17. Дробные выражения (упражнения 2.507–2.540) — с. 112
2.512. Вычислите: а) (4 3/5)/(1 1/10); б) (2 1/4)/(1 5/7); в) (1,6 · 14,4 · 4,2)/(7,2 · 3,2 · 37,8); г) (1,9 · 4,38 · 5,4)/(3,6 · 0,73 · 5,7).
а) 4 3/5 : 1 1/10 = 23/5 : 11/10 = 23/5 · 10/11 = 46/11 = 4 2/11.
б) 2 1/4 : 1 5/7 = 9/4 : 12/7 = 9/4 · 7/12 = 21/16 = 1 5/16.
в) Сокращаем: 1,6/3,2 = 1/2; 14,4/7,2 = 2; 4,2/37,8 = 1/9. Получаем 1/2 · 2 · 1/9 = 1/9.
г) 1,9/5,7 = 1/3; 4,38/0,73 = 6; 5,4/3,6 = 1,5. Получаем 1/3 · 6 · 1,5 = 3.
Ответ: а) 4 2/11; б) 1 5/16; в) 1/9; г) 3.
б) 2 1/4 : 1 5/7 = 9/4 : 12/7 = 9/4 · 7/12 = 21/16 = 1 5/16.
в) Сокращаем: 1,6/3,2 = 1/2; 14,4/7,2 = 2; 4,2/37,8 = 1/9. Получаем 1/2 · 2 · 1/9 = 1/9.
г) 1,9/5,7 = 1/3; 4,38/0,73 = 6; 5,4/3,6 = 1,5. Получаем 1/3 · 6 · 1,5 = 3.
Ответ: а) 4 2/11; б) 1 5/16; в) 1/9; г) 3.
2.513. Выполните действие: а) 0,51 · 2/3; б) 2,816 : 4/7; в) 3/7 · 42,7; г) 0,144 : 12/13; д) 56,25 · 4/45; е) 21/23 · 9,2; ж) 6,3 : 2 1/4; з) 6 4/7 · 5,6.
Десятичную дробь можно оставить, а на обыкновенную умножаем или делим как обычно.
а) 0,51 : 3 · 2 = 0,17 · 2 = 0,34.
б) 2,816 · 7/4 = 0,704 · 7 = 4,928.
в) 42,7 : 7 · 3 = 6,1 · 3 = 18,3.
г) 0,144 · 13/12 = 0,012 · 13 = 0,156.
д) 56,25 : 45 · 4 = 1,25 · 4 = 5.
е) 9,2 : 23 · 21 = 0,4 · 21 = 8,4.
ж) 2 1/4 = 9/4; 6,3 · 4/9 = 0,7 · 4 = 2,8.
з) 6 4/7 = 46/7; 5,6 : 7 · 46 = 0,8 · 46 = 36,8.
а) 0,51 : 3 · 2 = 0,17 · 2 = 0,34.
б) 2,816 · 7/4 = 0,704 · 7 = 4,928.
в) 42,7 : 7 · 3 = 6,1 · 3 = 18,3.
г) 0,144 · 13/12 = 0,012 · 13 = 0,156.
д) 56,25 : 45 · 4 = 1,25 · 4 = 5.
е) 9,2 : 23 · 21 = 0,4 · 21 = 8,4.
ж) 2 1/4 = 9/4; 6,3 · 4/9 = 0,7 · 4 = 2,8.
з) 6 4/7 = 46/7; 5,6 : 7 · 46 = 0,8 · 46 = 36,8.
2.514. Найдите значение выражения: а) 3,1/1,7 + 6,7/5,1; б) 2,5/4,4 + 4,6/13,2; в) 6,8/7,2 − 2,7/3,6; г) 2,4/7,7 − 2,8/12,1.
Приводим к обыкновенным дробям и к общему знаменателю.
а) 31/17 + 67/51 = 93/51 + 67/51 = 160/51 = 3 7/51.
б) 25/44 + 46/132 = 75/132 + 46/132 = 121/132 = 11/12.
в) 68/72 − 27/36 = 17/18 − 3/4 = 34/36 − 27/36 = 7/36.
