15. Действие деления смешанных чисел (упражнения 2.407–2.471) — с. 105
2.460. Пятое из пяти чисел равно 21,5, первое меньше второго в 1,6 раза, третье больше первого в 2,1 раза, а четвёртое больше первого в 1,8 раза. Найдите эти пять чисел, если их среднее арифметическое равно 14,7.
Сумма пяти чисел: 14,7 · 5 = 73,5. Пусть первое число a, тогда второе 1,6a, третье 2,1a, четвёртое 1,8a. Сумма первых четырёх: 73,5 − 21,5 = 52. Уравнение: a + 1,6a + 2,1a + 1,8a = 6,5a = 52; a = 8.
Второе: 8 · 1,6 = 12,8; третье: 8 · 2,1 = 16,8; четвёртое: 8 · 1,8 = 14,4.
Проверка: 8 + 12,8 + 16,8 + 14,4 + 21,5 = 73,5 ✓.
Ответ: 8; 12,8; 16,8; 14,4; 21,5.
Второе: 8 · 1,6 = 12,8; третье: 8 · 2,1 = 16,8; четвёртое: 8 · 1,8 = 14,4.
Проверка: 8 + 12,8 + 16,8 + 14,4 + 21,5 = 73,5 ✓.
Ответ: 8; 12,8; 16,8; 14,4; 21,5.
2.461. Найдите частное: а) 5/4 : 2/15; б) 2/3 : 8/9; в) 64/131 : 32/52; г) 64/125 : 4; д) 9 : 3/4; е) 9 : 4; ж) 1 3/7 : 1 1/14; з) 2 1/3 : 7 1/9; и) 3 8/19 : 5 15/38; к) 4 17/36 : 19 1/6.
а) 5/4 · 15/2 = 75/8 = 9 3/8.
б) 2/3 · 9/8 = 3/4.
в) 64/131 · 52/32 = 104/131.
г) 64/125 · 1/4 = 16/125.
д) 9 · 4/3 = 12.
е) 9/4 = 2 1/4.
ж) 10/7 : 15/14 = 10/7 · 14/15 = 4/3 = 1 1/3.
з) 7/3 : 64/9 = 7/3 · 9/64 = 21/64.
и) 65/19 : 205/38 = 65/19 · 38/205 = 26/41.
к) 161/36 : 115/6 = 161/36 · 6/115 = 7/30.
б) 2/3 · 9/8 = 3/4.
в) 64/131 · 52/32 = 104/131.
г) 64/125 · 1/4 = 16/125.
д) 9 · 4/3 = 12.
е) 9/4 = 2 1/4.
ж) 10/7 : 15/14 = 10/7 · 14/15 = 4/3 = 1 1/3.
з) 7/3 : 64/9 = 7/3 · 9/64 = 21/64.
и) 65/19 : 205/38 = 65/19 · 38/205 = 26/41.
к) 161/36 : 115/6 = 161/36 · 6/115 = 7/30.
2.462. Выполните действия: а) 7 2/9 : 4 1/3 · 9; б) 5 3/7 : 8/21 : 2 3/8; в) 1 11/21 · 3 8/9 : 1 7/9; г) 5/6 · 6/11 : 1 1/11.
Действия выполняем слева направо.
а) 65/9 : 13/3 = 5/3; 5/3 · 9 = 15.
б) 38/7 : 8/21 = 38/7 · 21/8 = 57/4; 57/4 : 19/8 = 57/4 · 8/19 = 6.
в) 32/21 · 35/9 = 160/27; 160/27 : 16/9 = 160/27 · 9/16 = 10/3 = 3 1/3.
г) 5/6 · 6/11 = 5/11; 5/11 : 12/11 = 5/12.
Ответ: а) 15; б) 6; в) 3 1/3; г) 5/12.
а) 65/9 : 13/3 = 5/3; 5/3 · 9 = 15.
б) 38/7 : 8/21 = 38/7 · 21/8 = 57/4; 57/4 : 19/8 = 57/4 · 8/19 = 6.
