе и выходе приходилось одинаковое число улиц, а все памятники лежат в одной связной части схемы. Тупики с памятниками (дальние концы улиц) допустимы только в начале и в конце маршрута: из тупика нельзя выйти, не пройдя по той же улице второй раз.
На рис. 2.14 все 10 флажков соединены улицами в единую сеть с единственным входом снизу. Схема нарисована как сплетение узких проходов, и разглядеть по скану каждый перекрёсток и каждый тупик однозначно нельзя, поэтому конкретный маршрут здесь не называем.
Оговорка: ответа к этому заданию в учебнике нет, а рисунок на скане нечёткий; определённый вывод («может» или «не может») здесь не утверждается — проверьте по рисунку, не остаётся ли после выбора начала и конца пути лишних тупиков с памятниками.
На рис. 2.14 все 10 флажков соединены улицами в единую сеть с единственным входом снизу. Схема нарисована как сплетение узких проходов, и разглядеть по скану каждый перекрёсток и каждый тупик однозначно нельзя, поэтому конкретный маршрут здесь не называем.
Оговорка: ответа к этому заданию в учебнике нет, а рисунок на скане нечёткий; определённый вывод («может» или «не может») здесь не утверждается — проверьте по рисунку, не остаётся ли после выбора начала и конца пути лишних тупиков с памятниками.
Применяем математику.
6. В магазине продают два сорта конфет по цене 200 р. и 300 р. Стоимость конфет каждого сорта для приготовления ассорти одинакова. По какой цене надо продавать ассорти этих конфет, чтобы не обмануть покупателя и магазину не иметь убытка?
Возьмём на ассорти по 600 р. конфет каждого сорта (стоимость одинакова). Конфет по 200 р. получится 600 : 200 = 3 кг, по 300 р. — 600 : 300 = 2 кг. Всего 3 + 2 = 5 кг, они стоят 600 + 600 = 1200 р. Цена 1 кг ассорти: 1200 : 5 = 240 р. Так продавать ассорти не в убыток магазину и без обмана покупателя.
Ответ: 240 р. за 1 кг.
(Простое среднее арифметическое цен, 250 р., здесь не подходит: конфет дешёвого сорта в смеси больше, чем дорогого.)
Ответ: 240 р. за 1 кг.
(Простое среднее арифметическое цен, 250 р., здесь не подходит: конфет дешёвого сорта в смеси больше, чем дорогого.)
Применяем математику.
7. По рецепту для приготовления трёх порций молочного коктейля требуется: 250 г молока, 8 столовых ложек мороженого и по 2 ложки или варенья, или мёда, или сиропа. Нужно приготовить коктейль для 8 гостей. Найдите массу каждого продукта для приготовления коктейля. Одна столовая ложка мороженого, варенья, мёда или сиропа содержит 15 г данного продукта.
Рецепт рассчитан на 3 порции, а нужно 8, то есть в 8/3 раза больше.
Молоко: 250 · 8/3 = 2000/3 = 666 2/3 г (≈ 667 г).
Мороженое: 8 ложек · 8/3 = 64/3 = 21 1/3 ложки; масса 21 1/3 · 15 = 320 г.
Варенье (или мёд, или сироп — что-то одно по выбору): 2 · 8/3 = 5 1/3 ложки; масса 5 1/3 · 15 = 80 г.
Ответ: молока ≈ 667 г, мороженого 320 г, варенья (или мёда, или сиропа) 80 г.
Молоко: 250 · 8/3 = 2000/3 = 666 2/3 г (≈ 667 г).
Мороженое: 8 ложек · 8/3 = 64/3 = 21 1/3 ложки; масса 21 1/3 · 15 = 320 г.
Варенье (или мёд, или сироп — что-то одно по выбору): 2 · 8/3 = 5 1/3 ложки; масса 5 1/3 · 15 = 80 г.
Ответ: молока ≈ 667 г, мороженого 320 г, варенья (или мёда, или сиропа) 80 г.
Применяем математику.
8. Участники благотворительного концерта передали 5,7 млн р. городу, пострадавшему после наводнения. На ремонт школ и детских садов было использовано 5/16 этой суммы, на отправку детей на отдых в другие регионы — 3/16 этой суммы, на ремонт больниц — в 2 раза больше, чем на отдых детей, оставшуюся сумму направили на ремонт стадиона. Сколько денег было направлено на ремонт стадиона и на отдых детей?