г) 24/77 − 28/121 = 264/847 − 196/847 = 68/847.
Ответ: а) 3 7/51; б) 11/12; в) 7/36; г) 68/847.
Оговорка: в г) первое число читается как 2,4 (по начертанию цифры); при другом прочтении числитель изменится.
а) 31/17 + 67/51 = 93/51 + 67/51 = 160/51 = 3 7/51.
б) 25/44 + 46/132 = 75/132 + 46/132 = 121/132 = 11/12.
в) 68/72 − 27/36 = 17/18 − 3/4 = 34/36 − 27/36 = 7/36.
г) 24/77 − 28/121 = 264/847 − 196/847 = 68/847.
Ответ: а) 3 7/51; б) 11/12; в) 7/36; г) 68/847.
Оговорка: в г) первое число читается как 2,4 (по начертанию цифры); при другом прочтении числитель изменится.
2.515. Вычислите значение дробного выражения: а) (3/7 · 1,1 · 1 1/6 : 0,05)/(1/7 : 0,25 · 2 2/5); б) (0,3 · 7,4 : 0,37 − 1 11/14 · 0,7)/(1 + 2 1/8 · 0,16 : 0,01); в) (18,55 · 4/35 · 4,2)/(3 1/2 · 2,12 : 70); г) (2,75 · 3/5 + 2,2 : 1) · 1 1/11/((39/40 − 0,575) : 4/5 · 0,8).
а) Числитель: 3/7 · 1,1 = 0,4714…; удобнее дробями: 3/7 · 11/10 · 7/6 = 11/20; 11/20 : 0,05 = 11. Знаменатель: 1/7 : 1/4 = 4/7; 4/7 · 12/5 = 48/35. Значение: 11 : 48/35 = 385/48 = 8 1/48.
б) Числитель: 0,3 · 7,4 = 2,22; 2,22 : 0,37 = 6; 1 11/14 · 0,7 = 25/14 · 7/10 = 5/4; 6 − 1 1/4 = 4 3/4. Знаменатель: 2 1/8 · 0,16 = 0,34; 0,34 : 0,01 = 34; 1 + 34 = 35. Значение: 4 3/4 : 35 = 19/4 · 1/35 = 19/140.
в) Числитель: 18,55 · 4/35 = 2,12; 2,12 · 4,2 = 8,904. Знаменатель: 3 1/2 · 2,12 = 7,42; 7,42 : 70 = 0,106. Значение: 8,904 : 0,106 = 84.
г) Числитель: 2,75 · 3/5 = 1,65; 2,2 : 1 = 2,2; 1,65 + 2,2 = 3,85; 3,85 · 1 1/11 = 3,85 · 12/11 = 4,2. Знаменатель: 39/40 = 0,975; 0,975 − 0,575 = 0,4; 0,4 : 4/5 = 0,5; 0,5 · 0,8 = 0,4. Значение: 4,2 : 0,4 = 10,5.
Ответ: а) 8 1/48; б) 19/140; в) 84; г) 10 1/2.
Оговорка: в г) делитель второго слагаемого числителя читается на скане как 1.
б) Числитель: 0,3 · 7,4 = 2,22; 2,22 : 0,37 = 6; 1 11/14 · 0,7 = 25/14 · 7/10 = 5/4; 6 − 1 1/4 = 4 3/4. Знаменатель: 2 1/8 · 0,16 = 0,34; 0,34 : 0,01 = 34; 1 + 34 = 35. Значение: 4 3/4 : 35 = 19/4 · 1/35 = 19/140.
в) Числитель: 18,55 · 4/35 = 2,12; 2,12 · 4,2 = 8,904. Знаменатель: 3 1/2 · 2,12 = 7,42; 7,42 : 70 = 0,106. Значение: 8,904 : 0,106 = 84.
г) Числитель: 2,75 · 3/5 = 1,65; 2,2 : 1 = 2,2; 1,65 + 2,2 = 3,85; 3,85 · 1 1/11 = 3,85 · 12/11 = 4,2. Знаменатель: 39/40 = 0,975; 0,975 − 0,575 = 0,4; 0,4 : 4/5 = 0,5; 0,5 · 0,8 = 0,4. Значение: 4,2 : 0,4 = 10,5.
