17. Дробные выражения (упражнения 2.507–2.540) — с. 114
2.534. Вычислите: а) 6,76 · 5/13; б) 9,8 : 1 3/4; в) 8,4 · 1 3/7; г) 14,3 : 1 5/8.
а) 6,76 : 13 · 5 = 0,52 · 5 = 2,6.
б) 9,8 : 7/4 = 9,8 · 4/7 = 1,4 · 4 = 5,6.
в) 8,4 · 10/7 = 1,2 · 10 = 12.
г) 14,3 : 13/8 = 14,3 · 8/13 = 1,1 · 8 = 8,8.
б) 9,8 : 7/4 = 9,8 · 4/7 = 1,4 · 4 = 5,6.
в) 8,4 · 10/7 = 1,2 · 10 = 12.
г) 14,3 : 13/8 = 14,3 · 8/13 = 1,1 · 8 = 8,8.
2.535. В викторине Таня набрала на 3 очка больше Маши. Сколько очков заработали Таня и Маша вместе, если Таня набрала 4/11, а Маша 7/22 всех очков?
Таня набрала 4/11 = 8/22 всех очков, Маша — 7/22. Разница: 8/22 − 7/22 = 1/22 всех очков, а это 3 очка. Значит, всех очков в викторине 3 : 1/22 = 66. Вместе Таня и Маша набрали 66 · (8/22 + 7/22) = 66 · 15/22 = 45 очков.
Ответ: вместе 45 очков (из 66 очков, набранных всеми участниками).
Оговорка: в ОТВЕТАХ учебника для этого упражнения указано 66 — это общее число очков викторины; по вопросу задачи (Таня и Маша вместе) получается 45.
Ответ: вместе 45 очков (из 66 очков, набранных всеми участниками).
Оговорка: в ОТВЕТАХ учебника для этого упражнения указано 66 — это общее число очков викторины; по вопросу задачи (Таня и Маша вместе) получается 45.
2.536. Мотоциклист движется со скоростью 90 км/ч, а велосипедист — 15 км/ч. Какое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать 1/5 того расстояния, которое мотоциклист преодолеет за 4 ч?
Мотоциклист за 4 ч проедет 90 · 4 = 360 км. Одна пятая этого расстояния: 360 : 5 = 72 км. Велосипедисту потребуется 72 : 15 = 4,8 ч = 4 ч 48 мин. Ответ: 4 ч 48 мин.
2.537. Для изготовления большого красного медного самовара тульские мастера использовали сплав меди и цинка. Какую массу имел самовар, изготовленный из сплава куска меди объёмом 1,2 дм³ и куска цинка объёмом 0,8 дм³, если масса 1 см³ меди приблизительно 9 г, а масса 1 см³ цинка приблизительно 7 г?
1,2 дм³ = 1200 см³; масса меди 1200 · 9 = 10 800 г. 0,8 дм³ = 800 см³; масса цинка 800 · 7 = 5600 г. Масса самовара: 10 800 + 5600 = 16 400 г = 16,4 кг. Ответ: 16,4 кг.
2.538. Глава повести занимает 10,5 страницы, что составляет 0,15 всей повести. Повесть составляет 7/16 всей книги. Сколько страниц в книге?
Повесть: 10,5 : 0,15 = 70 страниц. Книга: 70 : 7/16 = 70 · 16/7 = 160 страниц. Ответ: 160 страниц.
2.539. Вычислите значение дробного выражения: а) (2,16 · 0,55 · 4,5)/(2,7 · 0,15 · 1,2); б) (2 2/3 · 2 3/7 · 9/11)/(3 3/7 · 5 2/3 · 1/11); в) (11 1/4 : 9/32)/(21 1/3 · 5 1/4 − 10 2/13 · 4 8/11); г) (30,6 : 14 4/7 + 13,2 : 1 1/3)/(1 5/16 : 1,75).
а) Числитель: 2,16 · 0,55 = 1,188; 1,188 · 4,5 = 5,346. Знаменатель: 2,7 · 0,15 = 0,405; 0,405 · 1,2 = 0,486. 5,346 : 0,486 = 11.
б) Числитель: 8/3 · 17/7 · 9/11 = 408/77. Знаменатель: 24/7 · 17/3 · 1/11 = 136/77. 408/77 : 136/77 = 3.
в) Числитель: 45/4 · 32/9 = 40. Знаменатель: 21 1/3 · 5 1/4 = 64/3 · 21/4 = 112; 10 2/13 · 4 8/11 = 132/13 · 52/11 = 48; 112 − 48 = 64. 40 : 64 = 5/8.
г) Числитель: 14 4/7 = 102/7; 30,6 · 7/102 = 2,1; 13,2 : 4/3 = 9,9; 2,1 + 9,9 = 12. Знаменатель: 21/16 : 1,75 = 21/16 · 4/7 = 3/4. 12 : 3/4 = 16.
Ответ: а) 11; б) 3; в) 5/8; г) 16.
б) Числитель: 8/3 · 17/7 · 9/11 = 408/77. Знаменатель: 24/7 · 17/3 · 1/11 = 136/77. 408/77 : 136/77 = 3.
