15. Действие деления смешанных чисел (упражнения 2.407–2.471) — с. 103
2.438. Когда велосипедист отъехал от лагеря на 25 5/6 км, из лагеря выехал мотоциклист и догнал его через 2/3 ч. Скорость велосипедиста составляла 3/8 скорости мотоциклиста. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста.
Пока мотоциклист догоняет, он сближается с велосипедистом со скоростью, равной разности скоростей: 25 5/6 : 2/3 = 155/6 · 3/2 = 155/4 = 38 3/4 км/ч.
Эта разность составляет 1 − 3/8 = 5/8 скорости мотоциклиста. Скорость мотоциклиста: 155/4 : 5/8 = 155/4 · 8/5 = 62 км/ч.
Скорость велосипедиста: 62 · 3/8 = 23 1/4 км/ч.
Проверка: 62 − 23 1/4 = 38 3/4 ✓.
Ответ: 62 км/ч и 23 1/4 км/ч.
Эта разность составляет 1 − 3/8 = 5/8 скорости мотоциклиста. Скорость мотоциклиста: 155/4 : 5/8 = 155/4 · 8/5 = 62 км/ч.
Скорость велосипедиста: 62 · 3/8 = 23 1/4 км/ч.
Проверка: 62 − 23 1/4 = 38 3/4 ✓.
Ответ: 62 км/ч и 23 1/4 км/ч.
2.439. Группа волонтёров для уборки мусора на Крайнем Севере 2 2/15 ч летела на вертолёте, а затем ещё 3 3/4 ч ехала на вездеходе. При этом на вертолёте она преодолела путь, в 3 1/5 раза больший, чем на вездеходе. С какими скоростями группа передвигалась на вертолёте и на вездеходе, если весь путь равен 504 км?
Путь на вездеходе — одна часть, на вертолёте — 3 1/5 части; всего 4 1/5 части = 504 км. Вездеход: 504 : 4 1/5 = 504 · 5/21 = 120 км. Вертолёт: 504 − 120 = 384 км.
Скорость вертолёта: 384 : 2 2/15 = 384 · 15/32 = 180 км/ч. Скорость вездехода: 120 : 3 3/4 = 120 · 4/15 = 32 км/ч.
Ответ: 180 км/ч и 32 км/ч.
Скорость вертолёта: 384 : 2 2/15 = 384 · 15/32 = 180 км/ч. Скорость вездехода: 120 : 3 3/4 = 120 · 4/15 = 32 км/ч.
Ответ: 180 км/ч и 32 км/ч.
2.440. Пёс Барбос с хозяином ехали на автобусе 3 ч со скоростью 76 км/ч, затем 12 ч ехали на поезде и 2 ч шли пешком со скоростью, в 19 раз меньшей скорости автобуса. Найдите их среднюю скорость передвижения, если скорость автобуса составляет 1 1/3 скорости поезда.
Скорость поезда: 76 : 1 1/3 = 76 · 3/4 = 57 км/ч. Скорость пешком: 76 : 19 = 4 км/ч.
Пути: автобус 76 · 3 = 228 км, поезд 57 · 12 = 684 км, пешком 4 · 2 = 8 км. Весь путь 228 + 684 + 8 = 920 км. Всё время 3 + 12 + 2 = 17 ч.
Средняя скорость: 920 : 17 = 54 2/17 км/ч (≈ 54,1 км/ч).
Пути: автобус 76 · 3 = 228 км, поезд 57 · 12 = 684 км, пешком 4 · 2 = 8 км. Весь путь 228 + 684 + 8 = 920 км. Всё время 3 + 12 + 2 = 17 ч.
Средняя скорость: 920 : 17 = 54 2/17 км/ч (≈ 54,1 км/ч).
2.441. Вычислите: а) 200 − 101, : 3, + 37, : 5; б) 200 · 5, − 130, : 29, + 270; в) 3 · 0,3, + 4,1, : 100, · 20; г) 0,45 : 9, · 6, + 2,7, : 0,01; д) 5,6 : 0,7, : 20, + 4,8, : 26.
Выполняем действия по цепочке сверху вниз.
а) 200 − 101 = 99; 99 : 3 = 33; 33 + 37 = 70; 70 : 5 = 14.
б) 200 · 5 = 1000; 1000 − 130 = 870; 870 : 29 = 30; 30 + 270 = 300.
в) 3 · 0,3 = 0,9; 0,9 + 4,1 = 5; 5 : 100 = 0,05; 0,05 · 20 = 1.
г) 0,45 : 9 = 0,05; 0,05 · 6 = 0,3; 0,3 + 2,7 = 3; 3 : 0,01 = 300.
д) 5,6 : 0,7 = 8; 8 : 20 = 0,4; 0,4 + 4,8 = 5,2; 5,2 : 26 = 0,2.
Ответ: а) 14; б) 300; в) 1; г) 300; д) 0,2.
а) 200 − 101 = 99; 99 : 3 = 33; 33 + 37 = 70; 70 : 5 = 14.
б) 200 · 5 = 1000; 1000 − 130 = 870; 870 : 29 = 30; 30 + 270 = 300.
в) 3 · 0,3 = 0,9; 0,9 + 4,1 = 5; 5 : 100 = 0,05; 0,05 · 20 = 1.
