15. Действие деления смешанных чисел (упражнения 2.407–2.471) — с. 104
2.447. Первое число на 1,8 меньше второго и в 2 раза меньше третьего. Найдите эти числа, если их среднее арифметическое равно 6,2.
Первое число — a, второе — a + 1,8, третье — 2a. Сумма трёх чисел: 6,2 · 3 = 18,6. Уравнение: a + (a + 1,8) + 2a = 18,6; 4a = 16,8; a = 4,2. Второе: 6; третье: 8,4. Проверка: (4,2 + 6 + 8,4) : 3 = 18,6 : 3 = 6,2 ✓. Ответ: 4,2; 6; 8,4.
2.448. Выполните действия: 1) 21,8 + 7,7 · 105,6 : 4,2 : 12,1 − 3,25; 2) 12,6 + 5,5 · 176,4 : 2,1 : 10,5 − 4,82.
1) 7,7 · 105,6 = 813,12; 813,12 : 4,2 = 193,6; 193,6 : 12,1 = 16; 21,8 + 16 = 37,8; 37,8 − 3,25 = 34,55.
2) 5,5 · 176,4 = 970,2; 970,2 : 2,1 = 462; 462 : 10,5 = 44; 12,6 + 44 = 56,6; 56,6 − 4,82 = 51,78.
Ответ: 1) 34,55; 2) 51,78.
2) 5,5 · 176,4 = 970,2; 970,2 : 2,1 = 462; 462 : 10,5 = 44; 12,6 + 44 = 56,6; 56,6 − 4,82 = 51,78.
Ответ: 1) 34,55; 2) 51,78.
2.449. Есть ли число: а) обратное самому себе; б) не имеющее обратного?
а) Да: число 1, потому что 1 · 1 = 1 (обратное числу 1 — это 1).
б) Да: число 0. Произведение 0 на любое число равно 0, а не 1, поэтому обратного числа у нуля нет.
б) Да: число 0. Произведение 0 на любое число равно 0, а не 1, поэтому обратного числа у нуля нет.
2.450. Запишите множество натуральных чисел, которые являются решениями неравенства: а) n < 4; б) n ≤ 3; в) 3 ≤ n ≤ 10; г) 2 < n ≤ 7; д) 1 ≤ n ≤ 1,5.
Натуральные числа — это 1, 2, 3, …
а) n < 4: {1, 2, 3}.
б) n ≤ 3: {1, 2, 3}.
в) 3 ≤ n ≤ 10: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (обе границы входят).
г) 2 < n ≤ 7: {3, 4, 5, 6, 7} (2 не входит, 7 входит).
д) 1 ≤ n ≤ 1,5: {1}.
а) n < 4: {1, 2, 3}.
б) n ≤ 3: {1, 2, 3}.
в) 3 ≤ n ≤ 10: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (обе границы входят).
г) 2 < n ≤ 7: {3, 4, 5, 6, 7} (2 не входит, 7 входит).
д) 1 ≤ n ≤ 1,5: {1}.
2.451. Запишите число, обратное числу: а) 3/11; б) 6; в) 7 1/7; г) 0,25; д) 3,2.
Обратное — то, произведение с которым равно 1.
а) 11/3 = 3 2/3.
б) 1/6.
в) 7 1/7 = 50/7, обратное 7/50.
г) 0,25 = 1/4, обратное 4.
д) 3,2 = 16/5, обратное 5/16.
а) 11/3 = 3 2/3.
б) 1/6.
в) 7 1/7 = 50/7, обратное 7/50.
г) 0,25 = 1/4, обратное 4.
д) 3,2 = 16/5, обратное 5/16.
2.452. Являются ли числа m и n взаимно обратными, если: а) m = 0,5, n = 2; б) m = 1,75, n = 4/7; в) m = 0,35, n = 2 6/7?
Проверяем, равно ли произведение 1.
а) 0,5 · 2 = 1 — да.