На больницы: 2 · 3/16 = 6/16 суммы. Всего на школы, отдых и больницы: 5/16 + 3/16 + 6/16 = 14/16. На стадион: 1 − 14/16 = 2/16 = 1/8 суммы.
Стадион: 5 700 000 · 1/8 = 712 500 р. Отдых детей: 5 700 000 · 3/16 = 1 068 750 р.
Вместе: 712 500 + 1 068 750 = 1 781 250 р. (или 5/16 суммы: 5 700 000 · 5/16 = 1 781 250 р.).
Ответ: 1 781 250 р. (на стадион 712 500 р., на отдых детей 1 068 750 р.).
Стадион: 5 700 000 · 1/8 = 712 500 р. Отдых детей: 5 700 000 · 3/16 = 1 068 750 р.
Вместе: 712 500 + 1 068 750 = 1 781 250 р. (или 5/16 суммы: 5 700 000 · 5/16 = 1 781 250 р.).
Ответ: 1 781 250 р. (на стадион 712 500 р., на отдых детей 1 068 750 р.).
Применяем математику.
9. Бандероли отправляются массой от 100 г до 2 кг. Какую наименьшую сумму потребуется заплатить за отправку в лагерь наборов карандашей и наборов красок для рисования 17 детям?
Масса набора красок для рисования равна 2/5 кг, а масса набора карандашей — 1/40 кг. Тарифы на отправку бандероли приведены в таблице справа: простая, 100 г — 48 р.; заказная, 100 г — 84 р.; каждые последующие полные/неполные 20 г любой бандероли — 3,6 р.
На каждого ребёнка — один набор красок (2/5 кг = 400 г) и один набор карандашей (1/40 кг = 25 г), то есть 425 г. На 17 детей: 17 · 425 = 7225 г. Одна бандероль не тяжелее 2 кг, значит, бандеролей не меньше 4 (7225 : 2000 > 3).
Стоимость бандероли массой m г (простая): 48 р. за первые 100 г и 3,6 р. за каждые следующие полные или неполные 20 г, то есть 48 + 3,6 · k, где k — число этих отрезков (с округлением вверх). Простая бандероль дешевле заказной, поэтому берём простые.
Разложим так: три бандероли по 5 наборов красок (по 2000 г) и четвёртая — 2 набора красок и все 17 наборов карандашей: 800 + 425 = 1225 г.
Бандероль 2000 г: (2000 − 100) : 20 = 95 отрезков, 48 + 3,6 · 95 = 390 р.; три такие — 1170 р.
Бандероль 1225 г: (1225 − 100) : 20 = 56,25, то есть 57 отрезков, 48 + 3,6 · 57 = 253,2 р.
Итого: 1170 + 253,2 = 1423,2 р.
Это наименьшая сумма: при 4 бандеролях плата за «первые 100 г» 4 · 48 = 192 р., а на остальные (7225 − 400) : 20 = 341,25 отрезка нужно не менее 342 отрезков: 192 + 3,6 · 342 = 1423,2 р. Пять бандеролей обошлись бы дороже (не менее 1453,2 р.).
Ответ: 1423,2 р.
Стоимость бандероли массой m г (простая): 48 р. за первые 100 г и 3,6 р. за каждые следующие полные или неполные 20 г, то есть 48 + 3,6 · k, где k — число этих отрезков (с округлением вверх). Простая бандероль дешевле заказной, поэтому берём простые.
Разложим так: три бандероли по 5 наборов красок (по 2000 г) и четвёртая — 2 набора красок и все 17 наборов карандашей: 800 + 425 = 1225 г.
Бандероль 2000 г: (2000 − 100) : 20 = 95 отрезков, 48 + 3,6 · 95 = 390 р.; три такие — 1170 р.
Бандероль 1225 г: (1225 − 100) : 20 = 56,25, то есть 57 отрезков, 48 + 3,6 · 57 = 253,2 р.
Итого: 1170 + 253,2 = 1423,2 р.
