15. Действие деления смешанных чисел (упражнения 2.407–2.471) — с. 102
2.427. Вычислите: а) 2 1/7 · (2 1/4 : 3 6/7); б) (1 2/9 + 1 5/9) · 1 4/5; в) (7 1/3 − 5 1/6) : 3 1/3; г) (2 2/15 − 1 2/5) · 6 1/4; д) (2 2/3 + 1 5/6) : 4 1/2; е) (7 1/8 − 6 3/5) : 4 1/5.
а) 2 1/4 : 3 6/7 = 9/4 · 7/27 = 7/12; 15/7 · 7/12 = 5/4 = 1 1/4.
б) 1 2/9 + 1 5/9 = 2 7/9 = 25/9; 25/9 · 9/5 = 5.
в) 7 1/3 − 5 1/6 = 7 2/6 − 5 1/6 = 2 1/6 = 13/6; 13/6 : 10/3 = 13/6 · 3/10 = 13/20.
г) 2 2/15 − 1 6/15 = 11/15; 11/15 · 25/4 = 55/12 = 4 7/12.
д) 2 4/6 + 1 5/6 = 4 3/6 = 4 1/2; 4 1/2 : 4 1/2 = 1.
е) 7 5/40 − 6 24/40 = 21/40; 21/40 : 21/5 = 5/40 = 1/8.
Ответ: а) 1 1/4; б) 5; в) 13/20; г) 4 7/12; д) 1; е) 1/8.
Оговорка: множитель в б) читается как 1 4/5 (по результату: ответ получается целым).
б) 1 2/9 + 1 5/9 = 2 7/9 = 25/9; 25/9 · 9/5 = 5.
в) 7 1/3 − 5 1/6 = 7 2/6 − 5 1/6 = 2 1/6 = 13/6; 13/6 : 10/3 = 13/6 · 3/10 = 13/20.
г) 2 2/15 − 1 6/15 = 11/15; 11/15 · 25/4 = 55/12 = 4 7/12.
д) 2 4/6 + 1 5/6 = 4 3/6 = 4 1/2; 4 1/2 : 4 1/2 = 1.
е) 7 5/40 − 6 24/40 = 21/40; 21/40 : 21/5 = 5/40 = 1/8.
Ответ: а) 1 1/4; б) 5; в) 13/20; г) 4 7/12; д) 1; е) 1/8.
Оговорка: множитель в б) читается как 1 4/5 (по результату: ответ получается целым).
2.428. Выполните действия: а) (4 1/3 + 2 3/15) : (4 1/5 − 1 8/25); б) (8 11/24 − 7 1/12) : (3 1/4 + 2 1/8).
а) 4 1/3 + 2 1/5 = 4 5/15 + 2 3/15 = 6 8/15 = 98/15. 4 1/5 − 1 8/25 = 4 5/25 − 1 8/25 = 2 22/25 = 72/25. 98/15 : 72/25 = 98/15 · 25/72 = 245/108 = 2 29/108.
б) 8 11/24 − 7 2/24 = 1 9/24 = 11/8. 3 1/4 + 2 1/8 = 5 3/8 = 43/8. 11/8 : 43/8 = 11/43.
Ответ: а) 2 29/108; б) 11/43.
б) 8 11/24 − 7 2/24 = 1 9/24 = 11/8. 3 1/4 + 2 1/8 = 5 3/8 = 43/8. 11/8 : 43/8 = 11/43.
Ответ: а) 2 29/108; б) 11/43.
2.429. Вычислите: а) (1/6 + 0,5 + 1/8) : 3 1/6; б) 9 : 0,18 − 37 1/2 · 0,64; в) 12,5 · 4 − 7 7/3 : 11 + 4,8 · 9 1/6; г) ((1 1/5)² − 1,08) : 0,03.
а) 1/6 + 1/2 + 1/8 = 4/24 + 12/24 + 3/24 = 19/24; 3 1/6 = 19/6; 19/24 · 6/19 = 1/4.
б) 9 : 0,18 = 50; 37,5 · 0,64 = 24; 50 − 24 = 26.
в) 12,5 · 4 = 50; 7 7/3 = 28/3, 28/3 : 11 = 28/33; 4,8 · 9 1/6 = 4,8 · 55/6 = 44; 50 − 28/33 + 44 = 94 − 28/33 = 93 5/33.
г) (1 1/5)² = 36/25 = 1,44; 1,44 − 1,08 = 0,36; 0,36 : 0,03 = 12.
Ответ: а) 1/4; б) 26; в) 93 5/33; г) 12.
Оговорка: в в) число «7 7/3» напечатано в учебнике именно так (неправильная дробная часть, равно 9 1/3); ответ дан для него. Если там имелось в виду 7 1/3, то в) = 93 1/3.
б) 9 : 0,18 = 50; 37,5 · 0,64 = 24; 50 − 24 = 26.