б) 1,75 = 7/4; 7/4 · 4/7 = 1 — да.
в) 0,35 = 7/20; 2 6/7 = 20/7; 7/20 · 20/7 = 1 — да.
а) 0,5 · 2 = 1 — да.
б) 1,75 = 7/4; 7/4 · 4/7 = 1 — да.
в) 0,35 = 7/20; 2 6/7 = 20/7; 7/20 · 20/7 = 1 — да.
2.453. Найдите частное и результат округлите до тысячных: а) 4,8 : 0,9; б) 25,31 : 2,4; в) 234 : 21; г) 0,00539 : 1,2.
а) 4,8 : 0,9 = 5,333… ≈ 5,333.
б) 25,31 : 2,4 = 10,5458… ≈ 10,546.
в) 234 : 21 = 11,142857… ≈ 11,143.
г) 0,00539 : 1,2 = 0,0044916… ≈ 0,004.
б) 25,31 : 2,4 = 10,5458… ≈ 10,546.
в) 234 : 21 = 11,142857… ≈ 11,143.
г) 0,00539 : 1,2 = 0,0044916… ≈ 0,004.
2.454. Округлите числа: а) 0,588; 2,062; 3,850; 9,3762 до сотых; б) 0,0915; 0,7549; 2,4587; 6,59012 до тысячных.
а) До сотых: 0,588 ≈ 0,59; 2,062 ≈ 2,06; 3,850 = 3,85; 9,3762 ≈ 9,38.
б) До тысячных: 0,0915 ≈ 0,092; 0,7549 ≈ 0,755; 2,4587 ≈ 2,459; 6,59012 ≈ 6,590.
б) До тысячных: 0,0915 ≈ 0,092; 0,7549 ≈ 0,755; 2,4587 ≈ 2,459; 6,59012 ≈ 6,590.
2.455. Пчёлка Лили при сборе нектара пролетела расстояние между ульем и цветком за 1 мин 15 с, а пчёлка Фили — на 16 % быстрее. Сколько времени летела Фили?
1 мин 15 с = 75 с. Фили быстрее на 16 %, то есть времени у неё на 16 % меньше: 75 · 0,16 = 12 с; 75 − 12 = 63 с.
Ответ: 63 с (1 мин 3 с).
Оговорка: «на 16 % быстрее» понято как «времени затрачено на 16 % меньше». Если понимать как «скорость больше на 16 %», получится 75 : 1,16 ≈ 64,7 с.
Ответ: 63 с (1 мин 3 с).
Оговорка: «на 16 % быстрее» понято как «времени затрачено на 16 % меньше». Если понимать как «скорость больше на 16 %», получится 75 : 1,16 ≈ 64,7 с.
2.456.
1. Телевизионная антенна улавливает 60 каналов. Из них 35 каналов Свете неинтересны, и она их никогда не включает, 0,6 от числа остальных каналов показывают новости, 0,2 от числа новостных каналов — музыкальные, а остальные — детские и познавательные, которые Света любит смотреть. Сколько каналов любит смотреть Света?
2) В библиотеке на стеллаже стояло 180 книг. Из них 60 — учебники, 0,7 от числа остальных книг — художественная литература, 0,25 от числа книг художественной литературы — познавательная, а остальные книги — справочная литература и энциклопедии. Сколько экземпляров справочной и энциклопедической литературы стояло на стеллаже?
2) В библиотеке на стеллаже стояло 180 книг. Из них 60 — учебники, 0,7 от числа остальных книг — художественная литература, 0,25 от числа книг художественной литературы — познавательная, а остальные книги — справочная литература и энциклопедии. Сколько экземпляров справочной и энциклопедической литературы стояло на стеллаже?
1) Остальных каналов: 60 − 35 = 25. Новостных: 25 · 0,6 = 15. Музыкальных: 15 · 0,2 = 3. Любимых (детских и познавательных): 25 − 15 − 3 = 7. Ответ: 7 каналов.