Это наименьшая сумма: при 4 бандеролях плата за «первые 100 г» 4 · 48 = 192 р., а на остальные (7225 − 400) : 20 = 341,25 отрезка нужно не менее 342 отрезков: 192 + 3,6 · 342 = 1423,2 р. Пять бандеролей обошлись бы дороже (не менее 1453,2 р.).
Ответ: 1423,2 р.
Применяем математику.
10. Чтобы рассчитать расстояние до телевизора, нужно умножить диагональ телевизора на коэффициент 1,6. Измерьте диагональ вашего телевизора и найдите оптимальное расстояние для просмотра телепередач.
Диагональ измеряем рулеткой по экрану из угла в угол и умножаем на 1,6. Пример: диагональ 100 см → оптимальное расстояние 100 · 1,6 = 160 см = 1,6 м; диагональ 55 см → 55 · 1,6 = 88 см; диагональ 109 см (43 дюйма) → 109 · 1,6 = 174,4 см ≈ 1,7 м.
Оговорка: результат зависит от вашего телевизора, поэтому дан способ и примеры расчёта.
Оговорка: результат зависит от вашего телевизора, поэтому дан способ и примеры расчёта.
Применяем математику.
11. Задача Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий — 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын — 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т. д.». Определите число сыновей и размер завещанных сбережений.
Все сыновья получили поровну; пусть доля каждого x рублей, всё наследство S.
Старший получает 1000 + 1/8 · (S − 1000) = x.
Следующий получает 2000 + 1/8 · (S − x − 2000) = x (после старшего осталось S − x, из них снова вычитают 2000 и берут восьмую часть).
Приравняем выражения для x и умножим на 8: 8000 + S − 1000 = 16 000 + S − x − 2000, откуда 7000 = 14 000 − x, x = 7000.
Из первого уравнения: 7000 = 1000 + (S − 1000) : 8, S − 1000 = 48 000, S = 49 000.
Число сыновей: 49 000 : 7000 = 7.
Проверка: старший: 1000 + 48 000 : 8 = 7000 ✓; остаток 42 000; второй: 2000 + 40 000 : 8 = 7000 ✓; остаток 35 000; третий: 3000 + 32 000 : 8 = 7000 ✓.
Ответ: 7 сыновей, 49 000 рублей.
Старший получает 1000 + 1/8 · (S − 1000) = x.
Следующий получает 2000 + 1/8 · (S − x − 2000) = x (после старшего осталось S − x, из них снова вычитают 2000 и берут восьмую часть).
Приравняем выражения для x и умножим на 8: 8000 + S − 1000 = 16 000 + S − x − 2000, откуда 7000 = 14 000 − x, x = 7000.
Из первого уравнения: 7000 = 1000 + (S − 1000) : 8, S − 1000 = 48 000, S = 49 000.
Число сыновей: 49 000 : 7000 = 7.
Проверка: старший: 1000 + 48 000 : 8 = 7000 ✓; остаток 42 000; второй: 2000 + 40 000 : 8 = 7000 ✓; остаток 35 000; третий: 3000 + 32 000 : 8 = 7000 ✓.
Ответ: 7 сыновей, 49 000 рублей.
Применяем математику.
12. Надпись на гробнице знаменитого древнего математика Диофанта составлена в виде математической задачи. Путник!
Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло прекрасное детство. Двенадцатая часть протекла ещё жизни — покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провёл Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением прекрасного первенца сына. Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец восприял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?
Пусть Диофант прожил x лет. Детство: x/6, юность: x/12, холостяцкая жизнь до брака: x/7, затем 5 лет до рождения сына, сын прожил x/2, и ещё 4 года Диофант прожил после смерти сына:
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4.
Сумма частей: 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 14/84 + 7/84 + 12/84 + 42/84 = 75/84. Значит, x − 75/84 x = 9, то есть 9/84 x = 9, x = 84.
Проверка: 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 ✓.
Ответ: Диофант прожил 84 года.
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4.
Сумма частей: 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 = 14/84 + 7/84 + 12/84 + 42/84 = 75/84. Значит, x − 75/84 x = 9, то есть 9/84 x = 9, x = 84.
Проверка: 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 ✓.
Ответ: Диофант прожил 84 года.