в) 32/21 · 35/9 = 160/27; 160/27 : 16/9 = 160/27 · 9/16 = 10/3 = 3 1/3.
г) 5/6 · 6/11 = 5/11; 5/11 : 12/11 = 5/12.
Ответ: а) 15; б) 6; в) 3 1/3; г) 5/12.
2.463. Найдите значение выражения: а) 4/5 : 1 1/3 + 2 1/3 · 3/7 − 1 : 1 3/8; б) 2 1/6 : (1 1/15 − 1/5) + (2 1/8 + 3/4) : 5 3/4; в) (1/4 + 1 11/14) · 14/57 − 2/3 : 1 1/6 · 7/32; г) (2 1/2 : 3 1/3 + 3 1/3 : 2 1/2) · 9 3/5; д) (10 5/13 − 7 23/26) : 5/6; е) ((1 1/2)³ − 3/4) : 7/8.
а) 4/5 : 4/3 = 3/5; 7/3 · 3/7 = 1; 1 : 11/8 = 8/11. 3/5 + 1 − 8/11 = 33/55 + 55/55 − 40/55 = 48/55.
б) 1 1/15 − 1/5 = 16/15 − 3/15 = 13/15; 13/6 : 13/15 = 15/6 = 2 1/2. 2 1/8 + 3/4 = 2 7/8 = 23/8; 23/8 : 23/4 = 1/2. Сумма: 2 1/2 + 1/2 = 3.
в) 1/4 + 25/14 = 7/28 + 50/28 = 57/28; 57/28 · 14/57 = 1/2. 2/3 : 7/6 = 4/7; 4/7 · 7/32 = 1/8. 1/2 − 1/8 = 3/8.
г) 5/2 : 10/3 = 3/4; 10/3 : 5/2 = 4/3; 3/4 + 4/3 = 25/12; 25/12 · 48/5 = 20.
д) 10 10/26 − 7 23/26 = 2 13/26 = 2 1/2 = 5/2; 5/2 : 5/6 = 3.
е) (3/2)³ = 27/8; 27/8 − 6/8 = 21/8; 21/8 : 7/8 = 3.
Ответ: а) 48/55; б) 3; в) 3/8; г) 20; д) 3; е) 3.
б) 1 1/15 − 1/5 = 16/15 − 3/15 = 13/15; 13/6 : 13/15 = 15/6 = 2 1/2. 2 1/8 + 3/4 = 2 7/8 = 23/8; 23/8 : 23/4 = 1/2. Сумма: 2 1/2 + 1/2 = 3.
в) 1/4 + 25/14 = 7/28 + 50/28 = 57/28; 57/28 · 14/57 = 1/2. 2/3 : 7/6 = 4/7; 4/7 · 7/32 = 1/8. 1/2 − 1/8 = 3/8.
г) 5/2 : 10/3 = 3/4; 10/3 : 5/2 = 4/3; 3/4 + 4/3 = 25/12; 25/12 · 48/5 = 20.
д) 10 10/26 − 7 23/26 = 2 13/26 = 2 1/2 = 5/2; 5/2 : 5/6 = 3.
е) (3/2)³ = 27/8; 27/8 − 6/8 = 21/8; 21/8 : 7/8 = 3.
Ответ: а) 48/55; б) 3; в) 3/8; г) 20; д) 3; е) 3.
2.464. Решите уравнение: а) (z − 6) · 3/7 = 3; б) 5 1/4 y − 5 1/4 = 5 1/4.
а) z − 6 = 3 : 3/7 = 7; z = 13.
б) 5 1/4 y = 5 1/4 + 5 1/4 = 10 1/2; y = 10 1/2 : 5 1/4 = 2.
Проверка б): 5 1/4 · 2 − 5 1/4 = 5 1/4 ✓.
б) 5 1/4 y = 5 1/4 + 5 1/4 = 10 1/2; y = 10 1/2 : 5 1/4 = 2.
Проверка б): 5 1/4 · 2 − 5 1/4 = 5 1/4 ✓.
