17. Дробные выражения (упражнения 2.507–2.540) — с. 113
2.520. На координатной прямой отмечены числа n и m (рис. 2.10). Отметьте на координатной прямой точку с координатой: 2n; n · 1/2; n : 1/2; m · 1/3; m : 1/3; n : 2/3?
По рисунку единичный отрезок — расстояние между соседними чёрточками, n = 2, m = 3.
2n = 4.
n · 1/2 = 1.
n : 1/2 = 2 · 2 = 4.
m · 1/3 = 1.
m : 1/3 = 3 · 3 = 9 (точка лежит правее изображённой части прямой — надо продлить её).
n : 2/3 = 2 · 3/2 = 3 (эта точка совпадает с m).
На рисунке отмечены точки 1, 4, 9 и показано, что n : 2/3 попадает в точку m.
2n = 4.
n · 1/2 = 1.
n : 1/2 = 2 · 2 = 4.
m · 1/3 = 1.
m : 1/3 = 3 · 3 = 9 (точка лежит правее изображённой части прямой — надо продлить её).
n : 2/3 = 2 · 3/2 = 3 (эта точка совпадает с m).
На рисунке отмечены точки 1, 4, 9 и показано, что n : 2/3 попадает в точку m.
2.521. Найдите значение выражения: а) (2/3 : 4/9)²; б) (2/3)² : (4/9)²; в) (2/9 · 7/8 : 7/18)³.
а) 2/3 : 4/9 = 2/3 · 9/4 = 3/2; (3/2)² = 9/4 = 2 1/4.
б) (2/3)² = 4/9; (4/9)² = 16/81; 4/9 : 16/81 = 4/9 · 81/16 = 9/4 = 2 1/4. (Результат тот же, что в а): квадрат частного равен частному квадратов.)
в) 2/9 · 7/8 = 7/36; 7/36 : 7/18 = 1/2; (1/2)³ = 1/8.
Ответ: а) 2 1/4; б) 2 1/4; в) 1/8.
б) (2/3)² = 4/9; (4/9)² = 16/81; 4/9 : 16/81 = 4/9 · 81/16 = 9/4 = 2 1/4. (Результат тот же, что в а): квадрат частного равен частному квадратов.)
в) 2/9 · 7/8 = 7/36; 7/36 : 7/18 = 1/2; (1/2)³ = 1/8.
Ответ: а) 2 1/4; б) 2 1/4; в) 1/8.
2.522. Найдите произведение дробей 4/5 и 13/9 и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения?
Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).
4/5 · 13/9 = 52/45. Обратные дроби 5/4 и 9/13: 5/4 · 9/13 = 45/52. Произведения 52/45 и 45/52 — взаимно обратные числа (их произведение равно 1).
Другой пример: 2/3 · 5/7 = 10/21; обратные дроби 3/2 · 7/5 = 21/10; 10/21 · 21/10 = 1.
Доказательство: пусть даны дроби a/b и c/d. Их произведение ac/(bd). Произведение обратных дробей b/a · d/c = bd/(ac). Тогда ac/(bd) · bd/(ac) = 1. Значит, произведение обратных дробей обратно произведению данных дробей.
Другой пример: 2/3 · 5/7 = 10/21; обратные дроби 3/2 · 7/5 = 21/10; 10/21 · 21/10 = 1.
Доказательство: пусть даны дроби a/b и c/d. Их произведение ac/(bd). Произведение обратных дробей b/a · d/c = bd/(ac). Тогда ac/(bd) · bd/(ac) = 1. Значит, произведение обратных дробей обратно произведению данных дробей.
2.523. Сравните значения выражения 1 1/13 : c при c = 1; c = 2/13; c = 1 1/7; c = 14/9.
1 1/13 = 14/13.
При c = 1: 14/13 = 1 1/13.
При c = 2/13: 14/13 · 13/2 = 7.
При c = 1 1/7 = 8/7: 14/13 · 7/8 = 49/52.
При c = 14/9: 14/13 · 9/14 = 9/13.
Сравниваем: 7 > 1 1/13 > 49/52 > 9/13. Чем больше c, тем меньше значение выражения (при делении на меньшее число частное больше).
При c = 1: 14/13 = 1 1/13.
При c = 2/13: 14/13 · 13/2 = 7.
При c = 1 1/7 = 8/7: 14/13 · 7/8 = 49/52.
При c = 14/9: 14/13 · 9/14 = 9/13.
Сравниваем: 7 > 1 1/13 > 49/52 > 9/13. Чем больше c, тем меньше значение выражения (при делении на меньшее число частное больше).
2.524. Составьте задачу, которая решается с помощью уравнения: а) c · 4 = 1/9; б) 2 1/4 − a = 1 1/3; в) 3 1/6 : z = 1/6.
а) Задача: четыре одинаковых пакета весят вместе 1/9 кг. Сколько весит один пакет? c = 1/9 : 4 = 1/36 (кг).
б) Задача: в бидоне было 2 1/4 л молока; после того как из него отлили некоторое количество, осталось 1 1/3 л. Сколько молока отлили? a = 2 1/4 − 1 1/3 = 11/12 (л).
в) Задача: верёвку длиной 3 1/6 м разрезали на куски по 1/6 м. Сколько получилось кусков? z = 3 1/6 : 1/6 = 19.
б) Задача: в бидоне было 2 1/4 л молока; после того как из него отлили некоторое количество, осталось 1 1/3 л. Сколько молока отлили? a = 2 1/4 − 1 1/3 = 11/12 (л).
в) Задача: верёвку длиной 3 1/6 м разрезали на куски по 1/6 м. Сколько получилось кусков? z = 3 1/6 : 1/6 = 19.