в) Числитель: 45/4 · 32/9 = 40. Знаменатель: 21 1/3 · 5 1/4 = 64/3 · 21/4 = 112; 10 2/13 · 4 8/11 = 132/13 · 52/11 = 48; 112 − 48 = 64. 40 : 64 = 5/8.
г) Числитель: 14 4/7 = 102/7; 30,6 · 7/102 = 2,1; 13,2 : 4/3 = 9,9; 2,1 + 9,9 = 12. Знаменатель: 21/16 : 1,75 = 21/16 · 4/7 = 3/4. 12 : 3/4 = 16.
Ответ: а) 11; б) 3; в) 5/8; г) 16.
2.540. Практическая работа. Оборудование: карандаш, линейка, циркуль, транспортир, плотная бумага, ножницы, клей.
а) Задание: склейте модель треугольной призмы (рис. 2.11, а). Порядок работы: 1. На плотном листе бумаги постройте развёртку треугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, а), используя задачу 1.136 на с. 34 для построения треугольников. 2. Склейте модель треугольной призмы.
б) Задание: сделайте модель шестиугольной призмы (рис. 2.11, б). Порядок работы: 1. На плотном листе бумаги постройте развёртку шестиугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, б), используя задачу 2.140 на с. 63 для построения шестиугольников. 2. Склейте модель шестиугольной призмы.
а) Задание: склейте модель треугольной призмы (рис. 2.11, а). Порядок работы: 1. На плотном листе бумаги постройте развёртку треугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, а), используя задачу 1.136 на с. 34 для построения треугольников. 2. Склейте модель треугольной призмы.
б) Задание: сделайте модель шестиугольной призмы (рис. 2.11, б). Порядок работы: 1. На плотном листе бумаги постройте развёртку шестиугольной призмы в натуральную величину (рис. 2.13, б), используя задачу 2.140 на с. 63 для построения шестиугольников. 2. Склейте модель шестиугольной призмы.
Работа практическая, поэтому ответ — порядок действий и размеры на чертеже (рисунок ниже).
а) Треугольная призма. Основание — треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см; высота призмы 12 см.
1) Начертите прямоугольник 12 × 4 см, под ним (общая сторона 12 см) прямоугольник 12 × 6 см, ещё ниже прямоугольник 12 × 5 см. Получится полоса 12 × 15 см — три боковые грани.
2) К короткой стороне (4 см) верхнего прямоугольника пристройте треугольник: циркулем проведите дуги радиусами 5 см и 6 см из концов отрезка 4 см; пересечение дуг — третья вершина. Второй такой же треугольник пристройте к стороне 5 см нижнего прямоугольника (из концов радиусами 6 см и 4 см).
3) Добавьте припуски для клея (полоски шириной около 1 см), вырежьте развёртку, согните по линиям и склейте.
б) Шестиугольная призма. Основание — правильный шестиугольник со стороной 6 см; высота призмы 12 см.
1) Начертите в ряд шесть прямоугольников 6 × 12 см — боковые грани.
2) К верхней стороне второго прямоугольника пристройте правильный шестиугольник со стороной 6 см: проведите окружность радиусом 6 см и отложите по ней циркулем хорду 6 см шесть раз (хорда равна радиусу), точки соедините. Второй такой же шестиугольник пристройте к нижней стороне четвёртого прямоугольника.
3) Добавьте припуски на клей, вырежьте, согните по линиям и склейте.
Проверка: у треугольной призмы 5 граней, 6 вершин, 9 рёбер; у шестиугольной — 8 граней, 12 вершин, 18 рёбер.
Оговорка: разный выбор расположения оснований на развёртке допустим; на рисунке показан вариант из учебника.
а) Треугольная призма. Основание — треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см; высота призмы 12 см.
1) Начертите прямоугольник 12 × 4 см, под ним (общая сторона 12 см) прямоугольник 12 × 6 см, ещё ниже прямоугольник 12 × 5 см. Получится полоса 12 × 15 см — три боковые грани.
2) К короткой стороне (4 см) верхнего прямоугольника пристройте треугольник: циркулем проведите дуги радиусами 5 см и 6 см из концов отрезка 4 см; пересечение дуг — третья вершина. Второй такой же треугольник пристройте к стороне 5 см нижнего прямоугольника (из концов радиусами 6 см и 4 см).
3) Добавьте припуски для клея (полоски шириной около 1 см), вырежьте развёртку, согните по линиям и склейте.
б) Шестиугольная призма. Основание — правильный шестиугольник со стороной 6 см; высота призмы 12 см.
1) Начертите в ряд шесть прямоугольников 6 × 12 см — боковые грани.
2) К верхней стороне второго прямоугольника пристройте правильный шестиугольник со стороной 6 см: проведите окружность радиусом 6 см и отложите по ней циркулем хорду 6 см шесть раз (хорда равна радиусу), точки соедините. Второй такой же шестиугольник пристройте к нижней стороне четвёртого прямоугольника.
3) Добавьте припуски на клей, вырежьте, согните по линиям и склейте.
Проверка: у треугольной призмы 5 граней, 6 вершин, 9 рёбер; у шестиугольной — 8 граней, 12 вершин, 18 рёбер.
Оговорка: разный выбор расположения оснований на развёртке допустим; на рисунке показан вариант из учебника.