2.465. С какой скоростью летел самолёт, если за 2/5 ч он пролетел 360 км?
Скорость = путь : время = 360 : 2/5 = 360 · 5/2 = 900 км/ч. Ответ: 900 км/ч.
2.466. У велосипеда, изобретённого крепостным уральским мастером Ефимом Артамоновым в 1800 г., переднее колесо было больше заднего. Длина окружности переднего колеса была равна 3 1/7 м, а заднего — 1 4/7 м. Сколько оборотов делало заднее колесо за 5 1/2 оборота переднего колеса?
За 5 1/2 оборота переднее колесо проходит 3 1/7 · 5 1/2 = 22/7 · 11/2 = 121/7 = 17 2/7 м. Длина окружности заднего колеса 1 4/7 = 11/7 м. Число оборотов заднего колеса: 121/7 : 11/7 = 11. Ответ: 11 оборотов.
2.467. Ёмкость объёмом 15 м³ наполняется водой через шланг за 8 1/3 ч. Сколько кубометров воды пропускает шланг за 1 ч?
15 : 8 1/3 = 15 : 25/3 = 15 · 3/25 = 9/5 = 1 4/5 м³ (1,8 м³). Ответ: 1 4/5 м³ за 1 ч.
2.468. Расход бензина в автомобиле при пробеге по городу в 1 1/3 раза больше, чем при пробеге по скоростной трассе. На сколько километров хватит полного бака бензина объёмом 40 л при движении по городу, если при движении по скоростной трассе на 400 км пути расходуется 5/8 бака бензина?
На трассе на 400 км уходит 5/8 бака, то есть 40 · 5/8 = 25 л. В городе на то же расстояние расход в 1 1/3 раза больше: 25 · 4/3 = 100/3 = 33 1/3 л на 400 км. Значит, 40 л хватит на 400 · 40 : 100/3 = 400 · 40 · 3/100 = 480 км.
Другой путь: в городе пробег на полном баке в 1 1/3 раза меньше, чем на трассе; на трассе полный бак даёт 400 : 5/8 = 640 км; 640 : 4/3 = 480 км.
Ответ: 480 км.
Другой путь: в городе пробег на полном баке в 1 1/3 раза меньше, чем на трассе; на трассе полный бак даёт 400 : 5/8 = 640 км; 640 : 4/3 = 480 км.
Ответ: 480 км.
2.469. Сейчас между автомобилями, движущимися навстречу друг другу, 126 км, и встретятся они через 14/15 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость одного из них составляет 80 % скорости другого.
Скорость сближения: 126 : 14/15 = 126 · 15/14 = 135 км/ч. Пусть скорость быстрого автомобиля x, тогда другого 0,8x; x + 0,8x = 1,8x = 135; x = 75. Другой: 75 · 0,8 = 60. Проверка: 75 + 60 = 135 ✓. Ответ: 75 км/ч и 60 км/ч.
2.470. Команда в соревновании по ориентированию на местности прошла маршрут, равный 11,5 км, причём по лугу она шла 1 2/3 ч, а по лесу — 1 1/4 ч. Путь по лесу составлял 9/14 пути по лугу. Найдите скорости передвижения команды по лесу и по лугу.
Путь по лугу — 14 частей, по лесу — 9 частей; вместе 23 части = 11,5 км. Одна часть: 11,5 : 23 = 0,5 км. По лугу: 14 · 0,5 = 7 км, по лесу: 9 · 0,5 = 4,5 км.
Скорость по лугу: 7 : 1 2/3 = 7 · 3/5 = 4,2 км/ч. Скорость по лесу: 4,5 : 1 1/4 = 4,5 · 4/5 = 3,6 км/ч.
Ответ: по лесу 3,6 км/ч, по лугу 4,2 км/ч.
Скорость по лугу: 7 : 1 2/3 = 7 · 3/5 = 4,2 км/ч. Скорость по лесу: 4,5 : 1 1/4 = 4,5 · 4/5 = 3,6 км/ч.
Ответ: по лесу 3,6 км/ч, по лугу 4,2 км/ч.