2.525. Шестеро друзей ели арбуз. Первый съел шестую часть арбуза, второй — пятую часть остатка, третий — треть того, что оставил второй, четвёртый — четверть нового остатка, пятый — половину того, что оставил четвёртый, а шестой доел остатки арбуза. Кто из друзей съел больше всех?
Считаем доли целого арбуза.
1-й: 1/6; осталось 5/6.
2-й: 1/5 от 5/6 = 1/6; осталось 5/6 − 1/6 = 2/3.
3-й: 1/3 от 2/3 = 2/9; осталось 2/3 − 2/9 = 4/9.
4-й: 1/4 от 4/9 = 1/9; осталось 4/9 − 1/9 = 1/3.
5-й: 1/2 от 1/3 = 1/6; осталось 1/3 − 1/6 = 1/6.
6-й: доел 1/6.
Сравним: 1/6 = 3/18, 2/9 = 4/18, 1/9 = 2/18. Больше всех — 2/9 — съел третий друг. Проверка: 1/6 + 1/6 + 2/9 + 1/9 + 1/6 + 1/6 = 2/3 + 1/3 = 1 ✓.
Ответ: третий.
1-й: 1/6; осталось 5/6.
2-й: 1/5 от 5/6 = 1/6; осталось 5/6 − 1/6 = 2/3.
3-й: 1/3 от 2/3 = 2/9; осталось 2/3 − 2/9 = 4/9.
4-й: 1/4 от 4/9 = 1/9; осталось 4/9 − 1/9 = 1/3.
5-й: 1/2 от 1/3 = 1/6; осталось 1/3 − 1/6 = 1/6.
6-й: доел 1/6.
Сравним: 1/6 = 3/18, 2/9 = 4/18, 1/9 = 2/18. Больше всех — 2/9 — съел третий друг. Проверка: 1/6 + 1/6 + 2/9 + 1/9 + 1/6 + 1/6 = 2/3 + 1/3 = 1 ✓.
Ответ: третий.
2.526. Высота рябины составляет 4/9 высоты берёзы. Найдите высоту берёзы, если высота рябины 2 м.
2 : 4/9 = 2 · 9/4 = 4 1/2 м. Ответ: 4,5 м.
2.527. Автомат изготавливает в час 4 детали, что составляет 16 % того, что надо изготовить. Сколько деталей требуется изготовить?
Сколько времени это займёт?
Всего деталей: 4 : 0,16 = 25. Время: 25 : 4 = 6,25 ч = 6 ч 15 мин. Ответ: 25 деталей; 6 ч 15 мин.
2.528. На клумбе 55 % всех цветов составляют ирисы. Остальные 9 цветов — флоксы. Сколько ирисов на клумбе?
Флоксы — 100 % − 55 % = 45 % = 0,45 всех цветов. Всего цветов: 9 : 0,45 = 20. Ирисов: 20 · 0,55 = 11 (или 20 − 9 = 11). Ответ: 11 ирисов.
2.529. Масса солёной рыбы составляет 88 % массы свежей рыбы. Сколько нужно взять свежей рыбы, чтобы получить 616 кг солёной?
616 : 0,88 = 700. Проверка: 700 · 0,88 = 616 ✓. Ответ: 700 кг.
2.530. Чему равно число, если: а) 45 % его равны 54; б) 11/20 его равны 4,4; в) 0,7 его равны 2 4/5?
а) 54 : 0,45 = 120.
б) 4,4 : 11/20 = 4,4 · 20/11 = 8.
в) 2 4/5 : 0,7 = 2,8 : 0,7 = 4.
Ответ: а) 120; б) 8; в) 4.
б) 4,4 : 11/20 = 4,4 · 20/11 = 8.
в) 2 4/5 : 0,7 = 2,8 : 0,7 = 4.
Ответ: а) 120; б) 8; в) 4.
2.531. Площадь дома равна 108 м² и составляет 3/5 площади всех построек на участке. Постройки составляют 2/9 площади участка. Найдите площадь участка и выразите её в сотках.
Площадь построек: 108 : 3/5 = 180 м². Площадь участка: 180 : 2/9 = 810 м². Одна сотка — 100 м², значит 810 м² = 8,1 сотки. Ответ: 810 м², или 8,1 сотки.
2.532. Таня запланировала прочитать за неделю 80 % повести. За первый день она прочитала 16 страниц повести, что составило 20 % запланированного. Сколько страниц в повести?
Запланировано на неделю: 16 : 0,2 = 80 страниц. Это 80 % повести: 80 : 0,8 = 100. Ответ: 100 страниц.
2.533.
1. В гостинице 200 номеров. Из них одноместные номера составляют 40 %, двухместных номеров на 32 больше, чем одноместных, а остальные — номера люкс. Сколько номеров люкс в гостинице?
2) В театре 800 мест. Из них 55 % — места в партере, в амфитеатре на 200 мест меньше, чем в партере, а остальные — в бельэтаже. Сколько мест в бельэтаже?
2) В театре 800 мест. Из них 55 % — места в партере, в амфитеатре на 200 мест меньше, чем в партере, а остальные — в бельэтаже. Сколько мест в бельэтаже?
1) Одноместных: 200 · 0,4 = 80. Двухместных: 80 + 32 = 112. Люкс: 200 − 80 − 112 = 8. Ответ: 8 номеров.
2) Партер: 800 · 0,55 = 440. Амфитеатр: 440 − 200 = 240. Бельэтаж: 800 − 440 − 240 = 120. Ответ: 120 мест.
2) Партер: 800 · 0,55 = 440. Амфитеатр: 440 − 200 = 240. Бельэтаж: 800 − 440 − 240 = 120. Ответ: 120 мест.