2) Остальных книг: 180 − 60 = 120. Художественной литературы: 120 · 0,7 = 84. Остальные книги — справочная литература и энциклопедии: 120 − 84 = 36. (Познавательная литература, 84 · 0,25 = 21, входит в число художественных и на ответ не влияет.) Ответ: 36 экземпляров.
2) Остальных книг: 180 − 60 = 120. Художественной литературы: 120 · 0,7 = 84. Остальные книги — справочная литература и энциклопедии: 120 − 84 = 36. (Познавательная литература, 84 · 0,25 = 21, входит в число художественных и на ответ не влияет.) Ответ: 36 экземпляров.
2.457. Найдите корень уравнения:
1. (0,3x + 0,5x) · 4,5 = 10,8;
2. (0,9x − 0,4x) · 7,2 = 10,8;
3. (z − 0,4z) : 0,4 = 1,2;
4. (0,8z + z) : 0,9 = 1,6.
1) 0,8x = 10,8 : 4,5 = 2,4; x = 3.
2) 0,5x = 10,8 : 7,2 = 1,5; x = 3.
3) 0,6z = 1,2 · 0,4 = 0,48; z = 0,8.
4) 1,8z = 1,6 · 0,9 = 1,44; z = 0,8.
Проверка 3): (0,8 − 0,32) : 0,4 = 0,48 : 0,4 = 1,2 ✓.
2) 0,5x = 10,8 : 7,2 = 1,5; x = 3.
3) 0,6z = 1,2 · 0,4 = 0,48; z = 0,8.
4) 1,8z = 1,6 · 0,9 = 1,44; z = 0,8.
Проверка 3): (0,8 − 0,32) : 0,4 = 0,48 : 0,4 = 1,2 ✓.
2.458. Какие числа обратны числам: а) 10/36, 13/65, 31/65, 13/134, 17/428, 10/4, 36/7; б) 13 13/14, 1/40, 50, 100, 1, 0,5, 2,8?
Обратное числу получаем, переворачивая дробь.
а) 10/36 → 36/10 = 3 3/5; 13/65 → 65/13 = 5; 31/65 → 65/31 = 2 3/31; 13/134 → 134/13 = 10 4/13; 17/428 → 428/17 = 25 3/17; 10/4 → 4/10 = 2/5; 36/7 → 7/36.
б) 13 13/14 = 195/14 → 14/195; 1/40 → 40; 50 → 1/50; 100 → 1/100; 1 → 1; 0,5 = 1/2 → 2; 2,8 = 14/5 → 5/14.
а) 10/36 → 36/10 = 3 3/5; 13/65 → 65/13 = 5; 31/65 → 65/31 = 2 3/31; 13/134 → 134/13 = 10 4/13; 17/428 → 428/17 = 25 3/17; 10/4 → 4/10 = 2/5; 36/7 → 7/36.
б) 13 13/14 = 195/14 → 14/195; 1/40 → 40; 50 → 1/50; 100 → 1/100; 1 → 1; 0,5 = 1/2 → 2; 2,8 = 14/5 → 5/14.
2.459. Найдите значение выражения: а) 6/13 · 19 1/2; б) 1 10/11 · 3 1/7; в) 0,4 · 3 1/3; г) 0,6 · 2/3; д) (0,3 + 0,5) · 1 1/2; е) (1,3 − 0,7) · 1 2/3.
а) 6/13 · 39/2 = 9.
б) 21/11 · 22/7 = 6.
в) 2/5 · 10/3 = 4/3 = 1 1/3.
г) 3/5 · 2/3 = 2/5 = 0,4.
д) 0,8 · 1,5 = 1,2.
е) 0,6 · 5/3 = 1.
б) 21/11 · 22/7 = 6.
в) 2/5 · 10/3 = 4/3 = 1 1/3.
г) 3/5 · 2/3 = 2/5 = 0,4.
д) 0,8 · 1,5 = 1,2.
е) 0,6 · 5/3 = 1.