г) 0,45 : 9 = 0,05; 0,05 · 6 = 0,3; 0,3 + 2,7 = 3; 3 : 0,01 = 300.
д) 5,6 : 0,7 = 8; 8 : 20 = 0,4; 0,4 + 4,8 = 5,2; 5,2 : 26 = 0,2.
Ответ: а) 14; б) 300; в) 1; г) 300; д) 0,2.
2.442. Запишите наибольшее и наименьшее значения выражения 4/7 x, если x = 1; x = 1/8; x = 1 3/4; x = 3/8.
При x = 1: 4/7. При x = 1/8: 4/7 · 1/8 = 1/14. При x = 1 3/4: 4/7 · 7/4 = 1. При x = 3/8: 4/7 · 3/8 = 3/14.
Сравним: 1/14 < 3/14 < 4/7 (= 8/14) < 1.
Наибольшее значение 1 (при x = 1 3/4), наименьшее 1/14 (при x = 1/8).
Сравним: 1/14 < 3/14 < 4/7 (= 8/14) < 1.
Наибольшее значение 1 (при x = 1 3/4), наименьшее 1/14 (при x = 1/8).
2.443. Проверьте вычисления: а) 15 · 2 1/5 = 15 · 2 + 15 : 5 = 30 + 3 = 33; б) 24 · 4 1/4 = 24 · 4 + 24 : 4 = 96 + 6 = 102; в) 36 · 2/3 = 36 + 36 : 3 = 36 + 12 = 48; г) 98 · 6/7 = 98 − 98 : 7 = 98 − 14 = 84. Ответ объясните.
а) Верно: 2 1/5 = 2 + 1/5, умножение на 1/5 — это деление на 5.
б) Верно: так же, 4 1/4 = 4 + 1/4.
в) Неверно. 2/3 — правильная дробь, меньше 1, поэтому произведение должно быть меньше 36. Правильно: 36 · 2/3 = 36 : 3 · 2 = 12 · 2 = 24. Результат 48 получился бы для 36 · 1 1/3.
г) Верно: 6/7 = 1 − 1/7, значит 98 · 6/7 = 98 − 98 : 7 = 84 (то же самое: 98 : 7 · 6 = 14 · 6 = 84).
б) Верно: так же, 4 1/4 = 4 + 1/4.
в) Неверно. 2/3 — правильная дробь, меньше 1, поэтому произведение должно быть меньше 36. Правильно: 36 · 2/3 = 36 : 3 · 2 = 12 · 2 = 24. Результат 48 получился бы для 36 · 1 1/3.
г) Верно: 6/7 = 1 − 1/7, значит 98 · 6/7 = 98 − 98 : 7 = 84 (то же самое: 98 : 7 · 6 = 14 · 6 = 84).
2.444. Найдите произведение: а) 4 3/7 · 7; б) 9 2/5 · 5; в) 3 1/9 · 3; г) 7 5/14 · 7; д) 5 7/21 · 7.
Умножаем отдельно целую и дробную части.
а) 4 · 7 + 3/7 · 7 = 28 + 3 = 31.
б) 9 · 5 + 2 = 47.
в) 3 · 3 + 1/9 · 3 = 9 + 1/3 = 9 1/3.
г) 7 · 7 + 5/14 · 7 = 49 + 5/2 = 51 1/2.
д) 5 7/21 = 5 1/3; 5 · 7 + 7/3 = 35 + 2 1/3 = 37 1/3.
а) 4 · 7 + 3/7 · 7 = 28 + 3 = 31.
б) 9 · 5 + 2 = 47.
в) 3 · 3 + 1/9 · 3 = 9 + 1/3 = 9 1/3.
г) 7 · 7 + 5/14 · 7 = 49 + 5/2 = 51 1/2.
д) 5 7/21 = 5 1/3; 5 · 7 + 7/3 = 35 + 2 1/3 = 37 1/3.
2.445. Выполните действия: а) 1/3 · 3/7; б) 1/21 · 4 1/5; в) 1 1/3 · 3/4; г) 3 2/3 · 6/11; д) (1/5 + 1/20) · 4/5; е) (1/3 − 1/4) · 12.
а) 1/3 · 3/7 = 1/7.
б) 1/21 · 21/5 = 1/5.
в) 4/3 · 3/4 = 1.
г) 11/3 · 6/11 = 2.
д) 1/5 + 1/20 = 5/20 = 1/4; 1/4 · 4/5 = 1/5.
е) 1/3 − 1/4 = 1/12; 1/12 · 12 = 1.
б) 1/21 · 21/5 = 1/5.
в) 4/3 · 3/4 = 1.
г) 11/3 · 6/11 = 2.
д) 1/5 + 1/20 = 5/20 = 1/4; 1/4 · 4/5 = 1/5.
е) 1/3 − 1/4 = 1/12; 1/12 · 12 = 1.
2.446. Задания олимпиады по математике распечатывали на трёх принтерах. На первом принтере распечатали 35 % всех заданий, а на втором принтере — 25 % всех заданий. Сколько заданий распечатали на третьем принтере, если всего было 240 заданий?
На третьем принтере: 100 % − 35 % − 25 % = 40 % всех заданий. 240 · 0,4 = 96. Проверка: 84 + 60 + 96 = 240 ✓. Ответ: 96 заданий.