Ответ: а) 8 1/48; б) 19/140; в) 84; г) 10 1/2.
Оговорка: в г) делитель второго слагаемого числителя читается на скане как 1.
2.516. Найдите значение выражения n/(7,4 − 6,2) + n/(1,3 + 5,9) при: а) n = 2 1/5 + 3 4/7; б) n = 1,2 · (1 − 0,4).
Знаменатели: 7,4 − 6,2 = 1,2 и 1,3 + 5,9 = 7,2. Выражение: n/1,2 + n/7,2 = n · (5/6 + 5/36) = n · 35/36.
а) n = 2 7/35 + 3 20/35 = 5 27/35 = 202/35; 202/35 · 35/36 = 202/36 = 5 11/18.
б) n = 1,2 · 0,6 = 0,72; 0,72 · 35/36 = 0,02 · 35 = 0,7.
Ответ: а) 5 11/18; б) 0,7.
а) n = 2 7/35 + 3 20/35 = 5 27/35 = 202/35; 202/35 · 35/36 = 202/36 = 5 11/18.
б) n = 1,2 · 0,6 = 0,72; 0,72 · 35/36 = 0,02 · 35 = 0,7.
Ответ: а) 5 11/18; б) 0,7.
2.517. Вычислите значение выражения 2a/c − a/(2c), если: а) a = 17,2 − 9,4 и c = 43 − 31,8; б) a = 4 5/6 − 2 1/3 и c = 6 1/5 + 8 1/3 − 2/15.
Упростим: 2a/c − a/(2c) = 4a/(2c) − a/(2c) = 3a/(2c).
а) a = 7,8; c = 11,2. 3 · 7,8/(2 · 11,2) = 23,4/22,4 = 1 5/112.
б) a = 4 5/6 − 2 2/6 = 2 3/6 = 2 1/2; c = 6 3/15 + 8 5/15 − 2/15 = 14 6/15 = 14 2/5. 3 · 2 1/2/(2 · 14 2/5) = 7,5/28,8 = 25/96.
Ответ: а) 1 5/112; б) 25/96.
а) a = 7,8; c = 11,2. 3 · 7,8/(2 · 11,2) = 23,4/22,4 = 1 5/112.
б) a = 4 5/6 − 2 2/6 = 2 3/6 = 2 1/2; c = 6 3/15 + 8 5/15 − 2/15 = 14 6/15 = 14 2/5. 3 · 2 1/2/(2 · 14 2/5) = 7,5/28,8 = 25/96.
Ответ: а) 1 5/112; б) 25/96.
2.518. а) Значение выражения (6,3 − 5,085)/(1,8 · 13,5) можно найти на калькуляторе по алгоритму 6,3 − 5,085 ÷ 1,8 ÷ 13,5 =. Выполните вычисления по этому алгоритму.
б) Составьте для калькулятора алгоритм нахождения значения выражения и выполните по нему вычисления: а) (2,8 · 10,5)/(6 · 44,8); б) (0,85 : 3,4 + 1,92)/(6,2 · 0,28); в) (632,315 : 34,6 + 9,7525)/(4,04 · 6,25); г) ((6,3 − 3,8) : 0,005)/(3,625 : 2,9).
б) Составьте для калькулятора алгоритм нахождения значения выражения и выполните по нему вычисления: а) (2,8 · 10,5)/(6 · 44,8); б) (0,85 : 3,4 + 1,92)/(6,2 · 0,28); в) (632,315 : 34,6 + 9,7525)/(4,04 · 6,25); г) ((6,3 − 3,8) : 0,005)/(3,625 : 2,9).
а) Калькулятор выполняет действия по мере ввода: (6,3 − 5,085) = 1,215; 1,215 ÷ 1,8 = 0,675; 0,675 ÷ 13,5 = 0,05. Ответ: 0,05.
б) Деление на произведение заменяем последовательным делением на каждый множитель; в числителе, где есть сумма или разность, нажимаем «=» перед делением.
а) 2,8 × 10,5 ÷ 6 ÷ 44,8 = 0,109375 (7/64).