в) 12,5 · 4 = 50; 7 7/3 = 28/3, 28/3 : 11 = 28/33; 4,8 · 9 1/6 = 4,8 · 55/6 = 44; 50 − 28/33 + 44 = 94 − 28/33 = 93 5/33.
г) (1 1/5)² = 36/25 = 1,44; 1,44 − 1,08 = 0,36; 0,36 : 0,03 = 12.
Ответ: а) 1/4; б) 26; в) 93 5/33; г) 12.
Оговорка: в в) число «7 7/3» напечатано в учебнике именно так (неправильная дробная часть, равно 9 1/3); ответ дан для него. Если там имелось в виду 7 1/3, то в) = 93 1/3.
2.430. Решите уравнение: а) 2/7 z = 1 1/7; б) 3/5 n = 2 7/10 − 3/5; в) 4/9 b + 3/7 = 1; г) 5/9 m − 1/2 = 5/18.
а) z = 1 1/7 : 2/7 = 8/7 · 7/2 = 4.
б) 3/5 n = 2 7/10 − 6/10 = 2 1/10 = 21/10; n = 21/10 : 3/5 = 21/10 · 5/3 = 7/2 = 3 1/2.
в) 4/9 b = 1 − 3/7 = 4/7; b = 4/7 : 4/9 = 9/7 = 1 2/7.
г) 5/9 m = 5/18 + 1/2 = 5/18 + 9/18 = 14/18 = 7/9; m = 7/9 : 5/9 = 7/5 = 1 2/5.
Ответ: а) 4; б) 3 1/2; в) 1 2/7; г) 1 2/5.
б) 3/5 n = 2 7/10 − 6/10 = 2 1/10 = 21/10; n = 21/10 : 3/5 = 21/10 · 5/3 = 7/2 = 3 1/2.
в) 4/9 b = 1 − 3/7 = 4/7; b = 4/7 : 4/9 = 9/7 = 1 2/7.
г) 5/9 m = 5/18 + 1/2 = 5/18 + 9/18 = 14/18 = 7/9; m = 7/9 : 5/9 = 7/5 = 1 2/5.
Ответ: а) 4; б) 3 1/2; в) 1 2/7; г) 1 2/5.
2.431. Найдите корень уравнения: а) 1/9 x + 4/9 x = 3 1/18; б) 5/7 y + 2/3 y − 4 = 1/7; в) n + 5/14 n = 1/7; г) y − 1/9 y = 5 1/3; д) 2/7 c + 2/3 c − 11/21 c = 3 1/2; е) 5/8 x + x − 3/4 x = 1 3/4.
Сначала приводим подобные слагаемые.
а) 5/9 x = 55/18; x = 55/18 · 9/5 = 11/2 = 5 1/2.
б) 5/7 + 2/3 = 15/21 + 14/21 = 29/21; 29/21 y = 4 1/7 = 29/7; y = 29/7 · 21/29 = 3.
в) (1 + 5/14)n = 19/14 n = 1/7; n = 1/7 · 14/19 = 2/19.
г) 8/9 y = 16/3; y = 16/3 · 9/8 = 6.
д) 6/21 + 14/21 − 11/21 = 9/21 = 3/7; 3/7 c = 7/2; c = 7/2 · 7/3 = 49/6 = 8 1/6.
е) 5/8 + 1 − 6/8 = 7/8; 7/8 x = 7/4; x = 2.
Ответ: а) 5 1/2; б) 3; в) 2/19; г) 6; д) 8 1/6; е) 2.
а) 5/9 x = 55/18; x = 55/18 · 9/5 = 11/2 = 5 1/2.
б) 5/7 + 2/3 = 15/21 + 14/21 = 29/21; 29/21 y = 4 1/7 = 29/7; y = 29/7 · 21/29 = 3.
в) (1 + 5/14)n = 19/14 n = 1/7; n = 1/7 · 14/19 = 2/19.
г) 8/9 y = 16/3; y = 16/3 · 9/8 = 6.
д) 6/21 + 14/21 − 11/21 = 9/21 = 3/7; 3/7 c = 7/2; c = 7/2 · 7/3 = 49/6 = 8 1/6.
е) 5/8 + 1 − 6/8 = 7/8; 7/8 x = 7/4; x = 2.
Ответ: а) 5 1/2; б) 3; в) 2/19; г) 6; д) 8 1/6; е) 2.
2.432. Решите уравнение: а) 1 5/7 : x = 6/7 : 2; б) a : 1 3/4 = 1 3/4 · 1/4; в) 1 2/3 · (1/3 n + 3/7) = 2 1/4; г) (5/4 z − 3/5) · 7/8 = 7/8.
а) Правая часть 6/7 : 2 = 3/7. x = 1 5/7 : 3/7 = 12/7 · 7/3 = 4.
б) Делимое = частное · делитель: a = 1 3/4 · 1/4 · 1 3/4 = 7/4 · 1/4 · 7/4 = 49/64.
в) 1/3 n + 3/7 = 2 1/4 : 1 2/3 = 9/4 · 3/5 = 27/20; 1/3 n = 27/20 − 3/7 = 189/140 − 60/140 = 129/140; n = 129/140 · 3 = 387/140 = 2 107/140.
г) 5/4 z − 3/5 = 7/8 : 7/8 = 1; 5/4 z = 1 3/5 = 8/5; z = 8/5 · 4/5 = 32/25 = 1 7/25.
Ответ: а) 4; б) 49/64; в) 2 107/140; г) 1 7/25.
б) Делимое = частное · делитель: a = 1 3/4 · 1/4 · 1 3/4 = 7/4 · 1/4 · 7/4 = 49/64.
в) 1/3 n + 3/7 = 2 1/4 : 1 2/3 = 9/4 · 3/5 = 27/20; 1/3 n = 27/20 − 3/7 = 189/140 − 60/140 = 129/140; n = 129/140 · 3 = 387/140 = 2 107/140.
г) 5/4 z − 3/5 = 7/8 : 7/8 = 1; 5/4 z = 1 3/5 = 8/5; z = 8/5 · 4/5 = 32/25 = 1 7/25.
Ответ: а) 4; б) 49/64; в) 2 107/140; г) 1 7/25.
2.433. Углы AOB и BOC вместе составляют развёрнутый угол AOC. При этом угол AOB в 1 2/5 раза больше угла BOC. Найдите градусные меры углов AOB и BOC. Выполните построение этих углов с помощью транспортира.
Развёрнутый угол равен 180°. Пусть ∠BOC — одна часть, тогда ∠AOB — 1 2/5 = 7/5 части. Вместе 1 + 7/5 = 12/5 части. ∠BOC = 180° : 12/5 = 180 · 5/12 = 75°. ∠AOB = 75° · 7/5 = 105°. Проверка: 105° + 75° = 180° ✓.
Построение: чертим прямую AC, отмечаем точку O; транспортиром откладываем от луча OC угол 75° и проводим луч OB (тогда ∠AOB = 105°).
Ответ: ∠AOB = 105°, ∠BOC = 75°.
Построение: чертим прямую AC, отмечаем точку O; транспортиром откладываем от луча OC угол 75° и проводим луч OB (тогда ∠AOB = 105°).
Ответ: ∠AOB = 105°, ∠BOC = 75°.
2.434. Луч BK делит прямой угол ABC на углы ABK и KBC. Угол ABK меньше угла KBC в 3 1/2 раза. Найдите градусные меры углов ABK и KBC. Постройте эти углы.
Прямой угол равен 90°. ∠ABK — одна часть, ∠KBC — 3 1/2 = 7/2 части. Всего 1 + 7/2 = 9/2 части. ∠ABK = 90° : 9/2 = 20°. ∠KBC = 20° · 7/2 = 70°. Проверка: 20° + 70° = 90° ✓.
Построение: чертим прямой угол ABC и транспортиром откладываем от стороны BA угол 20° (луч BK).
Ответ: ∠ABK = 20°, ∠KBC = 70°.
Построение: чертим прямой угол ABC и транспортиром откладываем от стороны BA угол 20° (луч BK).
Ответ: ∠ABK = 20°, ∠KBC = 70°.
2.435. Мать старше дочери в 4 4/11 раза, или на 37 лет. Сколько лет каждой из них?
Разница 37 лет составляет 4 4/11 − 1 = 3 4/11 = 37/11 возраста дочери. Дочери: 37 : 37/11 = 11 лет. Матери: 11 + 37 = 48 лет (проверка: 11 · 4 4/11 = 48 ✓). Ответ: дочери 11 лет, матери 48 лет.
2.436. Масса двух арбузов равна 13 3/4 кг. При этом масса одного арбуза составляет 4/7 массы другого арбуза. Чему равна масса каждого арбуза?
Пусть масса большего арбуза — 7 частей, меньшего — 4 части; вместе 11 частей, а по условию 1 + 4/7 = 11/7 массы большего. Больший арбуз: 13 3/4 : 11/7 = 55/4 · 7/11 = 35/4 = 8 3/4 кг. Меньший: 8 3/4 · 4/7 = 5 кг. Проверка: 8 3/4 + 5 = 13 3/4 ✓. Ответ: 8 3/4 кг и 5 кг.
2.437. В День леса два отряда высадили саженцы 780 сосен, причём первый отряд высадил 95 % числа саженцев, высаженных вторым отрядом. Сколько сосен посадил каждый отряд?
Пусть второй отряд посадил x сосен, тогда первый — 0,95x. Вместе x + 0,95x = 1,95x = 780; x = 780 : 1,95 = 400. Первый отряд: 400 · 0,95 = 380. Проверка: 400 + 380 = 780 ✓. Ответ: второй отряд посадил 400 сосен, первый — 380.