б) 0,85 ÷ 3,4 + 1,92 = ÷ 6,2 ÷ 0,28 = 1,25.
в) 632,315 ÷ 34,6 + 9,7525 = ÷ 4,04 ÷ 6,25 = 1,11.
г) 6,3 − 3,8 = ÷ 0,005 ÷ 3,625 × 2,9 = 400.
Проверка вручную: б) 0,25 + 1,92 = 2,17; 6,2 · 0,28 = 1,736; 2,17 : 1,736 = 1,25 ✓. г) 2,5 : 0,005 = 500; 3,625 : 2,9 = 1,25; 500 : 1,25 = 400 ✓.
б) Деление на произведение заменяем последовательным делением на каждый множитель; в числителе, где есть сумма или разность, нажимаем «=» перед делением.
а) 2,8 × 10,5 ÷ 6 ÷ 44,8 = 0,109375 (7/64).
б) 0,85 ÷ 3,4 + 1,92 = ÷ 6,2 ÷ 0,28 = 1,25.
в) 632,315 ÷ 34,6 + 9,7525 = ÷ 4,04 ÷ 6,25 = 1,11.
г) 6,3 − 3,8 = ÷ 0,005 ÷ 3,625 × 2,9 = 400.
Проверка вручную: б) 0,25 + 1,92 = 2,17; 6,2 · 0,28 = 1,736; 2,17 : 1,736 = 1,25 ✓. г) 2,5 : 0,005 = 500; 3,625 : 2,9 = 1,25; 500 : 1,25 = 400 ✓.
2.519. Вычислите: а) 162 − 127, : 7, · 19, + 15; б) 900 : 150, · 70, − 312, : 18; в) 1,5 · 6, : 1,8, · 0,12, + 0,44; г) 7 − 2,1, : 7, · 1,4, + 0,02; д) 3,6 + 3,2, : 0,2, − 33,5, · 9.
Действия цепочки выполняем по порядку сверху вниз.
а) 162 − 127 = 35; 35 : 7 = 5; 5 · 19 = 95; 95 + 15 = 110.
б) 900 : 150 = 6; 6 · 70 = 420; 420 − 312 = 108; 108 : 18 = 6.
в) 1,5 · 6 = 9; 9 : 1,8 = 5; 5 · 0,12 = 0,6; 0,6 + 0,44 = 1,04.
г) 7 − 2,1 = 4,9; 4,9 : 7 = 0,7; 0,7 · 1,4 = 0,98; 0,98 + 0,02 = 1.
д) 3,6 + 3,2 = 6,8; 6,8 : 0,2 = 34; 34 − 33,5 = 0,5; 0,5 · 9 = 4,5.
Ответ: а) 110; б) 6; в) 1,04; г) 1; д) 4,5.
Оговорка: в г) третье действие на скане читается как умножение на 1,4 (результат получается ровно 1); если там сложение, то 0,7 + 1,4 = 2,1 и ответ 2,12. Пятый столбец читается по скану как 3,6 + 3,2 : 0,2 − 33,5 · 9 цепочкой.
а) 162 − 127 = 35; 35 : 7 = 5; 5 · 19 = 95; 95 + 15 = 110.
б) 900 : 150 = 6; 6 · 70 = 420; 420 − 312 = 108; 108 : 18 = 6.
в) 1,5 · 6 = 9; 9 : 1,8 = 5; 5 · 0,12 = 0,6; 0,6 + 0,44 = 1,04.
г) 7 − 2,1 = 4,9; 4,9 : 7 = 0,7; 0,7 · 1,4 = 0,98; 0,98 + 0,02 = 1.
д) 3,6 + 3,2 = 6,8; 6,8 : 0,2 = 34; 34 − 33,5 = 0,5; 0,5 · 9 = 4,5.
Ответ: а) 110; б) 6; в) 1,04; г) 1; д) 4,5.
Оговорка: в г) третье действие на скане читается как умножение на 1,4 (результат получается ровно 1); если там сложение, то 0,7 + 1,4 = 2,1 и ответ 2,12. Пятый столбец читается по скану как 3,6 + 3,2 : 0,2 − 33,5 · 9 цепочкой.